专题02角平分线中三种常用辅助线的方法-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

专题02角平分线中三种常用辅助线的方法 【典例分析】 【例1-1】（21-22八年级上·辽宁营口·期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为（　　） A．21 B．24 C．27 D．30 【例1-2】（23-24八年级上·湖北孝感·期末）如图，在中，，为的角平分线，，，则 ． 【例1-3】（22-23八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，，，分别平分和，经过点E．求证：． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，是外角平分线上一点，连接，，已知，则 ． 【变式1-2】（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，平分，，求证： 【变式1-3】（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图．在中，．，分别平分，． (1)求的度数； (2)求证：． 题型02作两边的垂线段法 【典例分析】 【例2-1】（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，用一把长方形直尺的一边压住射线,再用另一把完全相同的直尺的一边压住射线,两把直尺的另一边交于点．下列判断错误的是（    ） A．射线是角平分线 B．是等腰三角形 C．是角平分线依据是角平分线上的点到这个角两边的距离相等 D．是角平分线依据是在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 【例2-2】（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，是的外角，，和的平分线相交于点E，连接，则的度数是 ． 【例2-3】（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如图，线段于点B，且，于点E，交于点F，连接．求证： (1)； (2)． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（　　）    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式2-2】（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则 ． 【变式2-3】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，在中，的平分线与的邻补角的平分线交于点，于点，于点． (1)若，求点到直线的距离． (2)求证：点在的平分线上． 题型03补形法构造对称图形 【典例分析】 【例3-1】．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，平分交于点，，交的延长线于点.求证：.    【例3-2】．（2023九年级·全国·专题练习）如图，为的中线，，分别是和的角平分线．求证：． 【例3-3】（21-22八年级上·河南南阳·期末）如图，中，D是的中点，交于，则 ． 【变式演练】 【变式3-1】．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图所示，在中，，，平分交于点，交的延长线于点．给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ）    A．①④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【变式3-2】（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：如图，平分，，，下列结论：①；②；③， .其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【变式3-3】（21-22八年级上·福建龙岩·阶段练习）【初步探索】 （1）如图1，是的中线，探究与的大小关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长至点E，使，连接，先证明，可得出结论，他的结论应是__________ 【灵活运用】 （2）如图2，是的中线，E、F分别在上，且，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，为的角平分线，直线于点A，点E为上一点（与点A不重合），周长记为a，周长记为b，比较a与b的数量关系并证明．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02角平分线中三种常用辅助线的方法 【典例分析】 【例1-1】（21-22八年级上·辽宁营口·期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为（　　） A．21 B．24 C．27 D．30 【答案】C 【分析】根据题意在AB上截取BE=BC，由“SAS”可证△CBD≌△EBD，可得∠CDB=∠BDE，∠C=∠DEB，可证∠ADE=∠AED，可得AD=AE，进而即可求解． 【详解】解：如图，在AB上截取BE＝BC，连接DE， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△CBD和△EBD中， ， ∴△CBD≌△EBD（SAS）， ∴∠CDB＝∠BDE，∠C＝∠DEB， ∵∠C＝2∠CDB， ∴∠CDE＝∠DEB， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∴△ABC的周长＝AD+AE+BE+BC+CD＝AB+AB+CD＝27， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，注意掌握添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键 【例1-2】（23-24八年级上·湖北孝感·期末）如图，在中，，为的角平分线，，，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．在上截取，使，连接，根据角平分线的定义，得到，利用“”证明，得到，，再利用三角形外角性质得到，进而得到，即可求出的长． 【详解】解：在上截取，使，连接， 为的角平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 故答案为：10． 【例1-3】（22-23八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，，，分别平分和，经过点E．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】在上截取，连接，通过证明和，然后根据全等三角形的性质分析求证． 【详解】证明：在上截取，连接． ∵，分别平分和， ∴． ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，是外角平分线上一点，连接，，已知，则 ． 【答案】67° 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点作于，于，根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：过点作于，于， 平分， ， 在上截取，连接， 在和中， ， ， 在四边形中， ∵， ∴在四边形为正方形， ， ， 平分， ， ， 平分． ∴ ∴ 【变式1-2】（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，平分，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的判定，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．在上取点，使得，则可证得，可得，，可证得为等腰三角形，所以有，可得结论． 【详解】证明：如图，在上取点，使得， 平分， 在和中 ， ， ，， ，且， ， ， ． 【变式1-3】（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图．在中，．，分别平分，． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义、三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质． （1）先由得，然后根据三角形内角和得到，所以； （2）在上截取，连接，先证明，得；再证明，得，所以． 【详解】（1）解：， ， ，分别平分，， ，， ， ， 的度数是； （2）在上截取，连接， 在和中， ， ， ； ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 题型02作两边的垂线段法 【典例分析】 【例2-1】（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，用一把长方形直尺的一边压住射线,再用另一把完全相同的直尺的一边压住射线,两把直尺的另一边交于点．下列判断错误的是（    ） A．射线是角平分线 B．是等腰三角形 C．是角平分线依据是角平分线上的点到这个角两边的距离相等 D．是角平分线依据是在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 【答案】C 【分析】过两把直尺的交点作，，根据题意可得，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得平分． 【详解】如图所示：过两把直尺的交点作 两把完全相同的长方形直尺 在和中， 平分 A选项和D选项说法正确 长方形直尺 在和中， 为等腰三角形 B选项说法正确 故选：C． 【点睛】此题主要考查了角平分线的判定和等腰三角形的判定，关键是正确画出辅助线 【例2-2】（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，是的外角，，和的平分线相交于点E，连接，则的度数是 ． 