11.3.1多边形（四大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（人教版）

11.3.1多边形 题型一 多边形截角后的边数问题 1．（21-22八年级上·四川绵阳·阶段练习）若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 2．（22-23七年级上·陕西西安·期中）一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ． 3．（22-23八年级上·青海西宁·阶段练习）一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ． 4．（21-22八年级上·重庆綦江·期中）一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为 ． 题型二 多边形对角线的条数问题 1．（2024·上海·模拟预测）正六边形的对角线条数为 条． 2．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边数是 ． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）过正八边形的一个顶点有 条对角线． 4．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）正八边形的对角线的条数为 条． 题型三 对角线分成的三角形个数问题 1．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）经过某个多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成七个三角形，则这个多边形是 ． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）八边形从一个顶点出发可以画a条对角线，将这个八边形分成b个三角形，则 ． 3．（23-24八年级上·青海果洛·期末）从七边形的一个顶点作对角线，把这个七边形分成三角形的个数为 ． 4．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）每一个多边形都可以按如图的方法分割成若干个三角形，那么按这种方式，n边形能分割成 个三角形．    题型四 多边形的周长 1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知正八边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 2．（2021·河南·一模）如图，将周长为10的沿边向右平移3个单位，得到，则四边形的周长为 ． 3．（20-21七年级下·浙江金华·期末）如图，将四边形ABCD沿BD、AC剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA＝4，OB＝3，AB＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为 ． 4．（20-21九年级上·山东泰安·期末）如图，将周长为的沿边向右平移个单位，得到则四边形的周长为 ． 1．（22-23八年级上·河南商丘·阶段练习）如图1，在五边形中，．    (1)猜想与之问的位置关系，并说明理由； (2)如图2，连接，若平分，求的度数． 2．（20-21八年级上·四川达州·阶段练习）如图，网格中每个小正方形的边长为1． （1）求阴影部分的面积； （2）把图中阴影部分通过剪拼形成一个正方形，设正方形的边长为a．已知a的整数部分和小数部分分别是x和y，求xy的值． 3．（21-22八年级上·安徽阜阳·期末）夏夏和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中，请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… ①　　　　　　　 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ② 　　　　　 (1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①________；②________. (2)拓展应用： 有一个76人的代表团，由于任务需要每两人之间通1次电话（且只通1次电话），他们一共通了多少次电话? 4．（21-22八年级上·辽宁盘锦·期中）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，你就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形． （1）如图，请根据下列图形，填写表中空格： 正多边形边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数 （2）如果限于一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？ （3）从正三角形、正方形、正六边形中选一种，再在其它正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成一个平面图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.3.1多边形 题型一 多边形截角后的边数问题 1．（21-22八年级上·四川绵阳·阶段练习）若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 【答案】14或15或16 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16． 故答案为：14或15或16． 【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 2．（22-23七年级上·陕西西安·期中）一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ． 【答案】5或6或7 【分析】实际画图，数形结合，可知六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 【详解】解：如图所示： 六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 故答案为：5或6或7． 【点睛】本题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况． 3．（22-23八年级上·青海西宁·阶段练习）一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ． 【答案】3或4或5 【分析】一个四边形剪去一个角后，分三种情况求解即可，①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形． 故答案为：3或4或5． 【点睛】本题考查的知识点是多边形的定义，解题关键是列举出所有可能的情况． 4．