专题01 特殊平行四边形（中等类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题01特殊平行四边形思维导图 【类型覆盖】 类型一、菱形的面积 【解惑】如图，菱形的对角线交于点，，，则菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．菱形的对角线长分别是8，6，则这个菱形的面积是 ． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．    (1)在图①中，以为边画一个平行四边形，使且其面积为6； (2)在图②中，以为边画一个，使且其面积为10； (3)在图③中，以为边画一个菱形，使且其面积为6． 类型二、正方形的重叠部分面积 【解惑】如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．无法确定 【融会贯通】 1．如图，有A、B两个正方形，若将这两个正方形叠放在一起可得到图①，则图中阴影部分面积为1，若将A，B并列放置构造出新的正方形可得到图②，图中阴影部分面积为24，则新构造出的正方形面积为（    ） A．49 B．65 C．78 D．97 2．如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 3．一位同学拿了两块45°的三角尺、做了一个探究活动，将的直角顶点放在的斜边的中点处，设． （1）如图1，两个三角尺的重叠部分为，则重叠部分的面积为______． （2）将图1中的绕顶点逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为______． （3）如果将继续绕顶点逆时针旋到如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并加以验证． 类型三、特殊平行四边形的平移 【解惑】如图，正方形的边长为，将正方形沿对角线向右平移得到正方形，则点与之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图， 在中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形，则a的值可以为（   ） A．2 B．3 C． D． 2．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则四边形的周长为 ． 3．【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形．其判定的依据是____________________． 【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和（，），其中，，将它们按图②放置，落在边上，，与边分别交于点M，N．求证：是菱形． 【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上，当时，延长，交于点P，得到图③．若四边形的周长为40，且与之间的距离为8，则四边形的面积为____________．    类型四、特殊平行四边形的翻折 【解惑】如图、在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在的中点处，折痕为，点，分别在边，上，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，顶点的坐标是，将矩形沿对角线进行翻折，点落在点的位置，交轴于点，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．如图，正方形中，点在线段上，点在线段上，将四边形沿直线翻折，点的对应点恰好落在线段上，点的对应点为点，交于点，交于点．若正方形边长为4，长为1，则线段的长为 ． 3．如图，四边形为一个矩形纸片，，动点P自D点出发运动至C点后停止．以直线为轴翻折，点D落到点E的位置设，与原纸片重叠部分的面积为y． (1)如图1，请求出当x为何值时，直线过点C； (2)如图2，点F在线段上，，当x为何值时，直线经过点F； (3)求出y与x的函数关系式． 类型五、特殊平行四边形的旋转 【解惑】如图，在中，，顶点A的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，将边长为8的正方形纸片沿对折再展平，沿折痕剪开，得到矩形和矩形，再将矩形绕点顺时针方向旋转．使点与点重合，点的对应点为，则图②中阴影部分的周长为（　　） A．9 B．10 C．16 D．20 2．如图，正方形的边长为，将绕点旋转，得到，其中、的对应点分别是点、．如果点在正方形内，且到点、的距离相等，那么的长为 ． 3．【初步探究】 （1）如图1，在中，，，，将边绕点逆时针旋转得，连接．小明同学为求的长，提供了以下思路，请你完成其中两处填空： 将绕点顺时针旋转得，连接，，则 ，，再利用勾股定理求得的长．继续得到，通过全等三角形的性质发现，则边的长为 ． 【变式拓展】 请你利用第（1）问的思路方法，解答如下问题： （2）在正方形中，点为正方形内一点，且满足． ①如图2，若，，求的度数． ②如图3，以为边向右按顺时针方向作正方形．在正方形绕点旋转过程中，边交对角线于点，边与边交于点．的周长是否为定值？如果是，求出的周长；如果不是，请说明理由 类型六、一次函数中的菱形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为，，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，菱形的四个顶点均在坐标轴上，已知点，，，点是菱形边上的一个动点，连接，把绕着点顺时针旋转90°得到，连接.若点从点出发，以每秒5个单位长度沿方向运动，则第2023秒时，点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．将菱形按如图的方式放置在平面直角坐标系中，其中． （1）点的坐标是 ； （2）若一次函数的图像与线段有交点，则的整数值是 ． 3．如图，正方形的顶点分别在的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点，并且满足，点是线段上的一个动点． (1)连接，求证：四边形是平行四边形； (2)作交于，当面积为时，求点的坐标； (3)设点是轴上方平面内的一点，以为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 类型七、一次函数中的矩形 【解惑】如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，点在轴上，点为平面内一点，且四边形为矩形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点坐标均已标出，那么的值为（   ） A． B． C．