2.1 多边形（15大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（湘教版）

2.1多边形 题型一 平面镶嵌 1．我们知道形状为正五边形的地砖不能铺满地面，但某公园的一段路面是用型号相同的特殊的五边形地砖铺成的．如图，是平铺图案的一部分，其中每个五边形有3个内角相等，那么这3个内角都等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），解题的关键是发现规律，由图中可以看出，这3个内角放在同一顶点处，可组成一个周角，由此即可求出答案． 【详解】因为3个内角放在同一顶点处，组成一个周角，所以每个内角为： 故这3个内角都等于 故选：C． 2．用不同的正多边形瓷砖进行地面铺设，则可由2个正三角形和 个正六边形密铺而成． 【答案】2 【分析】根据正三角形的每个内角为，正六边形的每个内角为，若能构成镶嵌，则还需正多边形的每个内角为，据此即可求解． 【详解】解：正三角形的每个内角为， 正六边形的每个内角为， 还需正多边形的每个内角为， 需要正六边形的个数为：． 故答案为：2． 3．如图，用同样大小的黑、白两种颜色的等腰三角形地砖铺设地面，请在图（b）、（c）所示的正方形网格中给出不同于图（a）的铺法． 【答案】见解析. 【分析】把正方形网格平均分成8块，选择不同于（a）的4块选用黑色的等腰三角形地砖即可． 【详解】解：如图所示： 题型二 多边形的概念与分类 1．将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个五边形，则原多边形纸片的边数不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的与截面，理解多边形边与角的关系，图形结合分析是解题的关键． 根据题意作图分析，即可求解． 【详解】解：A、如图所示，四边形纸片剪下一个三角形后，可以能是五边形，不符合题意； B、如图所示，五边形纸片剪下一个三角形后，可以能是五边形，不符合题意； C、如图所示，六边形纸片剪下一个三角形后，可以能是五边形，不符合题意； D、如图所示，七边形纸片按方式剪下一个三角形后得到一个七边形，按方式剪下一个三角形后得到一个七边形，按方式剪下一个三角形后得到一个六边形，不可能得到五边形，故该项符合题意； 故选：D ． 2．在同一平面内，由 图形叫多边形．组成多边形的线段叫做 ，相邻两边的公共端点叫多边形的 ．如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做 ．多边形 叫做它的内角，多边形的边与它邻边 组成的角叫多边形的外角．连接多边形 的线段叫做多边形的对角线． 【答案】 不在同一条直线上的n（）条线段首尾顺次连接组成的 多边形的边 顶点 n边形 相邻两边组成的角 延长线 不相邻两个顶点 【分析】利用多边形定义、多边形内角、多边形外角及多边形对角线定义填空即可． 【详解】在同一平面内，由不在同一条直线上的n（）条线段首尾顺次连接组成的图形叫多边形． 组成多边形的线段叫做多边形的边， 相邻两边的公共端点叫多边形的顶点． 如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做n边形． 多边形相邻两边组成的角叫做它的内角， 多边形的边与它邻边延长线组成的角叫多边形的外角． 连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线． 故答案为：不在同一条直线上的n（）条线段首尾顺次连接组成的；多边形的边；顶点；n边形；相邻两边组成的角；延长线；不相邻两个顶点． 3．三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？ 【答案】见解析 【分析】根据图形的特征作答即可． 【详解】解：如图所示，三角形有3个顶点，3条边，3个内角； 四边形有4个顶点，4条边，4个内角； 五边形有5个顶点，5条边，5个内角； …… 可发现，多边形的顶点个数和内角个数与边数相同； n边形有n个顶点，n条边，n个内角． 题型三 多边形截角后的边角问题 1．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形． 【详解】解：把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形，不可能是六边形． 故选：D． 2．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 【答案】14或15或16 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16． 故答案为：14或15或16． 3．如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图说明． 【答案】剩余的部分分别为四边形、五边形和六边形，示意图见解析 【分析】本题考查了多边形的截法，正确分类截多边形是解题的关键．分为三种情况，画出图形，解答即可． 【详解】解：如图，剩余的部分分别为四边形、五边形和六边形． 题型四 多边形的周长 1．如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示（单位：mm），则该主板的周长是（　　） A．88mm B．96mm C．80mm D．84mm 【答案】B 【分析】根据题意，电脑主板是一个多边形，由周长的定义可知，周长是求围成图形一周的长度之和，计算周长只需要把横着的和竖着的所有线段加起来即可． 【详解】由图形可得出： 该主板的周长是：24+24+16+16+4×4＝96（mm）， 故该主板的周长是96mm， 故选：B． 【点睛】本题考查了不规则多边形周长的求解方法，理解周长的定义是求解的关键． 2．已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查了正多边形的性质．由正六边形的周长和性质即可得出结果． 【详解】解：∵一个正六边形的周长是， ∴正六边形的边长； 故答案为：5． 3．