（21-22八年级上·重庆綦江·期中）一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为 ． 【答案】6或7或8 【分析】存在三种情况，根据图示进行分析． 【详解】解：七边形卡片剪去一个角，存在以下三种，如图1、图2、图 一个七边形卡片剪去一个角后可以变成的多边形卡片可能的边数为6或7或8， 故答案为：6或7或8． 【点睛】本题主要考查多边形，解题的关键是进行分类讨论进行求解． 题型二 多边形对角线的条数问题 1．（2024·上海·模拟预测）正六边形的对角线条数为 条． 【答案】9 【分析】本题主要考查了多边形对角线条数问题，根据n边形有条对角线进行求解即可． 【详解】解：正六边形的对角线条数为条， 故答案为：9． 2．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边数是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了多边形的边数与对角线条数的关系，解题的关键是熟练掌握边形从一个顶点出发的对角线最多可画的条数为． 根据边形从一个顶点出发的对角线最多可画的条数为，求出多边形的边数即可． 【详解】解：∵多边形从一个顶点出发的对角线最多可画9条， ∴， ∴多边形的边数为：． 故答案为：12． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）过正八边形的一个顶点有 条对角线． 【答案】5 【分析】本题考查多边形的对角线问题，根据从边形的一个顶点出发，可以引出条对角线，进行求解即可． 【详解】解：过正八边形的一个顶点有条对角线； 故答案为：5． 4．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）正八边形的对角线的条数为 条． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形对角线条数问题，根据n边形对角线条数为进行求解即可． 【详解】解：正八边形的对角线的条数为条， 故答案为：20． 题型三 对角线分成的三角形个数问题 1．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）经过某个多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成七个三角形，则这个多边形是 ． 【答案】9； 【分析】本题考查多边形的对角线，根据一个顶点可以引条对角线，分成个三角形直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成七个三角形， ∴， 解得：， 故答案为：9． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）八边形从一个顶点出发可以画a条对角线，将这个八边形分成b个三角形，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了多边形的对角线的条数与边数的关系，代数式求值，根据多边形的边数与对角线的条数的关系求出a，b的值，代入求解即可． 【详解】解：由题意可知：，， ， 故答案为：11． 3．（23-24八年级上·青海果洛·期末）从七边形的一个顶点作对角线，把这个七边形分成三角形的个数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了多边形的对角线，多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形．根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：，可分成个三角形直接判断． 【详解】解：从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是， ∴从7边形的一个顶点作对角线，把这个7边形分成三角形的个数是：（个）， 故答案为：5． 4．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）每一个多边形都可以按如图的方法分割成若干个三角形，那么按这种方式，n边形能分割成 个三角形．    【答案】 【分析】过边形的同一个顶点作对角线，可以把边形分成个三角形． 【详解】解：按如图所示的方法，边形能分割成个三角形． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了图形变化类，熟记过边形的同一个顶点作对角线，可以做条对角线，可以把边形分成个三角形． 题型四 多边形的周长 1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知正八边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 【答案】4； 【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案； 【详解】解：∵正八边形的周长是， ∴这个多边形的边长为：， 故答案为：4． 2．（2021·河南·一模）如图，将周长为10的沿边向右平移3个单位，得到，则四边形的周长为 ． 【答案】16 【分析】先根据平移的性质可得，再根据三角形的周长公式可得，然后将四边形ABFD的周长转化为可得． 【详解】解：由平移的性质得：， 的周长为10， ， 则四边形ABFD的周长为， ， ， ， ， ． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了平移的性质，多边形的周长等知识点，掌握理解平移的性质是解题关键． 3．（20-21七年级下·浙江金华·期末）如图，将四边形ABCD沿BD、AC剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA＝4，OB＝3，AB＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为 ． 【答案】20，22，26，28 【分析】以直角三角形边长相等的边为公共边，拼接四边形，再计算周长； 【详解】解：①如图周长=20； ②如图周长=22； ③如图周长=26； ④如图周长=28； ⑤如图周长=22； ∴四边形的周长为：20，22，26，28； 故答案为：20，22，26，28． 【点睛】本题考查了图形的拼接，四边形的周长；作出拼接图形是解题关键． 4．（20-21九年级上·山东泰安·期末）如图，将周长为的沿边向右平移个单位，得到则四边形的周长为 ． 【答案】18 【分析】先根据平移的性质可得，再根据三角形的周长公式可得，然后根据等量代换即可得． 【详解】解：由平移的性质得：， 的周长为10， ， 则四边形ABFD的周长为， ， ， ． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了平移的性质，多边形的周长等知识点，掌握理解平移的性质是解题关键． 1．（22-23八年级上·河南商丘·阶段练习）如图1，在五边形中，．    (1)猜想与之问的位置关系，并说明理由； (2)如图2，连接，若平分，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据可得，结合已知条件可得，进而可得结论； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再根据平行线的性质可得关于的方程，求出即可解决问题． 