3 D．1 2．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点， ，为的中点，点为矩形边上任意一点，将沿折叠得，若点在矩形的边上，则点的坐标为 ．    3．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点、顶点，且b、c满足，点． (1)顶点C的坐标为_______；线段的长度是________； (2)已知点E是线段上的动点，点F是线段AC上的动点，点，当的值最小时，求F点的坐标； (3)在第（2）问的条件下，点P是坐标轴上的点，点Q是平面内一点，请问存在以点A、F、P、Q为顶点的四边形是以AF为边的矩形吗？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 类型八、一次函数中的正方形 【解惑】如图，正方形的顶点，，将正方形以原点为旋转中心，顺时针旋转后，点C的坐标为（      ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边，分别在x轴、y轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，照此规律作下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，过正方形的顶点，的直线与轴的负半轴交于点，已知点，则点的坐标为 ．    3．综合与实践 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线翻折后，点A恰好落在y轴上的点D处，已知，． (1)求直线的解析式． (2)求的值． (3)直线上是否存在点P使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【一览众山小】 1．矩形具有而菱形不具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．邻角互补 D．邻边相等 2．如图，在菱形中，已知，则的周长是（    ） A．9 B．10 C．12 D．15 3．如图，已知矩形的对角线，相交于点O，，点P是矩形对角线上一点，且，则 °． 4．如图，已知菱形的边长为，，则对角线的长为 .    5．如图，在正方形外侧，作等边，则 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，，，轴，轴，垂足分别为点C，D．点P从O点出发以3个单位长度/秒的速度沿折线运动，点Q同时从B点出发以1个单位长度/秒的速度沿运动，当其中一个点到达点C时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，点P的坐标为______，______； (2)当点P在线段上时，求点P的坐标和的面积（均用含t的式子表示）； (3)在两点运动过程中，是否存在t的值，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 7．应用与探究 [情境呈现] 在一次数学兴趣小组活动中，小明同学将一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中，，，他把三角板固定好后，将三角板从图所示的位置开始绕点按顺时针方向旋转，每秒转动，设转动时间为秒． [问题应用] (1)请直接写出图中线段的值； (2)如图，在三角板旋转的过程中，连接，当四边形是矩形时，求值； (3)在（）的条件下，分别取，的中点，，连接，，求四边形的周长． 8．如图1，在中，，，点是边上一点，连接，沿折叠，使点落在点处，其中，设与相交于点． (1)如图2，当点，重合时， ①求证：四边形是菱形； ②设点为线段上一点，求的最小值． (2)求的面积的取值范围． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01特殊平行四边形思维导图 【类型覆盖】 类型一、菱形的面积 【解惑】如图，菱形的对角线交于点，，，则菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的对角线为，，求出菱形的面积即可． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点，，， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，根据勾股定理求得，进而得出，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， 故选：A． 2．菱形的对角线长分别是8，6，则这个菱形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线的乘积的一半进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵菱形的对角线长分别是8，6， 则， ∴这个菱形的面积是． 故答案为： 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．    (1)在图①中，以为边画一个平行四边形，使且其面积为6； (2)在图②中，以为边画一个，使且其面积为10； (3)在图③中，以为边画一个菱形，使且其面积为6． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查作图−应用与设计作图，菱形的性质，勾股定理以及勾股逆定理的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题， （1）根据平行四边形的性质，则,的高为，得出其面积为6，画图即可； （2）根据网格特征以及勾股定理得出、再结合勾股逆定理列式，画图即可； （3）根据菱形的性质，则，进行画图即可． 【详解】（1）解：平行四边形如图所示：    （2）解：如图所示：    （3）解：菱形如图所示：    类型二、正方形的重叠部分面积 【解惑】如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】B 【分析】如图：连接ABCD的对角线，根据题意可以推出△COF≌△DOE，所以重合部分的面积为△OCD的面积． 