专题01 特殊平行四边形拓展之几何最值（优质类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题01特殊平行四边形拓展之几何最值思维导图 【类型覆盖】 类型一、将军饮马 【解惑】如图，正方形的边长为，点是的中点，点是上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，E是正方形的边上一点，连接，在的右上一侧以为直角边作等腰直角三角形，连接，若，则的周长的最小值为（    ） A．16 B． C． D． 2．如图，在菱形中，，，将△ABC向右平移得到（点在线段上），连接，，．在平移过程中， （1）若四边形是矩形，则 ； （2）的最小值为 ． 3．如图，正方形边长为3，点，分别是边，上的两个动点，且，连接、，则的最小值为 ． 类型二、矩形对角线最值 【解惑】如图，正方形的边长为4，P 是对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④一定是等腰三角形；⑤的最小值为．其中结论正确的有（   ）      A．①②⑤ B．①③⑤ C．①②③⑤ D．①②④ 【融会贯通】 1．如图，已知线段，点在线段上，且是边长为的等边三角形，以为边在其右侧作矩形，点为中点，连接，求线段的最小值是（     ） A． B． C． D． 2．如图，是等腰直角三角形，，，点P是上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P分别作于点E，于点F，连接． （1）四边形的形状是 ． （2）线段的最小值为 ． 3．如图，矩形ABCD中，，，点P为对角线BD上一动点（不与B、D重合），于点E，于点F，则线段长的最小值为 ． 类型三、两定一定长 【解惑】如图，菱形的的边长为3，，对角线上有两个动点、（点在点的左侧），若，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【融会贯通】 1．如图，是菱形的对角线，，点E，F是上的动点，且，若，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 2．如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，M、N是对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为 ． 3．如图，在正方形中，，是对角线上两点点靠近点，且，当的最小值为时，的长为 ． 类型四、中位线最值 【解惑】如图，在边长为的正方形中，E是边上一动点，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，点M、N分别是边的中点，则的最小值为（  ） A．1 B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在菱形中，，，点G是线段上的动点，点M是线段上的动点，点E，F分别是线段，的中点，则线段的最小值是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 2．如图，在菱形中，分别是边上的动点，连接，分别为的中点，连接．若，，则的最小值是 ． 3．如图，边长为4的正方形中，点E，F分别是对角线，边上一动点，连结，，．取，的中点分别记为H，G，连结，则长度的最小值是 ． 类型五、斜边定长最值 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，动点A，B分别在y，x轴上，以为边长在第一象限内作正方形，连接．若，则的最大值是（    ）    A． B． C． D．8 【融会贯通】 1．如图，已知，线段长为，两端分别在上滑动，以为边在的右侧作正方形，连接，则的最大值为（    ）    A． B．6 C． D．8 2．如图点A坐标是，点B是x正半轴上的任意一动点，以为边向右侧作矩形， 且；则点 D到x轴距离的最大值是 ．    3．如图，点是轴正半轴上的动点，点在轴的正半轴上，，以为边在第一象限作正方形，连接，则的最大值为 ． 类型六、手拉手最值 【解惑】如图，线段是等腰与的公共边，，，点为线段的中点，连接，则长的最大值为（    ） A． B．3 C． D． 【融会贯通】 1．如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是（    ） A． B． C．4 D．8 2．如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是 ．    3．已知对于平面内的任意一点Q和矩形，恒有，如图，在四边形中，，垂足为是边的中点，则的面积的最大值是 ． 类型七、隐直线 【解惑】如图，在矩形中，，，是矩形内部一动点，且满足，则点到两点距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D．8 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，，点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为 ． 3．如图，在菱形中，点E是边的中点，P是菱形内一动点，连接，若，的面积为，则的最小值为 ． 类型八、其它最值 【解惑】在边长为正方形中，与相较于点，是同平面内的一动点，，是中点，连接，则的最小值为（　　）    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CE＝2BE，EF＝2，连按AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，则线段PE的最小值为(   ) A． B． C．4 D． 2．如图，在菱形中，为边中点，而点在边上，为对角线所在直线上一动点，已知，，且，则的最大值为 ． 3．（1）如图①，锐角中，，，的平分线交于点，，分别是和上的动点，则的最小值为 ； （2）如图②，在边长为的菱形中，，是边的中点，若线段绕点旋转得线段，连接，则长度的最小值为 ； （3）如图③，正方形边长为，点在边上，．