已知正n边形的周长为60，边长为a （1）当n=3时，请直接写出a的值； （2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值． 【答案】（1）20（2）不正确 【详解】试题分析：分析：（1）根据正多边形的每条边相等，可知边长=周长÷边数； （2）分别表示出a和b的代数式，让其相等，看是否有相应的值. 试题解析：（1）a=60÷3=20； （2）此说法不正确． 理由如下：尽管当n=3、20、120时，a＞b或a＜b， 但可令a=b，得， ∴60n+420=67n， 解得n=60， 经检验n=60是方程的根． ∴当n=60时，a=b，即不符合这一说法的n的值为60． 题型五 网格中多边形的面积 1．如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若每一小正方形的边长均为1，则灰色三角形的面积为（    ）    A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 【答案】A 【分析】利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可求得． 【详解】解：灰色三角形的面积为：4×4-×3×2-×1×4-×2×4=7， 故选：A． 2．各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积 ． 【答案】6 【分析】根据题目要求，数出五边形内部格点的数量，五边形边上格点的数量，代入计算即可． 【详解】由图可知：五边形内部格点有4个，故 五边形边上格点有6个，故 ∴＝ 故答案为：6． 3．如图，每个小正方形的边长都为1． (1)四边形的面积________； (2)四边形的周长________； (3)与有什么关系？请说明理由． 【答案】(1)12 (2) (3)相等，且垂直 【分析】（1）根据正方形的面积减去三个直角三角形的面积计算即可； （2）根据勾股定理计算即可； （3）先根据勾股定理的逆定理确定是直角三角形，可得答案． 【详解】（1）四边形的面积； 故答案为：12； （2）四边形的周长为 ； 故答案为：； （3）相等，且垂直． 理由：如图所示，连接． 根据勾股定理，得， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 所以，且． 题型六 多边形对角线条数问题 1．从一个多边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，则这个多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的对角线和边数的关系，从一个顶点出发可以画出条对角线，为多边形的边数． 根据从一个顶点出发，可以画条对角线，计算即可得到答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意得：， ， 故选： D． 2．从十二边形一个顶点出发可以引出n条对角线，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了多边形对角线的定义，熟练掌握相关公式是解题关键． 根据“从边形的一个顶点出发可以画条对角线”进一步求解即可． 【详解】该多边形为十二边形， ， 从十二边形的一个顶点出发可以画9条对角线， 故答案为：9． 3．画出下面各图中多边形的所有对角线．    【答案】见解析 【分析】将与每个顶点不相邻的顶点连起来即可. 【详解】解：分别将三个图形中的与每个顶点不相邻的顶点连接起来， 如图所示，即为所求：    题型七 对角线分成三角形的个数问题 1．从多边形的一个顶点出发向其余的顶点引对角线，将多边形分成8个三角形，则此多边形边数为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查多边形的有关知识，n边形从一个顶点引出的对角线把n边形分成个三角形，由此即可得到答案． 【详解】解：设这个多边形的边数是n， 由题意得：， ∴， 故选：B． 2．过一个多边形的一个顶点出发有4条对角线，这些对角线将这个多边形分成 个三角形． 【答案】5 【分析】本题考查了多边形与对角线，多边形对角线分三角形数量的关系，理解并掌握多边形与对角线的关系是解题的关键． 变形从一个点的出发可以引出条对角线，可以得到的个三角形，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， 解得，， ∴该多边形是七边形， ∴， 即这些对角线将这个多边形分5个三角形， 故答案为：5 ． 3．画图题： (1)如图①从多边形的一个顶点出发画对角线，把多边形分割成三角形； (2)如图②从多边形的一条边上的一点出发画对角线，把多边形分割成三角形； (3)如图③从多边形的内部一点出发画对角线，把多边形分割成三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连接两个不相邻的顶点即可； （2）在一边上找一点，分别跟与这条边不相邻的两个顶点相连即可； （3），在四边形内取一点，分别与四个顶点相连即可； 【详解】（1）解：如图①所示，连接一组不相邻的顶点即可； （2）解：如图②所示，在一边上找一点，分别跟与这条边不相邻的两个顶点相连即可； （3）解：如图③所示，在四边形内取一点，分别与四个顶点相连即可； 题型八 多边形内角问题 1．佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和，根据多边形的内角和公式计算即可，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：这个正多边形的边数为， 由题意得，， 解得， ∴这个正多边形的边数为， 故选：． 2．如图，这是某校创客教室内的桌椅摆放图，其中桌面外围是一个正六边形，则该正六边形的内角和是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是多边形的内角和定理的应用，根据边形的内角和为，进行计算即可，掌握内角和的计算公式，是解题的关键． 【详解】解：正六边形的内角和是； 故答案为：． 