【答案】/48度 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义列式并整理得到，过点E作交延长线于F，作于G，作于H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后求出，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出是的平分线，再根据角平分线的定义解答即可． 【详解】解：∵和的角平分线相交于点E， ∴， 由三角形的外角性质得，， ， ∴， ∴， 整理得，， ∵， ∴， 过点E作交延长线于F，作于G，作于H， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质定理与角平分线的判定定理，难点在于作辅助线并判断出是外角的平分线． 【例2-3】（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如图，线段于点B，且，于点E，交于点F，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理； （1）先根据，推出，然后根据等角的余角相等推出，结合已知条件判定即可证明结论； （2）过点B分别作于M，于N，根据全等三角形的对应高相等推出，根据角平分线的判定定理推出是的平分线，根据即可证得结论． 掌握角平分线的判定定理，深入理解题意作出恰当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 又， ， 在和中 ， （）， ； （2）证明：如图，过点B分别作于M，于N， ， ∴， 即， 又， ， 平分， ， ， ， 【变式演练】 【变式2-1】（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（　　）    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，进而判定①；由角平分线的定义及平角的定义可求，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定③；由角平分线的性质及判定可得为外角的平分线，结合角平分线的定义及三角形外角的性质即可证明，再利用平行线的性质可得结论④． 【详解】解：∵ ∴，， ∵平分 ∴ ∵平分，， ∴． ∵， ∴ ∴，故①错误； ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵ ∴ ∴，故②正确； ∵BD平分， ∴ ∵， ∴，故③正确； 过点D作于N，于 G ，于H，如图，    ∵平分，， ， ∴ ∵平分， ，， ∴ ∴ ∴为外角的平分线， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 即，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查与角平分线有关的角的计算，角平分线判定与性质，三角形内角和与外角的性质，平行线的性质等知识的综合运用，灵活运用角平分线的性质与判定及三角形外角的性质求解角的关系是解题的关键 【变式2-2】（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质和角平分线的定义，解题的关键是能正确作出辅助线，证明平分； 过点E作，根据角平分线的性质可得，则有，再根据，即可得出平分即可解答． 【详解】解：过点E作，如图所示： 三角形的外角和的平分线交于点E， ， ， ， 平分， ， 故答案为： 【变式2-3】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，在中，的平分线与的邻补角的平分线交于点，于点，于点． (1)若，求点到直线的距离． (2)求证：点在的平分线上． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定； （1）过点作于，如图所示，根据角平分线的性质，即可求解； （2）根据角平分线的性质可得，等了代换得出，进而根据角平分线的判定定理得出点在的平分线上． 【详解】（1）解：过点作于，如图所示． 平分，， ， 即点到直线的距离为． （2）证明：平分，，， ． ， ． 又，， 点在的平分线上． 题型03补形法构造对称图形 【典例分析】 【例3-1】．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，平分交于点，，交的延长线于点.求证：.    【答案】见解析 【分析】延长，并交于，证，推出，证推出即可． 【详解】证明：延长，并交于，    平分，， ，， 在和中 ， ，，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，添加辅助线构造全等三角形是关键． 【例3-2】．（2023九年级·全国·专题练习）如图，为的中线，，分别是和的角平分线．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据中线的定义可得，在上截取，然后利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，同理证明，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边证明． 【详解】证明：在上截取，连接，． ∵是边上的中线， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴．同理， ∴． 在中，∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，作辅助线构造出全等三角形并把、、的长度转化为同一个三角形的三边是解题的关键． 【例3-3】（21-22八年级上·河南南阳·期末）如图，中，D是的中点，交于，则 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形对应边相等进行求解，解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 先连接，过作于，根据角平分线的性质以及中垂线的性质，得出，进而判定，即可得到，据此列出方程，求得的值，即可得到长． 【详解】解：连接，过作于， ∵是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ， 解得， ， 故答案为：10 【变式演练】 【变式3-1】．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图所示，在中，，，平分交于点，交的延长线于点．给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ）    A．①④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据等角的余角相等可判断①；延长交于点F，证明和，可得可判断②；由，，可判断③；过点D作于点H，根据角平分线的性质可得，进而可判断④． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴，故①正确； 延长交于点F，    ∵平分，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴，故③正确； 过点D作于点H，    ∵，平分， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确， 故选D 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是掌握全等三角形的判定和性质． 【变式3-2】（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：如图，平分，，，下列结论：①；②；③， .其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．过作，交的延长线于，证，进而得出①正确，再证，进而得到③④正确，没有条件能证明②，进而即可解决问题． 【详解】解：如图，过作，交的延长线于， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故③正确； ，故④正确； ， ，故②错误， 综上所述：正确的是①③④． 故选：D 【变式3-3】（21-22八年级上·福建龙岩·阶段练习）【初步探索】 （1）如图1，是的中线，探究与的大小关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长至点E，使，连接，先证明，可得出结论，他的结论应是__________ 【灵活运用】 （2）如图2，是的中线，E、F分别在上，且，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，为的角平分线，直线于点A，点E为上一点（与点A不重合），周长记为a，周长记为b，比较a与b的数量关系并证明．    【答案】（1），详见解析 （2）详见解析 （3），详见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系解答即可； （2）延长至G，使得，连接，根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系解答即可； （3）分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）延长至点E，使，连接，    在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （2）延长至G，使得，连接    在和中， ， ∴， ∴， ∵在和中 ∴， ∴， 在中，两边之和大于第三边，   ∴ 又∵， ∴ （3）①点E在点A右侧时 延长到F，使，连接，    ， 在和中， ， ∴， ∴ ∵为三边， ∴， ∴， ∴， ∴ 即 ②点E在点A左侧时，延长到F，使，连接，    ， 在和中， ， ∴， ∴ ∵为三边， ∴， ∴， ∴， ∴ 即 综上， 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$