以点为圆心，长为半径画，点在上移动，将绕点逆时针旋转90°至，连接，在点移动过程长度的最大值为 ． 【一览众山小】 1．点D是直角三角形斜边上一点，于E，于F，，连接，则线段长的最小值是（   ）． A． B．5 C． D． 2．如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 3．如图，在中，，，，点为边上一个动点(不与点、重合)，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为 ． 4．如图，已知菱形的对角线与的长分别为和，点，分别是线段，上的动点（均不与端点重合），点，分别是线段，的中点，则的最小值为 ．    5．如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直线的图象上，两条直角边所在直线分别与坐标轴相交于、两点，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，当三角板绕点旋转时，的最小值为8，则点的坐标是 ． 6．如图，在四边形中，，E是的中点，的延长线交于点F，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？并证明 (3)若，，在矩形内部有一动点P，满足，求的最小值．（直接写出答案） 7．请你认真阅读思考下面的材料，完成相关问题． 【数学模型】 如图①，A，B是直线l同旁的两个定点，在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且 【模型应用】 (1)如图②，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．在l上确定一点P，则的最短路径长为______米； (2)如图③，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上一个动点，求的最小值； (3)如图④，在平面直角坐标系中，点，．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 8．在平面直角坐标系中，已知线段，为线段上任意一点，已知图形，为图形上任意一点，当，两点间的距离最小时，将此时的长度称为图形与线段的近点距；当，两点间的距离最大时，将此时的长度称为图形与线段的远点距．       根据阅读材料解决下列问题： 如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，正方形的对称中心为原点． (1)线段与线段的近点距是__________，远点距是__________． (2)如图2，直线与轴，轴分别交于点，，则线段和正方形的近点距是__________，远点距是__________． (3)直线与轴，轴分别交于点，，线段与正方形的近距点是，则的值是__________． (4)在平面直角坐标系中，有一个矩形，若此矩形至少有一个顶点在以为圆心1为半径的圆上，其余各点可能在圆上或圆内，将正方形绕点旋转一周，在旋转过程中，它与矩形的近点距的最小值是__________，远点距的最大值是__________． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01特殊平行四边形拓展之几何最值思维导图 【类型覆盖】 类型一、将军饮马 【解惑】如图，正方形的边长为，点是的中点，点是上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，根据，即可得出，进而得到当，，在同一直线上时，的最小值等于线段的长，再根据勾股定理求得的长，即可得出的最小值为，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，当，，在同一直线上时，的最小值等于线段的长， ∵点是边的中点， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 故选：． 【融会贯通】 1．如图，E是正方形的边上一点，连接，在的右上一侧以为直角边作等腰直角三角形，连接，若，则的周长的最小值为（    ） A．16 B． C． D． 【答案】D 【分析】结合等腰直角三角形性质得出，，再证明，因为，所以，得出是等腰直角三角形，作点A关于直线CF的对称点，当点A，C，在同一直线上，的周长最小．得证 即可作答．本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】提示：如图，过点F作，交的延A长线于点H，连接, ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，． 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 连接AC，则，， ∴，． 作点A关于直线CF的对称点， ∴，点A，C，在同一直线上， 连接，交CF于点，连接，则， 此时最小， 即的周长最小． 过点作，交DC的延长线于点I， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长最小为． 故选：D． 2．如图，在菱形中，，，将△ABC向右平移得到（点在线段上），连接，，．在平移过程中， （1）若四边形是矩形，则 ； （2）的最小值为 ． 【答案】 4 12 【分析】（1）连接交于点，如图所示，由菱形性质，结合含角的直角三角形的三边关系即可得到及长，从而得到； （2）连接，延长到，使，如图所示，根据平移性质、菱形性质得到，从而确定当、、三点共线时，有最小值为，由含直角三角形的三边关系求解即可得到答案． 