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BO＝CO＝DO，∠BDC＝∠BCO＝45°，AC⊥BD， ∴∠DOC＝∠EOF＝90°， ∴∠DOE＝∠COF， 在△COF和△DOE中， ， ∴△COF≌△DOE（ASA）， ∴S△COF＝S△DOE， ∴四边形OECF的面积＝S△OCD＝S正方形ABCD＝， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、三角形的面积、全等三角形的判定和性质．解题关键在于找到全等三角形进行代换． 【融会贯通】 1．如图，有A、B两个正方形，若将这两个正方形叠放在一起可得到图①，则图中阴影部分面积为1，若将A，B并列放置构造出新的正方形可得到图②，图中阴影部分面积为24，则新构造出的正方形面积为（    ） A．49 B．65 C．78 D．97 【答案】A 【分析】分别设A、B两个正方形的边长为和，利用正方形性质，可知叠放在一起后阴影部分的小正方形边长是，并列在一起后边长为，用和表示出阴影部分面积，列出方程组解答即可求出和的长，即可得出结果． 【详解】解：设A正方形边长为，B正方形边长为， 由图可知①中小正方形的边长为，面积为1， ， ， ， 由图可知②中新构造出的正方形边长为， 面积， ， ， ， 解得：或（舍去）， 当时，， 新构成的正方形面积为． 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式及其变形是解题的关键． 2．如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，根据正方形的性质得出，，，推出，证出可得答案，证明是解此题的关键． 【详解】∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．一位同学拿了两块45°的三角尺、做了一个探究活动，将的直角顶点放在的斜边的中点处，设． （1）如图1，两个三角尺的重叠部分为，则重叠部分的面积为______． （2）将图1中的绕顶点逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为______． （3）如果将继续绕顶点逆时针旋到如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并加以验证． 【答案】（1），（2），（3），验证见解析． 【分析】（1）如图（1）中，由题目已知条件可得,，根据勾股定理即可得到的值，再根据是的中点，得出，即可求出重叠部分的面积； （2）如图（2）中，由题意可得，重叠部分是正方形，边长为，面积为； （3）如图（3）中，过点M作、的垂线、，垂足为、，求得≌，则阴影部分的面积等于正方形的面积． 【详解】解：（1）如图（1）中， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴=， ∵， ∴， ∴重叠部分的面积为： （2）如图（2）中，由题意可得，重叠部分是正方形， ∴边长为：， ∴面积为： （3）如图（4），过点分别作，的垂线、，垂足分别为、， ∵是斜边的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴阴影部分的面积等于正方形的面积， ∵正方形的面积是， ∴阴影部分的面积是． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 类型三、特殊平行四边形的平移 【解惑】如图，正方形的边长为，将正方形沿对角线向右平移得到正方形，则点与之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，平移的性质，由四边形是正方形，则，，根据勾股定理得，然后根据平移的性质得，通过线段和差即可求解，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， 由勾股定理得：， ∵正方形沿对角线向右平移得到正方形， ∴， ∴， 故选：． 【融会贯通】 1．如图， 在中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形，则a的值可以为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质和判定，平移的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解决问题的关键．先证得四边形为平行四边形，当时，为菱形，此时，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，即，， ∵将线段水平向右平移a个单位长度得到线段， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，为菱形， 此时． 故选：A 2．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则四边形的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查平移的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用平移的性质求出矩形的长，宽即可解决问题． 【详解】解：根据平移的性质可知，四边形是矩形，长，宽， ∴四边形的周长， 故答案为：20． 3．【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形．其判定的依据是____________________． 【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和（，），其中，，将它们按图②放置，落在边上，，与边分别交于点M，N．求证：是菱形． 【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上，当时，延长，交于点P，得到图③．若四边形的周长为40，且与之间的距离为8，则四边形的面积为____________．    