3．如图，这两个四边形关于某直线对称，根据图中的条件直接写出、的值． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质：对应角相等，对应线段相等,多边形内角和；由此性质即可求解． 【详解】解：由于四边形与四边形关于某直线对称， 则，， ， ； 故． 题型九 正多边形的内角问题 1．正多边形的每个内角为，则它的边数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的知识，解题的关键是掌握正多边形的内角和，外角和定理，根据题意，求出正多边形的外角，根据正多边形的边数为：除以外角，即可． 【详解】解：正多边形的每个内角为， ∴正多边形的外角为：， ∵多边形的外角和为， ∴正多边形的边数为：． 故选：B． 2．已知正n边形的一个内角是，则边数n的值是 【答案】8 【分析】本题主要考查了正多边形内角和问题，正n边形的内角和为，再根据每个内角的度数为建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 3．如图，一个正方形和一个正六边形有一边重合．    (1)用无刻度的直尺画出这个图形的对称轴，保留作图痕迹，不写作法； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为 【分析】（1）连接交于点，连接交于点N，过点作直线即可； （2）根据多边形的内角和可得和的度数，再根据周角是即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线即为所作    （2）解：∵四边形是正方形， ∴ ∵正六边形的内角和为， ∴正六边形一个内角的度数为 ∴ ∴ ∴的度数为 题型十 多（少）算一个角问题 1．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是(      ) A．或 B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题． 【详解】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 根据题意得（n﹣2）•180°＝2520°， 解得：n＝16， 则多边形的边数是15或16或17． 故选：D． 2．如果把一个多边形剪去一个内角，剩余部分的内角和为，那么原多边形有 条边． 【答案】或或9 【分析】本题考查了多边形的内角和度数，熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：以五边形为例，如图所示：    剪去一个内角后，多边形的边数可能加，可能不变，也可能减 设新多边形的边数为， 则， 解得： ∴原多边形可能有或或9条边． 故答案为：或或9． 3．一个多边形沿一条对角线剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，求原多边形的边数． 【答案】9 【分析】根据多边形沿一条对角线剪去一个内角后，可知新多边形比原多边形少1条边，根据多边形内角和公式180°×（n﹣2），可得答案． 【详解】解：设原来多边形的边数为x，则剪去一个内角后，边数为x-1， 由条件可得：， 解得：， 原来多边形的边数为9． 题型十一 多边形截角后的内角问题 1．在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为，则边数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，即，根据题意先得出这个多加的内角为，然后再根据多边形内角和定理可得出：，求出n即可得出答案． 【详解】解：， ∴这个多加的内角为， 设这个多边形的边数为n， 根据多边形内角和定理可得出：， 解得：， 故选∶D 2．一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这个多边形的边数为 ． 【答案】11 【分析】直接利用多边形内角和公式列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：设这个多边形边数为n， ， ∴， ∵n是整数， ∴， 故答案为11． 3．（1）一个凸多边形的内角和与它的一个外角的和为2005º，求多边形的边数； （2）如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其它内角的和为2570，求这个没有计算在内的内角的度数. 【答案】（1）多边形的边数为13；（2）这个没有计算在内的内角的度数130°． 【分析】（1）根据凸多边形内角和与边数的公式（内角和=）以及凸多边形的外角小于，求解即可； （2）根据凸多边形内角和与边数的公式（内角和=）以及凸多边形的内角小于，求解即可． 【详解】解：（1）根据凸多边形内角和与边数的公式（内角和=）以及凸多边形的外角小于，设凸多边形的边数为， 用余 则， 所以凸多边形的边数为 （2）根据凸多边形内角和与边数的公式（内角和=）以及凸多边形的内角小于， 用余， 所以没有计算在内的内角的度数为． 题型十二 复杂图形的内角和 1．如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 故选C． 2．如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则 ． 【答案】68 【分析】延长交于D，延长交于G， 根据外角的性质得到根据四边形的内角和和邻补角的定义得到于是得到结论． 【详解】解：延长BE交AC于D，延长CF交BD于G， 故答案为： 3．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数． 【答案】540° 【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多边形的内角和公式可求得答案． 【详解】解：如图所示： 由三角形的外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°． 