【详解】解：（1）连接交于点，如图所示： ∵在菱形中，，， ∴，， ∴， 在中，，则， ∵将向右平移得到（点在线段上）， ∴， 若四边形是矩形，则， ∴， ， 在中，， ， ∴， 故答案为：4； （2）连接，延长到，使，如图所示： ∵将向右平移得到（点在线段上）， ∴，， ∴是平行四边形， ∴， ∵在菱形中，由菱形对称性得到， ∴， ∴，则当、、三点共线时，有最小值为， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵由于是的一个外角， ∴， ∴， 在中，，，则， ， ∴的最小值为12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了平移的性质，菱形的性质，矩形的性质，含角的直角三角形的三边关系，等边三角形的判定与性质，解题关键是合理添加辅助线构造直角三角形，求线段长，添加辅助线构造平行四边形，使得求最小值转化求的最小值． 3．如图，正方形边长为3，点，分别是边，上的两个动点，且，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，连接，证明，得出，推出的最小值等于的最小值，作点关于的对称点，连接，则、、三点共线，连接，与的交点即为所求的点，根据对称性可得，得到，由勾股定理求出的长即可得解． 【详解】解：如图，连接， ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值等于的最小值， 如图，作点关于的对称点，连接，则、、三点共线， ， 连接，与的交点即为所求的点， 根据对称性可得， ∴， 在中，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 类型二、矩形对角线最值 【解惑】如图，正方形的边长为4，P 是对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④一定是等腰三角形；⑤的最小值为．其中结论正确的有（   ）      A．①②⑤ B．①③⑤ C．①②③⑤ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的运用，在解答时要认真审题． ①根据正方形的对角线平分对角的性质，得是等腰直角三角形，在中，，求得；②先证明四边形为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为，则四边形的周长为8；③由②可知，四边形为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明；④根据P的任意性可以判断不一定是等腰三角形；⑤当最小时，最小，的最小值等于． 【详解】解：①如图，∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，故①正确； ②∵，， ∴四边形为矩形， ∴四边形的周长，故②正确； ③连接，    ∵四边形为矩形， ∴， ∵正方形为轴对称图形， ∴， ∴，故③正确； ④∵点P是正方形的对角线上任意一点，， ∴当或或时，是等腰三角形， 除此之外，不是等腰三角形，故④错误； ⑤由， ∴当最小时，最小， 则当时，即时，的最小值等于，故⑤正确； 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，已知线段，点在线段上，且是边长为的等边三角形，以为边在其右侧作矩形，点为中点，连接，求线段的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，根据四边形是矩形和是等边三角形，证明，从而求出，当时，有最小值，然后根据角的直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是矩形， ∴对角线、的交点为它们的公共的中点， ∵点是的中点， ∴点是的中点，即、、共线， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴当时，有最小值， 此时， ∴线段的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角的直角三角形，垂线段最短．解题的关键掌握：直线外一点和直线上一点的最短距离即为直线外一点到直线上的距离． 2．如图，是等腰直角三角形，，，点P是上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P分别作于点E，于点F，连接． （1）四边形的形状是 ． （2）线段的最小值为 ． 【答案】 矩形 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、垂线段最短的性质、勾股定理等知识点；判断出当时，线段的值最小是解题的关键． （1）先证，再由即可解答； （2）连接，由勾股定理可求得，再由矩形的性质可得，然后根据垂线段最短可得时，线段的值最小，最后由三角形的等面积求解即可解答． 【详解】解：（1）∵于点，于点， ∴ 又∵， ∴四边形是矩形； （2）如图，连接， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， 即， ∴， ∴长的最小值为， 故答案为：矩形，． 3．如图，矩形ABCD中，，，点P为对角线BD上一动点（不与B、D重合），于点E，于点F，则线段长的最小值为 ． 【答案】// 【分析】连接，由矩形的性质和勾股定理得，再证四边形为矩形，得，当时，取得最小值，然后由面积法求出的长，即可得出结论． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是矩形， ， ， 于点，于点， ， 四边形为矩形， ， 当时，取得最小值， 此时，， 的最小值为， 故答案为：． 本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及面积法等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和垂线段最短是解题的关键． 类型三、两定一定长 【解惑】如图，菱形的的边长为3，，对角线上有两个动点、（点在点的左侧），若，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识．连接交于点，作，使得，连接，，可推出的最小值为的长，再根据菱形的性质和等边三角形的判定和性质以及勾股定理即可求出的长，从而解决问题． 【详解】解：如图，连接交于点，作，使得，连接，， 则四边形是平行四边形， ， ， 的最小值为的长， 四边形是菱形， ，， ，， 是等边三角形，， ， ， 在中， ． 