【答案】【操作发现】两组对边分别平行的四边形是平行四边形；【探究提升】见解析；【结论应用】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （操作发现），根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可； （探究提升），证明四边形是平行四边形，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论成立； （结论应用），证明四边形是菱形，求得其边长为10，作于Q，利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：（操作发现），∵两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起， ∴，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， 故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （探究提升），∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴平行四边形是菱形； （结论应用），∵平行四边形纸条沿或平移， ∴，， ∴四边形、、是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵四边形是菱形， ∴四边形是菱形， ∵四边形的周长为40， ∴， 作于Q，    ∴与之间的距离为8， ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：80． 类型四、特殊平行四边形的翻折 【解惑】如图、在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在的中点处，折痕为，点，分别在边，上，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查菱形的折叠问题，等边三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知菱形的性质、折叠的特点及勾股定理的应用．连接，，证明是等边三角形，证得，由折叠可得，由可求出答案． 【详解】解：如图，连接，， 四边形为菱形，， ，，， 是等边三角形， 是中点， ，，， ， ， ， 由折叠可得， ， ， ， 故选：B．    【融会贯通】 1．如图在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，顶点的坐标是，将矩形沿对角线进行翻折，点落在点的位置，交轴于点，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标系中的点，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 证明出，设，则，对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图， 由翻折得，， ∵四边形是矩形，顶点的坐标是， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， 故选：C． 2．如图，正方形中，点在线段上，点在线段上，将四边形沿直线翻折，点的对应点恰好落在线段上，点的对应点为点，交于点，交于点．若正方形边长为4，长为1，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理求得，连接，，证明是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵正方形边长为4，长为1， ∴， 如图所示，连接，， ∵折叠， ∴， ∵在正方形的对角线上， ∴， ∴， ∴； 设，则； ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 故答案为：． 3．如图，四边形为一个矩形纸片，，动点P自D点出发运动至C点后停止．以直线为轴翻折，点D落到点E的位置设，与原纸片重叠部分的面积为y． (1)如图1，请求出当x为何值时，直线过点C； (2)如图2，点F在线段上，，当x为何值时，直线经过点F； (3)求出y与x的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【分析】（1）由勾股定理得，，由翻折的性质可知，，，则，由直线过点C，可知，，由勾股定理得，，即，计算求解即可； （2）如图2，连接，由勾股定理得，，同理（1）可知，，，，由题意得，，由勾股定理得，，即，，即，则，计算求解即可； （3）由题意知，①当时，与原纸片重叠部分的面积为的面积．如图3，则；②当时，点E在矩形的外部，如图4，记交于H，则，，如图4，作于G，则四边形是矩形，则，设，则，由勾股定理得，，即，可得，根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，， 由勾股定理得，， 由翻折的性质可知，，， ∴， ∵直线过点C， ∴，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴当时，直线过点C； （2）解：如图2，连接， 由勾股定理得，， 同理（1）可知，，，， 由题意得，， 由勾股定理得，，即， ，即， ∴， 解得， 当时，直线经过点F； （3）解：由题意知，①当时，与原纸片重叠部分的面积为的面积．如图3， ∴； ②当时，点E在矩形的外部，如图4，记交于H， ∵， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， 如图4，作于G，则四边形是矩形， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得：， ∴， 综上所述，当时，；当时，． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，等角对等边，勾股定理，函数解析式等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，折叠的性质，等角对等边，勾股定理，函数解析式是解题的关键． 类型五、特殊平行四边形的旋转 【解惑】如图，在中，，顶点A的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转中的坐标规律探究，由题意可得每8次旋转一个循环，然后利用等腰直角三角形的性质和正方形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴经过8次旋转后图形回到原位置． ∵， ∴旋转2024次后恰好回到原来图形位置， 过点D作轴于点E． 由题意可得，是等腰直角三角形， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴点D的坐标为． 