题型十三 正多边形的外角 1．永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是太原市现存最高的古建筑．如图所示的正八边形是双塔平面示意图，其每个外角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的外角和，熟记正多边形的外角和等于是解题关键．根据正多边形的外角和求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．已知，正多边形的一个外角是，则这个正多边形是正 ． 【答案】九边形 【分析】本题考查正多边形的外角和，根据正多边形的外角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：； ∴正多边形是正九边形； 故答案为：九边形． 3．已知一个n边形的每一个内角都等于150°，求n的值． 【答案】12 【分析】本题考查正多边形的外角问题．根据题意，得到n边形的每一个外角都等于30°，再根据外角和为360度，求解即可．掌握正多边形的每一个外角都相等，是解题的关键． 【详解】解：∵一个n边形的每一个内角都等于150°， ∴n边形的每一个外角都等于30°， ∴． 题型十四 多边形的外角和实际应用 1．五边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形的外角和，根据多边形的外角和均为即可得出答案． 【详解】解：五边形的外角和为， 故选：B． 2．已知一个正n边形的一个外角为，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了正多边形的外角及外角和等知识点，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键，根据正多边形的性质及多边形的外角和列式计算即可． 【详解】解：∵一个正n边形的一个外角为， ∴， 故答案为：9． 3．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路与道路平行，道路与道路的夹角为，城市规划部门想新修一条道路，要求，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线性质，等腰三角形性质及三角形外角和定理．根据题意可知，再利用等腰三角形性质即可得到本题答案． 【详解】解：将图中与交点命名为，如下图所示： ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十五 多边形内角和与外角和综合 1．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个内角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的内角与外角问题，掌握多边形内角与外角的关系成为解题的关键． 由正八边形的外角和为，再根据正八边形的每一个外角都相等求出一个外角，然后根据同一个顶点上的内角和外角互补列式计算即可． 【详解】解：∵正八边形的外角和为， ∴正八边形的每一个外角为， ∴正八边形的每一个内角为． 故选：C． 2．三角形的内角和等于 度，边形的外角和是 度． 【答案】 【分析】此题主要考查了多边形外角和定理以及三角形内角和定理． 根据三角形内角和为，任意多边形外角和等于，直接得出答案即可． 【详解】解：根据三角形内角和定理以及任意多边形外角和定理， 三角形内角和为，边形外角和等于． 故答案为：，． 3．如图，若一个正方形和一个正六边形有一边重合．求的度数． 【答案】 【分析】先算出正方形和正六边形每个内角的度数，分别求出它们一个外角的度数，相加即可． 【详解】解：正方形的一个内角的度数为：，正六边形一个内角的度数为： ， 则： ． 1．已知一个边形的每一个外角都等于． (1)该边形是否一定是正边形？______；（填“一定是”或“不一定是”） (2)求这个边形的内角和； (3)从这个边形的一个顶点出发，可以画出______条对角线． 【答案】(1)不一定是 (2) (3) 【分析】本题考查正多边形的定义，多边形的内角与外角，多边形的对角线， （1）根据各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形判断即可； （2）先求出这个多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可； （3）根据从边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，据此列式解答即可； 熟记多边形的内角和、外角和以及对角线的条数的求法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一个边形的每一个外角都等于， ∴该边形的每一个内角都等于：， 但该n边形的各边不一定都相等， 故该边形不一定是正边形， 故答案为：不一定是； （2）∵多边形的外角和是， ∴， ∴内角和是：， ∴这个边形的内角和为； （3）从边形的一个顶点出发，可以画出条对角线， ∵， ∴， ∴从这个边形的一个顶点出发，可以画出条对角线． 故答案为：． 2．一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形，多边形的内角与外角， （1）根据正多边形的周长为，边长为，求得边数为，于是得到； （2）根据多边形的外角和等于，求得边数为，根据正多边形的周长为，边长为，于是得到结论． 【详解】（1）解：正多边形的周长为，边长为， 边数为， 一个外角为， ； （2）一个外角为，＝， ， 正多边形的周长为，边长为， ． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点处，现将三角形平移得到三角形，使点的对应点为点，点的对应点为点．    (1)请画出平移后的三角形； (2)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据图形平移的性质分别找到平移前后对应的顶点位置，然后连线即可； （2）采用割补方法，利用矩形面积减去多余直角三角形的面积即可． 