的最小值为． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，是菱形的对角线，，点E，F是上的动点，且，若，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练运用轴对称的性质和平行四边形的性质以及勾股定理是解题的关键． 连接交于O，以，为邻边作平行四边形，则，，所以，即的最小值． 【详解】解：如图所示， 连接交于O，以，为邻边作平行四边形， ，， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 即的最小值是 故答案为：D． 2．如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，M、N是对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】取边、的中点F、G，连接交于N，连接，，，根据菱形， F为的中点，G为的中点，得到F与G关于对称，则，所以，此时最小，再证明四边形为平行四边形，得到，所以，所以最小，最小值等于，然后证明，得，从而得出，则，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：取边、的中点F、G，连接交于N，连接，，，如图， ∵菱形， F为的中点，G为的中点， ∴F与G关于对称， ∴， 此时最小， 又∵E为的中点， ∴， ∵ ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴ ∴ ∴此时， 最小，最小值等于， ∵菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵G为的中点， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，利用轴对称的性质求最短距离问题，线段最短，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．根据题意，正确确定出点M、N的位置是解题的关键． 3．如图，在正方形中，，是对角线上两点点靠近点，且，当的最小值为时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，线段和的最值问题，勾股定理；平移至，则，连接，得出四边形是平行四边形，则，，根据题意可得，在中，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，平移至，则，连接, ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∵在正方形中，，是对角线上两点 ∴ ∴ 在中， ∴ 故答案为：． 类型四、中位线最值 【解惑】如图，在边长为的正方形中，E是边上一动点，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，点M、N分别是边的中点，则的最小值为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查正方形的性质，勾股定理解三角形，中位线的性质等，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键 连接，过点C作交延长线于点G，根据旋转的性质得出点F的运动轨迹为线段，确定，过点D作，再由等腰直角三角形的性质确定最小，利用中位线的性质即可求解 【详解】解：连接，过点C作交延长线于点G，如图所示： ∵E是边上一动点，将线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴点F的运动轨迹为线段， ∵边长为的正方形， ∴，，， 过点D作， 此时最小， ∴， ∵点M、N分别是边的中点， ∴的最小值为， 故选：B 【融会贯通】 1．如图，在菱形中，，，点G是线段上的动点，点M是线段上的动点，点E，F分别是线段，的中点，则线段的最小值是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形的中位线的性质等知识，利用垂线段最短求出的最小值是解题的关键．先利用菱形的性质求出，根据垂线段最短可知，根据中位线的性质可知从而得解． 【详解】解：连接、，与交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，， 又∵， ∴， ∵点G是线段上的动点，， ∴， ∵点E，F分别是线段，的中点，即是的中位线， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，在菱形中，分别是边上的动点，连接，分别为的中点，连接．若，，则的最小值是 ． 【答案】1 【分析】根据三角形中位线定理，得，当时，最小，此时也是最小，过点A作于点M，利用菱形的性质，勾股定理计算， 解答即可． 【详解】∵分别为的中点， ∴， 当最小，此时也是最小，根据垂线段最短原理，得 过点A作于点M，当点F与点M重合时，取得最小值； ∵菱形中，，， ∴，， ∴， ∴， 解得（舍去）， 故， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂线段最短，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 3．如图，边长为4的正方形中，点E，F分别是对角线，边上一动点，连结，，．取，的中点分别记为H，G，连结，则长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理以及中位线定理，作，则为的中点，根据题意可得，由三角形中位线定理可得是解决问题的关键． 【详解】解：在正方形中，，则， 作，则为的中点， ∴， 由点到直线垂线段最短可知，， ∵，分别是，的中点， ∴， 即：长度的最小值为， 故答案为：． 类型五、斜边定长最值 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，动点A，B分别在y，x轴上，以为边长在第一象限内作正方形，连接．