故选D． 【融会贯通】 1．如图，将边长为8的正方形纸片沿对折再展平，沿折痕剪开，得到矩形和矩形，再将矩形绕点顺时针方向旋转．使点与点重合，点的对应点为，则图②中阴影部分的周长为（　　） A．9 B．10 C．16 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理以及菱形的判定与性质等，解答本题的关键是勾股定理以及菱形的判定．首先根据已知条件判断出，得到，，然后可设的长度为x，则，根据勾股定理列方程可解出x，最后证明阴影部分是菱形后，即可求出其周长． 【详解】解：如图，设交于G，旋转后交于点H，    由题意知，，， 又∵， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴为菱形， ∴阴影部分的周长为：， 故选：D． 2．如图，正方形的边长为，将绕点旋转，得到，其中、的对应点分别是点、．如果点在正方形内，且到点、的距离相等，那么的长为 ． 【答案】/ 【分析】作的垂直平分线，交于，交于，作，交于点，连接、、，由题意可知当在上时满足到点、的距离相等，得到，根据正方形性质可证明，从而推出，然后判定四边形是矩形，结合垂直平分，推出，即可根据勾股定理可算出，得到，最后再由勾股定理算出，即可得到答案． 【详解】作的垂直平分线，交于，交于，作，交于点，连接、、 由题意可知，当旋转到上时，到点、的距离相等，且 四边形是正方形 ，， ， 在和中 ，， 四边形是矩形 又垂直平分， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的旋转，垂直平分线的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据题意找到位置并作出相应的辅助线是解题的关键． 3．【初步探究】 （1）如图1，在中，，，，将边绕点逆时针旋转得，连接．小明同学为求的长，提供了以下思路，请你完成其中两处填空： 将绕点顺时针旋转得，连接，，则 ，，再利用勾股定理求得的长．继续得到，通过全等三角形的性质发现，则边的长为 ． 【变式拓展】 请你利用第（1）问的思路方法，解答如下问题： （2）在正方形中，点为正方形内一点，且满足． ①如图2，若，，求的度数． ②如图3，以为边向右按顺时针方向作正方形．在正方形绕点旋转过程中，边交对角线于点，边与边交于点．的周长是否为定值？如果是，求出的周长；如果不是，请说明理由 【答案】（1）；；（2）①，②周长是定值， 【分析】（1）根据旋转的性质，则，；根据勾股定理求出，，再根据全等三角形的判定和性质，即可； （2）把绕点旋转得，根据旋转的性质，等腰三角形的判定，则是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理，则是直角三角形，即可；延长到点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，，根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，则，，根据三角形的周长，等量代换，即可． 【详解】（1）∵绕点逆时针旋转得， ∴，， ∵绕点顺时针旋转得，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． （2）①把绕点旋转得， ∴，，，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 周长是定值，理由如下： 延长到点，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形，全等三角形，勾股定理，旋转的知识，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理的运用． 类型六、一次函数中的菱形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为，，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形与坐标，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质和，可得，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：在菱形中，，， ∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，菱形的四个顶点均在坐标轴上，已知点，，，点是菱形边上的一个动点，连接，把绕着点顺时针旋转90°得到，连接.若点从点出发，以每秒5个单位长度沿方向运动，则第2023秒时，点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形判定与性质等知识点，发现运动规律，找到第2023秒是点P的位置，然后作辅助线构造全等三角形是解本题的关键． 首先根据四边形是菱形和A，B的坐标，求出，再根据题中运动方式可知点P的运动轨迹每4秒一个循环，得到第2023秒时点F的坐标与第3秒时点F的坐标相同．画出第3秒时的位置，过点F作轴于点G，可证，再根据全等三角形对应边相等，可得点F的坐标． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ， ． ∵点P从点A出发，以每秒5个单位长度沿方向运动， ∴点P的运动轨迹每4秒一个循环， ， ∴第2023秒时，点F的坐标与第3秒时点F的坐标相同，第3秒时点P在B点． 如图，过点F作轴于点G， ，， ， 又，且， ， ，， ， ． 故选：C． 2．将菱形按如图的方式放置在平面直角坐标系中，其中． （1）点的坐标是 ； （2）若一次函数的图像与线段有交点，则的整数值是 ． 【答案】 【分析】（1）根据菱形四边相等的性质，根据点A坐标求出边长，得到点C坐标，即可求出点B坐标； （2）分别将点A和点B坐标代入中，求出m的范围，从而可得整数m的值． 【详解】（1）解：∵菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）∵一次函数中，， ∴y随x的增大而增大， 将，分别代入， 得：，， ∴，， ∴若一次函数的图像与线段有交点， 则， ∵，， ∴整数m的值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，一次函数的应用，解题的关键是结合各部分知识的特征，将关键点联系起来解决问题． 3．