【详解】（1）解：通过观察，发现点向右移动格，向下移动格即可得到对应点，将点、按照同样的平移方式，即可分别得到对应点、，然后顺次连接即可得到如下三角形，    （2）解：由图像可得， 则三角形的面积为． 4．若一个正多边形除去一个外角后剩余的外角的和为． (1)求这个正多边形的边数与内角和的度数． (2)要使该正多边形具有稳定性，至少应添加几条线段？ 【答案】(1)9， (2)6条线段 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，关键是熟记多边形的内角和公式与外角和定理，三角形具有稳定性． （1）根据除去一个外角后剩余的外角的和为，求出这个外角的度数，即可求出这个正多边形的边数，再根据多边形内角和公式即可解答； （2）根据三角形具有稳定性结合过一个顶点作出所有对角线即可得解． 【详解】（1）解：多边形的外角和为， 除去的外角的度数为， 又正多边形每个外角都相等， 这个正多边形的边数为， 这个正多边形的内角和为； （2）解：要使正九边形具有稳定性，至少应添加条线段． 5．求下列图形中x的值： 【答案】；； 【分析】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形的内角和是解题的关键．根据多边形内角和进行计算即可． 【详解】解：图1，，则； 图2，，则； 图3，，解得． 6．如图，点、分别在正五边形的边、上，连结、相交于点，且．求的度数． 【答案】108° 【分析】本题考查了多边形的内角和、三角形的外角、全等三角形的性质，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．根据多边形的内角和公式和正五边形的内角相等，得到，再由得到，利用三角形的外角性质可得，等量代换即可求出的度数 【详解】解：正五边形的内角和为， ， ， ， ， ． 7．已知一个多边形的边数为． (1)若，则这个多边形的内角和为 ； (2)若这个多边形的内角和与外角和相加为，求这个多边形的边数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多边形内角和与外角和综合，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，熟练掌握多边形的内角和与外角和是解题的关键． （）根据多边形的内角和公式求解即可； （）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，则这个多边形的内角和为：， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得：， 这个多边形的边数为． 8．（1）如图，于点D，，求的长度（提示：等面积法） （2）一个多边形的内角和与外角和的度数之和为 ，求这个多边形的边数． 【答案】（1）；（2）这个多边形是5边形 【分析】该题主要考查了三角形面积计算，多边形内角和以及外角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据等面积法求解即可； （2）根据多边形内角和以及外角和定理求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， 即． （2）设这个多边形是n边形， ∵一个多边形的内角和与外角和的度数之和为 ， ∴， 解得：， 故这个多边形是5边形． 9．如图1，图2，在四边形中，是四边形的一个外角． (1)四边形的外角和为________度； (2)如图1，图2，已知． ①如图1，求证：； ②如图2，若，平分，交于点G，平分，且与相交于点F，试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)360 (2)①见解析；②．理由见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，多边形的外角和，邻补角，对顶角，角平分线的定义，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用多边形的外角和定理即可作答； （2）①利用，是四边形，得到，再利用，即可证明； ②由①可知：，利用角平分线得到，进一步得到：，再利用，，证明，即． 【详解】（1）解：四边形的外角和为； 故答案为：360； （2）①证明：∵，是四边形， ∴， ∵， ∴； ②．理由如下， 假设和交于点H，如图， 由（1）可知：， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 10．（1）如图，求出的度数． （2）如图，求出的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了三角形外角的性质、多边形的外角和定理、四边形的内角和定理等知识． （1）根据三角形外角的性质得到，，再用多边形外角和定理即可求解； （2）根据三角形外角的性质得到，再用四边形内角和为即可求解． 【详解】解：（1）∵是的外角， ∴， 同理， ∵三角形的外角和为， ∴， （2）∵是的外角，是的外角， ∴， ∵四边形内角和为， ∴ 11．【课本再现】在探究多边形的内角和时，我们尝试从边形的一个顶点出发连接对角线，将边形分割成若干个三角形，从而得到边形的内角和公式为． (1)证明：边形内角和公式； (2)已知一个正边形一个内角的度数是其相对应外角度数的4倍，求这个正边形的边数； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2024吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)10 (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2024，理由见解析 