若，则的最大值是（    ）    A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】取的中点E，连接，则，根据正方形的性质及勾股定理得出，，结合图形得出当点E在线段上时，线段的长最大，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点E，连接，则，    ∵四边形是正方形，边长为4， ∴，则， 在中，，由勾股定理，得， ∵在中， ，点E是斜边的中点， ∴， 由图可知：，当点E在线段上时，线段的长最大，最大值是， 故选A． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理解三角形及三角形三边关系，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 【融会贯通】 1．如图，已知，线段长为，两端分别在上滑动，以为边在的右侧作正方形，连接，则的最大值为（    ）    A． B．6 C． D．8 【答案】A 【分析】取中点，根据正方形的性质，可得直角，运用勾股定理可得的长，在直角中，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得的长，在中，根据三角形三边关系可得，当点三点共线时，最长，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，在线段上取中点，连接，    ∵四边形是正方形，，点是中点， ∴，，， ∴在中，， ∵，点是中点， ∴在中，， 在中， ∵， ∴当点三点共线时，有最大值， ∴， 故选： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，三角形三边关系确定线段的最大值的方法，掌握正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，线段最大值的计算方法是解题的关键． 2．如图点A坐标是，点B是x正半轴上的任意一动点，以为边向右侧作矩形， 且；则点 D到x轴距离的最大值是 ．    【答案】4 【分析】本题考查等积法，直角三角形斜边中线等于斜边一半，矩形性质等．根据题意取点，即和，当三点共线时点 D到x轴距离的最大值． 【详解】解：∵，即矩形面积为6， ∴， ∴取点，即，      ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 取F为的中点， ∴， ∴当三点共线时点 D到x轴距离的最大值，    ∴， 故答案为：4． 3．如图，点是轴正半轴上的动点，点在轴的正半轴上，，以为边在第一象限作正方形，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求，由勾股定理可求的长，再由三角形的三边关系可求得在上时，有最大值，从而求得答案． 【详解】如图，取的中点，连接，， 四边形是正方形 ， 是的中点 在中， 当在上时，有最大值，最大值为 故答案为：． 类型六、手拉手最值 【解惑】如图，线段是等腰与的公共边，，，点为线段的中点，连接，则长的最大值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】作，使得，连接和，以点E为圆心长为半径画圆E，由题意可得，结合和，可证明，则有，当点C运动到点F、E和点C共线时，取得最大值，此时长也为最大，此时，有题意可得，，即可求得答案． 【详解】解：作，使得，连接和，以点E为圆心长为半径画圆E，如图， ∵， ∴， ∴， ∵等腰， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点C运动到点F、点E和点C三点共线时，取得最大值，此时长也为最大，此时， ∵，点为线段的中点， ∴， ∵，，， ∴， 则， 那么，长的最大值为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查动点的最值问题，涉及等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是构造全等三角形，利用三点共线取最大值即可求解． 【融会贯通】 1．如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】 本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，如图将绕点顺时针旋转得到，由旋转不变性可知：，，，得出是等腰直角三角形，推出，当的值最大时，的值最大，根据三角形的三边关系求出的最大值即可解决问题．解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题． 【详解】解：如图， 将绕点顺时针旋转得到， 由旋转不变性可知：，，， ∴是等腰直角三角形，则， ∴， ∴当的值最大时，的值最大， ∵， ∴的最大值为8， ∴的最大值为． 故选：B． 2．如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理，三角形全等的判定与性质，旋转的性质和最大值问题．连接，证明，得到，点在以为圆心，2为半径的上，当在对角线延长线上时，最大，再利用勾股定理求对角线的长，即可得出长度的最大值． 【详解】解：连接，    ∵正方形， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为圆心，2为半径的上， 如图，当在对角线延长线上时，最大，    在中，， ∴， 即长度的最大值为， 故答案为：． 3．已知对于平面内的任意一点Q和矩形，恒有，如图，在四边形中，，垂足为是边的中点，则的面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，延长，使得，连接，得出四边形是矩形，进而根据已知条件得出，根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长，使得，连接， ∵是的中点， ∴， ∴四边形是矩形， 由题意可得： ∴ ∴， ∵ ∴ 当的面积最大时，的面积也最大， 当时，取的最大值为 ∴的最大面积， 故答案为：． 