如图，正方形的顶点分别在的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点，并且满足，点是线段上的一个动点． (1)连接，求证：四边形是平行四边形； (2)作交于，当面积为时，求点的坐标； (3)设点是轴上方平面内的一点，以为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)或． 【分析】()首先求出，代入，可求得，则，即可得四边形是平行四边形； ()过点作于，首先证明，则，可求得，设出的坐标，根据三角形的面积公式即可求得的纵坐标，进而求得的坐标； ()分四边形是菱形和四边形是菱形两种情况进行讨论：当四边形 是菱形时，是的中垂线与的交点，关于的对称点就是；当 四边形是菱形，，在直角边上，设出的坐标，根据即可求得的坐标，则根据和的中点重合，即可求得的坐标； 本题考查了一次函数的几何应用，平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理，坐标与图形，正确根据菱形的性质求得的坐标是解题的关键. 【详解】（1）证明：如图， ∵正方形的顶点分别在的正半轴上，点的坐标为， ∴，， ∵， ∴，， ∴, 把代入得，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作于， ∵，四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的坐标为， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：当四边形是菱形时，如图， ∵的纵坐标是，把代入得，， 解得， ∴的坐标是， ∴点的坐标为； 当四边形是菱形时，如图， ∵，设的横坐标是，则纵坐标是， 则， 解得或(舍去)， ∴， ∴的坐标是， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 类型七、一次函数中的矩形 【解惑】如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，点在轴上，点为平面内一点，且四边形为矩形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数，可求出，又四边形为矩形，点在轴上，设，根据勾股定理可求，，再根据矩形对角线互相平分，求出AC中点M，即可求出D点的坐标． 【详解】解：依题意，设 一次函数 即 即 取AC中点M，连接BD，则 根据矩形的性质，M点也为BD的中点 故答案为：D． 【点睛】本题考查一次函数与四边形相结合，坐标轴上的点的特征、勾股定理与矩形的性质，注意利用对角线互相平分是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点坐标均已标出，那么的值为（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，涉及矩形性质、中点坐标公式等知识，熟练掌握矩形性质及中点坐标公式是解决问题的关键．由矩形的对角线交于一点，且对角线相互平分，从而由中点坐标公式求出对角线交点的坐标，列方程求解即可得到的值，代入代数式求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由中点坐标公式可知中点的坐标为，即； 中点的坐标为，即； ， 解得， ， 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点， ，为的中点，点为矩形边上任意一点，将沿折叠得，若点在矩形的边上，则点的坐标为 ．    【答案】或或 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，勾股定理，坐标与图形，解题的关键是掌握折叠的性质．分为三种情况讨论：当点在上时，过点作于点；当点在上时，过点作于点；当点在上时；根据矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：点，，四边形是矩形， ，，， 为的中点， ， 如图，当点在上时，过点作于点，   ， 四边形是矩形， ，， 由折叠可得：， ， ， ； 如图，当点在上时，过点作于点，    同理可证，四边形是矩形， ，， 由折叠可得：， ， ， ； 如图，当点在上时，    由折叠可得：， 为的中点， ， 此时点与重合， ， 综上所述，点的坐标为或或． 3．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点、顶点，且b、c满足，点． (1)顶点C的坐标为_______；线段的长度是________； (2)已知点E是线段上的动点，点F是线段AC上的动点，点，当的值最小时，求F点的坐标； (3)在第（2）问的条件下，点P是坐标轴上的点，点Q是平面内一点，请问存在以点A、F、P、Q为顶点的四边形是以AF为边的矩形吗？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）由二次根式中可求出的值，从而可求出的值，由勾股定理得，即可求解； （2）由等腰三角形的性质得，从而可得平分，作关于对称点，连接，由可判定，由全等三角形的性质得，当、、三点共线，且轴时，最小，最小，再用待定系数法求出直线的解析式为，即可求解； （3）①当在轴上时，此时矩形为，作，将直线绕逆时针旋转得直线，由平行直线的相等得直线的解析式为，可求直线的解析式为，用待定系数法可求直线的解析式为， 直线的解析式为，直线的解析式为，即可求解；②当在轴上时，此时矩形为，同理可求直线的解析式为，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得：， ， ， ，， ； 故答案：，； （2）解：如图， ， ， ， 四边形是矩形， 轴， ， ， 平分， 如上图，作关于对称点，连接， ， 在和中 ， ()， ， 当、、三点共线，且轴时，最小， 最小， ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线的解析式为， 当时， ， ； （3）解：存在，理由如下： 如图， ①如上图，当在轴上时， 此时矩形为， 如图，作，将直线绕逆时针旋转得直线， ， 直线的解析式为， 设()， ， 由旋转得：， 设直线的解析式为，则有， ， ， 解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 当时， ， 解得：， ， 同理可求： 直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立直线和直线的解析式得 ， 解得， ； ②当在轴上时， 此时矩形为， 由①可求， 同理可求： 直线的解析式为， 联立直线和直线的解析式得 ， 解得， ； 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题考查了线段和最小值问题，待定系数法，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定及性质，两直线平行相等，掌握待定系数法、相关的判定方法及性质，能找出取得最小值的条件，根据矩形的顶点位置进行分类讨论是解题的关键． 