【分析】（1）根据从n边形的一个顶点出发连接对角线，将边形分割成个三角形，且三角形内角和为180度，即可证明结论； （2）根据（1）所证结合多边形外角和为360度可得方程，解方程即可得到答案； （3）设这个多边形的边数为x，则过多边形的一个顶点的所有对角线条数为条，这些对角线分多边形所得的三角形个数为个，可得方程，解方程看方程是否有正整数解即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵从n边形的一个顶点出发连接对角线，将边形分割成个三角形，且三角形内角和为180度， ∴n边形的内角和为； （2）解：由题意得，， 解得， ∴这个正多边形的边数为10； （3）解：过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2024，理由如下： 假设能，设这个多边形的边数为x，则过多边形的一个顶点的所有对角线条数为条，这些对角线分多边形所得的三角形个数为个， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴不符合题意， ∴过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2024． 12．观察、探究及应用． (1)观察如图所示的图形并填空． 一个四边形有 条对角线； 一个五边形有 条对角线； 一个六边形有 条对角线； 一个七边形有 条对角线； (2)分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作 条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 条对角线； (3)结论：一个n边形有 条对角线； (4)应用：一个十二边形有多少条对角线？ 【答案】(1)2；5；9；14 (2)； (3) (4)54条 【分析】本题考查的是多边形的对角线的数量的探究； （1）根据多边形的边数计算多边形的对角线的数量即可； （2）根据从1个顶点出发的对角线的数量，可得答案； （3）由（1）的计数总结规律，再归纳即可； （4）利用（3）的规律，把代入计算即可． 【详解】（1）解：一个四边形有条对角线； 一个五边形有条对角线； 一个六边形有条对角线； 一个七边形有条对角线； （2）解：由（1）归纳总结可得： 由n边形的一个顶点出发，可作条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作条对角线； （3）解：由（1）归纳总结可得： 一个n边形有条对角线． （4）解：当时， 一个十二边形有条对角线． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1多边形 题型一 平面镶嵌 1．我们知道形状为正五边形的地砖不能铺满地面，但某公园的一段路面是用型号相同的特殊的五边形地砖铺成的．如图，是平铺图案的一部分，其中每个五边形有3个内角相等，那么这3个内角都等于（   ） A． B． C． D． 2．用不同的正多边形瓷砖进行地面铺设，则可由2个正三角形和 个正六边形密铺而成． 3．如图，用同样大小的黑、白两种颜色的等腰三角形地砖铺设地面，请在图（b）、（c）所示的正方形网格中给出不同于图（a）的铺法． 题型二 多边形的概念与分类 1．将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个五边形，则原多边形纸片的边数不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．在同一平面内，由 图形叫多边形．组成多边形的线段叫做 ，相邻两边的公共端点叫多边形的 ．如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做 ．多边形 叫做它的内角，多边形的边与它邻边 组成的角叫多边形的外角．连接多边形 的线段叫做多边形的对角线． 3．三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？ 题型三 多边形截角后的边角问题 1．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 3．如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图说明． 题型四 多边形的周长 1．如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示（单位：mm），则该主板的周长是（　　） A．88mm B．96mm C．80mm D．84mm 2．已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 3．已知正n边形的周长为60，边长为a （1）当n=3时，请直接写出a的值； （2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值． 题型五 网格中多边形的面积 1．如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若每一小正方形的边长均为1，则灰色三角形的面积为（    ）    A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 2．各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积 ． 3．如图，每个小正方形的边长都为1． (1)四边形的面积________； (2)四边形的周长________； (3)与有什么关系？请说明理由． 题型六 多边形对角线条数问题 1．从一个多边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，则这个多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 2．从十二边形一个顶点出发可以引出n条对角线，则 ． 3．画出下面各图中多边形的所有对角线．    题型七 对角线分成三角形的个数问题 1．从多边形的一个顶点出发向其余的顶点引对角线，将多边形分成8个三角形，则此多边形边数为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．