类型七、隐直线 【解惑】如图，在矩形中，，，是矩形内部一动点，且满足，则点到两点距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查矩形性质，勾股定理，动点最小值问题．根据题意可得高为，继而得到动点E的运动轨迹，再做对称利用勾股定理即可求出最小距离． 【详解】解：∵矩形中，，，． ∴设高为， ∴，即：， ∴动点在与平行且与距离是3的直线上运动， 如图，作关于直线的对称点，连接，， ∴则的长就是所求的最短距离， 在中， ∵，， ∴， 即：的最小值为， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，，点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由，得出动点在与平行且与的距离是2的直线上，作点A关于直线l的对称点E，连结，，则的长就是所求的最短距离，然后勾股定理求得的长，即得答案． 【详解】设边上的高是h， ， ， ， 动点P在与平行且与的距离是2的直线l上， 如图，作点A关于直线l的对称点E，连结，， 则的长就是所求的最短距离， 在中， ，， ， 即的最小值为． 故选D． 【点睛】本题考查了最短路线问题，轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质，作点A关于直线l的对称点E，并得到的长就是所求的最短距离是解题的关键． 2．如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，利用轴对称解决线段和最小的问题，过点作，交于点，交于点，根据，得到，点是线段上的一个动点，作点关于的对称点，连接，则的最小值为的长，勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作，交于点，交于点， ∵矩形，，， ∴，，， ∴， ∴四边形均为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接，则：，， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为： 3．如图，在菱形中，点E是边的中点，P是菱形内一动点，连接，若，的面积为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，由的面积是3可求出点P到得距离为，在直线上方距离直线为得位置作直线，点关于直线对称，连接，连接交与F，可得当三点共线时，最小，即此时，最小值为，据此利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵菱形，，E是的中点， ， ， ∴点P到得距离为， 如图所示，在直线上方距离直线为的位置作直线，点关于直线对称，连接，连接交与F， 由轴对称的性质可得，，， ，， ∴当三点共线时，最小，即此时，最小值为， 在中，由勾股定理得， 故的最小值为． 故答案是：． 类型八、其它最值 【解惑】在边长为正方形中，与相较于点，是同平面内的一动点，，是中点，连接，则的最小值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，最短线段问题，由是同平面内的一动点，，可得点为正方形外接圆上一点，延长至，使，由是中点，可得为的中位线，即，由三角形两边之和大于第三边可知，当点三点共线时，最小，利用勾股定理即可求出最小值，进而求解，画出图形，正确找到取最小值时点的位置是解题的关键． 【详解】解：∵是同平面内的一动点，， ∴点为正方形外接圆上一点， 延长至，使， ∵是中点， ∴为的中位线， ∴， 由三角形两边之和大于第三边可知，当点三点共线时，最小， 过点作于， ∵为正方形，边长为， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值， 故选：．    【融会贯通】 1．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CE＝2BE，EF＝2，连按AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，则线段PE的最小值为(   ) A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】连接AE，过点A作AG⊥AE，截取AG=AE，连接PG，GE，通过SAS证明△AEF≌△AGP，得PG=EF=2，再利用勾股定理求出GE的长，在△GPE中，利用三边关系即可得出答案． 【详解】解：连接AE，过点A作AG⊥AE，截取AG=AE，连接PG，GE， ∵将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP， ∴AF=AP，∠PAF=90°， ∴∠FAE+∠PAE=∠PAE+∠PAG=90°， ∴∠FAE=∠PAG， 在△AEF和△AGP中， ∴△AEF≌△AGP（SAS）， ∴PG=EF=2， ∵BC=3，CE=2BE， ∴BE=1， 在Rt△ABE中，由勾股定理得： ， ∵AG=AE，∠GAE=90°， ∴， 在△GPE中，PE＞GE-PG， ∴PE的最小值为GE-PG=， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 2．如图，在菱形中，为边中点，而点在边上，为对角线所在直线上一动点，已知，，且，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，轴对称中最值问题，勾股定理．取的中点，连接，易得，故，即当共线时，最大，作于，先后求出，最后用勾股定理求即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 四边形是菱形 在和中 连接 当共线时，最大，图中处 作于 ． 即的最大值为． 3．（1）如图①，锐角中，，，的平分线交于点，，分别是和上的动点，则的最小值为 ； （2）如图②，在边长为的菱形中，，是边的中点，若线段绕点旋转得线段，连接，则长度的最小值为 ； （3）如图③，正方形边长为，点在边上，．