类型八、一次函数中的正方形 【解惑】如图，正方形的顶点，，将正方形以原点为旋转中心，顺时针旋转后，点C的坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记点C旋转后的对应点为点E，过点C作轴，过点E作轴，可证“一线三等角”全等，，由全等三角形的性质及勾股定理求得，由得，则，由等腰直角三角形即可求解． 【详解】解：记点C旋转后的对应点为点E，过点C作轴，过点E作轴，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由题意得，， ∴， ∴在中，， ∴， 而 ∴点， 即旋转后点C的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数，旋转的性质，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边，分别在x轴、y轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，照此规律作下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、坐标与图形，解题的关键是由坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍． 首先求出、、、、、、、、的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据规律计算出的坐标． 【详解】正方形的边长为1， ， 正方形的边是正方形的对角线， ， 的坐标为， 同理可知， 的坐标为， 同理可知，的坐标为， 的坐标为，的坐标为， ，，，， 由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍， ， 的横坐标符号与相同，横纵坐标相同，且都在第一象限， 的坐标为． 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，过正方形的顶点，的直线与轴的负半轴交于点，已知点，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】过点C作轴于点E，过点A作轴于点F，证明，得出，，求出，根据待定系数法求出直线的解析式为，把代入得：，求出求出点D的坐标即可． 【详解】解：过点C作轴于点E，过点A作轴于点F，如图所示：    则， ∵， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点D的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，求一次函数解析，解题的关键是作出辅助线，求出点C的坐标． 3．综合与实践 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线翻折后，点A恰好落在y轴上的点D处，已知，． (1)求直线的解析式． (2)求的值． (3)直线上是否存在点P使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据，，得到的坐标，待定系数法求出直线的解析式； （2）勾股定理求出的长，折叠求出的长，设，根据勾股定理，可以求出长，进而求出三角形的面积比； （3）分点P在第三象限内和第一象限内两种情况解题即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵将沿所在直线翻折后，点A恰好落在y轴上的点D处， ∴， ∴， 设，则， ∴． 在中：， ∴， ∴． ∴， ∴，， ∴； （3）解：存在，理由如下： 如图，当点P在第三象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则，， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵轴，轴 ∴四边形为正方形 ∴， ∴） ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为： ∴直线解析式为：， 联立方程组，解得：， ∴ 如图，当点P在第一象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则，， 又∵ ∴ ∴， ∵轴，轴 ∴四边形是正方形 ∴， ∴， ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为：， ∴直线解析式为：， 联立方程组，解得：， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查一次函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，坐标与图形，解题的关键是分清点所在象限，正确写出点的坐标． 【一览众山小】 1．矩形具有而菱形不具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．邻角互补 D．邻边相等 【答案】A 【分析】本题考查矩形和菱形的性质，矩形和菱形具有平行四边形的所有性质，矩形的四个内角都是直角，对角线相等；菱形的四条边都相等，对角线互相垂直． 【详解】解：矩形和菱形的对角线都互相平分，邻角互补，菱形的邻边相等，矩形的对角线相等， 即矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等， 故选：A． 2．如图，在菱形中，已知，则的周长是（    ） A．9 B．10 C．12 D．15 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形和等边三角形．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判断和性质，是解题的关键． 根据菱形的性质得到，根据得到是等边三角形，进而问题可求解． 