【详解】（1）猜想：， 理由：， ， ， ， ； （2）平分， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ．    【点睛】本题以多边形为载体，考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义以及一元一次方程的应用等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 2．（20-21八年级上·四川达州·阶段练习）如图，网格中每个小正方形的边长为1． （1）求阴影部分的面积； （2）把图中阴影部分通过剪拼形成一个正方形，设正方形的边长为a．已知a的整数部分和小数部分分别是x和y，求xy的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据题图可知，网格中每个小正方形的边长为1，阴影部分可以拼成一个底边是4，高是3的等腰三角形，据此求解即可； （2）根据题意得，可求得，可得，根据a的整数部分和小数部分分别是x和y，可得，，代入计算即可． 【详解】解：（1）根据题图可知，网格中每个小正方形的边长为1，阴影部分可以拼成一个底边是4，高是3的等腰三角形， 则； （2）由题意得，， ， ， 的整数部分和小数部分分别是和， ，， ． 【点睛】本题是格点问题，考查了算术平方根和阴影部分面积的求法；并能估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法，即用有理数逼近无理数，从而求出无理数的近似值． 3．（21-22八年级上·安徽阜阳·期末）夏夏和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中，请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… ①　　　　　　　 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ② 　　　　　 (1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①________；②________. (2)拓展应用： 有一个76人的代表团，由于任务需要每两人之间通1次电话（且只通1次电话），他们一共通了多少次电话? 【答案】(1)①，② (2)他们一共通了2850次电话 【分析】（1）根据前面5个图形归纳类推出一般规律，由此即可得出答案； （2）将问题转化为一个多边形的顶点数为76个，求这个多边形对角线的总条数与边数之和，再结合（1）的结论即可得． 【详解】（1）解：多边形的顶点数为4时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为， 多边形的顶点数为5时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为， 多边形的顶点数为6时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为， 多边形的顶点数为7时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为， 多边形的顶点数为8时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为， 归纳类推得：当多边形的顶点数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为（其中，且n为整数）， 故答案为：，． （2）解：由题意，将问题转化为一个多边形的顶点数为76个，求这个多边形对角线的总条数与边数之和， 则， 答：他们一共通了2850次电话． 【点睛】本题考查了多边形的对角线条数问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 4．（21-22八年级上·辽宁盘锦·期中）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，你就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形． （1）如图，请根据下列图形，填写表中空格： 正多边形边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数 （2）如果限于一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？ （3）从正三角形、正方形、正六边形中选一种，再在其它正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成一个平面图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由． 【答案】（1）60°，90°，108°，120°，…（n-2）•180°÷n；（2）正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形；（3）答案见详解． 【分析】（1）利用正多边形一个内角=180°-° 求解； （2）进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360°，因此我们只需验证360°是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍； （3）常见的两种正多边形的密铺组合有：正三角形和正四边形能密铺，正六边形只能和正三角形密铺．所以要从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，只能选择正四边形． 【详解】解：（1）由正n边形的内角的性质可分别求得正三角形、正方形、正五边形、正六边形…正n边形的每一个内角为：60°，90°，108°，120°，…（n-2）•180°÷n， 故答案为60°，90°，108°，120°，…， ； （2）如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于360°得正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形； （3）正方形和正八边形（如下图所示）， 理由：设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，那么m，n应是方程m·90＋n·135＝360的正整数解， 即2m＋3n＝8的正整数解，只有 一组， ∴符合条件的图形只有一种． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和的知识点，求正多边形一个内角度数，可先求出这个外角度数，让180减去即可．一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°；两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$