以点为圆心，长为半径画，点在上移动，将绕点逆时针旋转90°至，连接，在点移动过程长度的最大值为 ． 【答案】 【分析】（1）作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，根据是的平分线，可得，再根据锐角三角函数的定义即可求解； （2）作于点，根据题意，在的运动过程中，在以为圆心、为直径的圆上的弧上运动，当取最小值时，由两点之间线段最短知，此时、、三点共线，得出的位置，进而利用锐角三角函数的关系求出的长即可； （3）由“”可证≌，得到，点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上，则当在对角线的延长线上时，最大，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值． 是的平分线， ， 是点直线得到最短距离（垂线段最短）， ，， ， 的最小值是， 故答案为：； （2）如图，作于点， 是边的中点， ， 线段绕点旋转得线段， ， 菱形中，， ， 在中， ， ， 则， 在中，， 当在上时，最小， 则长度的最小值是：， 故答案为：； （3）当点在对角线的延长线上时，最大，连接， 由旋转得：，， 即， 四边形是正方形， ，， 即， ， 在和中， ， ≌， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， 长度的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些知识并结合分析问题． 【一览众山小】 1．点D是直角三角形斜边上一点，于E，于F，，连接，则线段长的最小值是（   ）． A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理等知识点，正确地作出辅助线并理解为边上的高时最短，即最小是解题关键． 如图：先根据题意画出图形，再连接，由题意可知为矩形，即得出，从而由垂线段最短可判断为边上的高时最短．再由勾股定理求出的长，最后根据等面积法即可求出此时的值即可． 【详解】解：根据题意可画出如图：再连接． ∵于E，于F，, ∴四边形为矩形， ∴， ∴线段的最小值=线段的最小值． 由垂线段最短可知当时最短，即此时为边上的高． ∵中，， ∴． ∵，即， ∴， ∴的最小值是． 故选C． 2．如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴； 如图所示，在延长线上截取，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5， 故选：B． 3．如图，在中，，，，点为边上一个动点(不与点、重合)，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，矩形的判定与性质，垂线段最短，先由矩形的判定定理得出四边形是矩形，连接，则；所以要使，即最短，只要即可，然后根据三角形的等积转换即可求得的值 【详解】解：连接，如图， 在中，，，， ∴， ∴， 又∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，也最小，即当时, 最小， ∵ ∴， ∴线段的最小值为2.4， 故答案为：2.4 4．如图，已知菱形的对角线与的长分别为和，点，分别是线段，上的动点（均不与端点重合），点，分别是线段，的中点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查菱形，勾股定理，最短路径的知识，解题的关键是作关于的对称性，连接，根据对称性，则，根据三角形的中位线，则；当点，，三点共线且时，有最小值；根据菱形的性质，勾股定理求出，再根据菱形的面积公式，即可． 【详解】解：作关于的对称性，连接，    ∴， ∵点，分别是线段，的中点， ∴， ∴， ∴， 当点，，三点共线且时，有最小值（如图）， 即； ∵四边形是菱形， ∴点是，的中点，， ∵，， ∴，， ∴， ∵菱形的面积为：， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 5．如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直线的图象上，两条直角边所在直线分别与坐标轴相交于、两点，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，当三角板绕点旋转时，的最小值为8，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E、F，则，证明四边形是正方形，得到，进而可证明，得到，则，再由的最小值为8，，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E、F， ∵点A在直线的图象上， ∴点A在的角平分线上， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵的最小值为8， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 故答案为：． 6．如图，在四边形中，，E是的中点，的延长线交于点F，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？并证明 (3)若，，在矩形内部有一动点P，满足，求的最小值．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)当是等腰直角三角形时，四边形是一个正方形，见解析 (3)13 【分析】（1）由E是的中点，，可得，，结合，得到，四边形是平行四边形，由，，根据等腰三角形三线合一，得到，根据矩形的判定定理，即可求证， （2）要使矩形是正方形，则，即，根据直角三角形的性质可得添加条件：是等腰直角三角形， （3）先根据题意求出的面积，从而求出边上的高，即可确定点P的位置，再利用轴对称求最短路径的方法求出最小值． 