【详解】∵四边形是菱形， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． ∴， ∴的周长为：． 故选：D． 3．如图，已知矩形的对角线，相交于点O，，点P是矩形对角线上一点，且，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；根据四边形是矩形，可得，再根据，求出的度数，再利用，即可求出的度数． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ∴为等边三角形， ， ∵， ； ∵， ． 故答案为：． 4．如图，已知菱形的边长为，，则对角线的长为 .    【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．由菱形的性质可得，再由得为等边三角形，即可求得答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 为等边三角形， ， 故答案为：． 5．如图，在正方形外侧，作等边，则 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，先求出的度数，等边对等角求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵在正方形外侧，作等边， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，，，轴，轴，垂足分别为点C，D．点P从O点出发以3个单位长度/秒的速度沿折线运动，点Q同时从B点出发以1个单位长度/秒的速度沿运动，当其中一个点到达点C时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，点P的坐标为______，______； (2)当点P在线段上时，求点P的坐标和的面积（均用含t的式子表示）； (3)在两点运动过程中，是否存在t的值，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，1 (2)， (3)或3 【分析】（1）根据题意可得，当时，，，即可求解； （2）证明四边形是矩形，可得，，从而可得，即可求得点P坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）由题意得，，求得，分类讨论：当点P在上；当点P在上；当点P在上，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， ∴， 故答案为：，1； （2）解：∵轴，轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，； （3）解：由题意得，， ∵，，， ∴， 当点P在上，， ∵， ∴， 解得， 当点P在上，由（2）可得，， ∵， ∴， 解得， 当点P在上时，， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）， 综上所述，或3，． 【点睛】本题考查坐标与图形、矩形的判定与性质、列代数式、解一元一次方程及动点问题，运用数形结合思想进行分类讨论是解题的关键． 7．应用与探究 [情境呈现] 在一次数学兴趣小组活动中，小明同学将一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中，，，他把三角板固定好后，将三角板从图所示的位置开始绕点按顺时针方向旋转，每秒转动，设转动时间为秒． [问题应用] (1)请直接写出图中线段的值； (2)如图，在三角板旋转的过程中，连接，当四边形是矩形时，求值； (3)在（）的条件下，分别取，的中点，，连接，，求四边形的周长． 【答案】(1)； (2)秒； (3)． 【分析】（）由，，得，又，故线段的值为； （）当四边形是矩形时，可得， 即得，即旋转角为，可得的值为秒； （）由四边形是矩形，得，，，勾股定理得，则，通过中位线定理的，又由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，然后代入即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的值为； （2）当四边形是矩形时，如图， 此时， ∵， ∴，即旋转角为， ∴（秒）， ∴的值为秒； （3）由（）知四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在中，根据勾股定理得 ， ∵，的中点，， ∴是的中位线， ∴， 又∵中，为的中点， ∴， ∴四边形的周长． 【点睛】本题考查了所对直角边是斜边的一半，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 8．如图1，在中，，，点是边上一点，连接，沿折叠，使点落在点处，其中，设与相交于点． (1)如图2，当点，重合时， ①求证：四边形是菱形； ②设点为线段上一点，求的最小值． (2)求的面积的取值范围． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①由折叠的性质得到，，利用平行四边形的性质推出，进而得到，推出，即可证得四边形是菱形； ②先证明，得到，进而得到，当A，C，Q三点共线时，最小，此时，连接，证得是等边三角形，得到，求出，勾股定理求出，即可得到的最小值为； （2）当点，重合时，，的面积最小，过点D作于点H，利用30度角的性质及勾股定理求出，，得到；当点P与点D重合时，过点M作于点G，设，证明，得到，利用30度角的性质及勾股定理求出，，列得，求出，即，求出，由此得到的面积的取值范围是． 【详解】（1）解：①当点，重合时，， 由折叠得，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②连接 ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A，C，Q三点共线时，最小，此时， 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （2）当点，重合时，， ∴的面积最小， 过点D作于点H， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当点P与点D重合时，过点M作于点G， 设， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，即， ∴ ∴的面积的取值范围是． 【点睛】此题考查了折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$