过一个多边形的一个顶点出发有4条对角线，这些对角线将这个多边形分成 个三角形． 3．画图题： (1)如图①从多边形的一个顶点出发画对角线，把多边形分割成三角形； (2)如图②从多边形的一条边上的一点出发画对角线，把多边形分割成三角形； (3)如图③从多边形的内部一点出发画对角线，把多边形分割成三角形． 题型八 多边形内角问题 1．佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，这是某校创客教室内的桌椅摆放图，其中桌面外围是一个正六边形，则该正六边形的内角和是 ． 3．如图，这两个四边形关于某直线对称，根据图中的条件直接写出、的值． 题型九 正多边形的内角问题 1．正多边形的每个内角为，则它的边数是（    ） A． B． C． D． 2．已知正n边形的一个内角是，则边数n的值是 3．如图，一个正方形和一个正六边形有一边重合．    (1)用无刻度的直尺画出这个图形的对称轴，保留作图痕迹，不写作法； (2)求的度数． 题型十 多（少）算一个角问题 1．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是(      ) A．或 B． C．或 D．或或 3． 一个多边形沿一条对角线剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，求原多边形的边数． 题型十一 多边形截角后的内角问题 1．在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为，则边数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这个多边形的边数为 ． 3．（1）一个凸多边形的内角和与它的一个外角的和为2005º，求多边形的边数； （2）如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其它内角的和为2570，求这个没有计算在内的内角的度数. 题型十二 复杂图形的内角和 1．如图，等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则 ． 3．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数． 题型十三 正多边形的外角 1．永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是太原市现存最高的古建筑．如图所示的正八边形是双塔平面示意图，其每个外角的度数为（   ） A． B． C． D． 2． 已知，正多边形的一个外角是，则这个正多边形是正 ． 3．已知一个n边形的每一个内角都等于150°，求n的值． 题型十四 多边形的外角和实际应用 1．五边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 2．已知一个正n边形的一个外角为，则 ． 3．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路与道路平行，道路与道路的夹角为，城市规划部门想新修一条道路，要求，求的度数． 题型十五 多边形内角和与外角和综合 1．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个内角的度数是（   ） A． B． C． D． 2．三角形的内角和等于 度，边形的外角和是 度． 3．如图，若一个正方形和一个正六边形有一边重合．求的度数． 1．已知一个边形的每一个外角都等于． (1)该边形是否一定是正边形？______；（填“一定是”或“不一定是”） (2)求这个边形的内角和； (3)从这个边形的一个顶点出发，可以画出______条对角线． 2．一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点处，现将三角形平移得到三角形，使点的对应点为点，点的对应点为点．    (1)请画出平移后的三角形； (2)求三角形的面积． 4．若一个正多边形除去一个外角后剩余的外角的和为． (1)求这个正多边形的边数与内角和的度数． (2)要使该正多边形具有稳定性，至少应添加几条线段？ 5．求下列图形中x的值： 6．如图，点、分别在正五边形的边、上，连结、相交于点，且．求的度数． 7．已知一个多边形的边数为． (1)若，则这个多边形的内角和为 ； (2)若这个多边形的内角和与外角和相加为，求这个多边形的边数． 8．（1）如图，于点D，，求的长度（提示：等面积法） （2）一个多边形的内角和与外角和的度数之和为 ，求这个多边形的边数． 9．如图1，图2，在四边形中，是四边形的一个外角． (1)四边形的外角和为________度； (2)如图1，图2，已知． ①如图1，求证：； ②如图2，若，平分，交于点G，平分，且与相交于点F，试判断与之间的位置关系，并说明理由． 10．（1）如图，求出的度数． （2）如图，求出的度数． 11．【课本再现】在探究多边形的内角和时，我们尝试从边形的一个顶点出发连接对角线，将边形分割成若干个三角形，从而得到边形的内角和公式为． (1)证明：边形内角和公式； (2)已知一个正边形一个内角的度数是其相对应外角度数的4倍，求这个正边形的边数； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2024吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 12．观察、探究及应用． (1)观察如图所示的图形并填空． 一个四边形有 条对角线； 一个五边形有 条对角线； 一个六边形有 条对角线； 一个七边形有 条对角线； (2)分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作 条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 条对角线； (3)结论：一个n边形有 条对角线； (4)应用：一个十二边形有多少条对角线？ 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$