【详解】（1）解：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴,， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， （2）解：当是等腰直角三角形时，四边形是一个正方形， 由（1）知四边形为矩形， ∵，， ∴点D是的中点， ∴， ∴四边形是正方形， （3）解：， ∴， 设点P到的距离为h，则， 解得， ∴点P在平行于且到的距离为的直线上，如图，作点A关于点P所在平行于的直线的对称点G，连接，此时的值最小为的长，    ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了矩形的判定，正方形的判定，直角三角形斜边中线的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，熟练掌握相关判断定理和性质定理是解题的关键． 7．请你认真阅读思考下面的材料，完成相关问题． 【数学模型】 如图①，A，B是直线l同旁的两个定点，在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且 【模型应用】 (1)如图②，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．在l上确定一点P，则的最短路径长为______米； (2)如图③，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上一个动点，求的最小值； (3)如图④，在平面直角坐标系中，点，．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【答案】(1)1500 (2) (3)P点坐标为；的最小值为 【分析】本题考查了轴对称-最短问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键． （1）作点A关于直线l的对称点，连接，过点作并交线于点M，根据对称的性质得出米，米，米，再由勾股定理求解即可； （2）连接，设与交于点P，根据正方形的性质及轴对称得出P在与的交点上时，最小，为的长度，利用勾股定理求解即可； （3）作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，P点即为所求，利用轴对称的性质得出，则，的值最小，然后确定一次函数解析式即可得出结果，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：作点A关于直线l的对称点，连接，过点作并交线于点M， ∴米， 在中，米，米， （米）， ∴“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米， 故答案为：1500； （2）如图，连接， 设与交于点P， ∵四边形是正方形， ∴点B与D关于对称， ∴， ∴最小． 即P在与的交点上时，最小，为的长度． ∵直角中，， ∴． ∴的最小值为． （3）如图，作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，P点即为所求： 利用对称的性质得到，则，的值最小； A点关于x轴对称的点的坐标为， 设直线的解析式为， 把代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴P点坐标为； 的最小值为：． 8．在平面直角坐标系中，已知线段，为线段上任意一点，已知图形，为图形上任意一点，当，两点间的距离最小时，将此时的长度称为图形与线段的近点距；当，两点间的距离最大时，将此时的长度称为图形与线段的远点距．       根据阅读材料解决下列问题： 如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，正方形的对称中心为原点． (1)线段与线段的近点距是__________，远点距是__________． (2)如图2，直线与轴，轴分别交于点，，则线段和正方形的近点距是__________，远点距是__________． (3)直线与轴，轴分别交于点，，线段与正方形的近距点是，则的值是__________． (4)在平面直角坐标系中，有一个矩形，若此矩形至少有一个顶点在以为圆心1为半径的圆上，其余各点可能在圆上或圆内，将正方形绕点旋转一周，在旋转过程中，它与矩形的近点距的最小值是__________，远点距的最大值是__________． 【答案】(1)4， (2)， (3) (4)1， 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，一次函数的性质，近点距与远点距的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）线段与线段的近点距是正方形的边长，远点距是正方形的对角线． （2）如图2中，连接，延长交于．解直角三角形求出，，，即可解决问题、 （3）如图3中，设直线交直线于，．由题意当时，线段与正方形的近距点是，作于，由是等腰直角三角形，，求出点的坐标，再利用待定系数法即可解决问题． （4）如图中，找出近点矩和远点距地位置，即可求出长度． 【详解】（1）解：由题意得，线段与线段的近点距是， 远点距是， 故答案为：4，； （2）解：如图2中，连接，延长交于． 当，， 当，则，解得， ∴， ∵为正方形对角线， ∴平分， ，， ∵， ∴， 在中，， ， ∵， ， ，， ， 或的长是远点距， 线段和正方形的近点距是，远点距是． 故答案为：，． （3）解：如图3中，设直线交直线于，． 当，， 当，则，解得， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， ∴的长度是线段与正方形的远点距， 即 作于， ∵ 是等腰直角三角形， 而， 在中，由勾股定理可得， ， ， 同理可得， 把，代入得到， 把，代入得到， 故答案为：． （4）解：如图，当矩形在圆上的点H与圆的x轴交点重合时，此时近点矩为的长度，； 如图，当矩形在圆上的点H在第四象限且在对角线上时，此时为远点距， ∴． 故答案为：1，． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$