第18讲 不等式章末复习与测试（四大题型归纳+测试卷）-2024年新高一数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019必修一）

第18讲 不等式章末复习与测试 【苏教版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 不等式的性质及应用 2 题型02 一元二次不等式的解法 5 题型03 基本不等式及应用 8 题型04 不等式在实际问题中的应用 10 单元小测 13 一、不等式的性质及应用 1．不等式的性质常用来比较大小、判断与不等式有关的命题的真假和证明不等式，防止由于考虑不全面出现错误，有时也可结合特殊值法求解． 2．通过不等式的性质，提升数学抽象和逻辑推理素养 二、一元二次不等式的解法 1．对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集． 2．借助不等式的解法，培养逻辑推理和数学运算素养 三、基本不等式及应用 1．基本不等式：≤(a≥0，b≥0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现． 2．借助基本不等式的应用，提升数学抽象和数学运算素养 四、不等式在实际问题中的应用 1．不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题关键． 2．利用不等式解决实际应用问题，提升数学建模素养和数学运算素养 题型01不等式的性质及应用 【解题策略】 不等式性质的应用方法 (1)作差法比较大小的关键是对差式进行变形，变形的方法一般是通分、分解因式、配方等． (2)不等式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适合的不一定对，不适合的一定错，故特例只能否定选择项 【典例分析】 【例1】（2023高一上·安徽芜湖·专题练习）若正实数满足不等式组，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·安徽宣城·自主招生）已知实数a，b，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）若且，试比较大小： （填“”或“”）． 【变式3】（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）（1）已知______，试比较M，N的大小．从下列两个条件中选择其中一个填入横线中，并解答问题． ①，，②，． （2）若，证明：． 题型02 一元二次不等式的解法 【解题策略】 　对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类时要做到不重不漏 【典例分析】 【例2】（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）不等式的解集为（ ） A．R B． C． D． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知正数满足，若恒成立，则实数的取值范围为 . 【变式3】（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知：实数满足，其中；：实数满足 (1)若，且，均正确，求实数的取值范围： (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 题型03 基本不等式及应用 【解题策略】 利用基本不等式求最值的注意点 (1)把握不等式成立的条件：一正、二定、三相等． (2)注意寻求已知条件与目标函数之间的联系． (3)利用添项和拆项的配凑方法，使积(或和)产生定值．特别注意“1”的代换 【典例分析】 【例3】（23-24高一上·浙江台州·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知均为正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【变式2】（23-24高一上·北京·期中）若， 则的最小值是 ；此时的值为 . 【变式3】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 题型04 不等式在实际问题中的应用 【解题策略】 解决与不等式有关的实际应用问题的注意点 (1)审题要准，初步建模． (2)设出变量，列出函数关系式． (3)根据题设构造应用不等式的形式并解决问题 【典例分析】 【例3】（23-24高一上·甘肃白银·期末）某公司一年购买某种货物500吨，每次购买吨，运费为5万元/次，一年的总存储费用为万元，则一年的总运费与总存储费用之和的最小值为（    ） A．200万元 B．300万元 C．400万元 D．500万元 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·四川成都·阶段练习）某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y（单位：万元）与机器运转时间x（单位：年）的关系为，则该公司每台机器年平均利润的最大值是（    ）万元． A．8 B．12 C．28 D．56 【变式2】（23-24高一上·山西太原·期中）将基本不等式推广可得正确结论，当且仅当时，等号成立．利用此结论解决问题：已知一个矩形的周长为，将矩形围绕其一边旋转形成一个圆柱，当矩形的长是 时，旋转形成的圆柱体积最大，其最大值是 ． 【变式3】（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）如图，某居民小区要建一个八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和矩形构成的面积为的十字形地域，并计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地砖，造价为；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为.受地域影响，的长度最多能达到，其余边长没有限制.设总造价为S，的长为.当x为何值时，S最小？并求出这个最小值. 【单元测试】 一、单选题 1．（23-24高一上·广西桂林·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（23-24高一上·浙江湖州·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 5．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）若正实数，满足，则下列说法错误的是（    ） A．有最大值 B．有最小值4 C．有最小值 D．有最大值 8．（23-24高一上·北京·期中）如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为(图中阴影部分)，上下空白各宽2dm，左右空白各宽1dm，则四周空白部分面积的最小值是（    ）.    A．48 B．56 C．65 D．88 二、多选题 9．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）下列结论错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（23-24高一上·广西柳州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值为 B．函数的最小值为16 C．若，则最大值为 D．若，，，则的最大值为 三、填空题 12．（23-24高一上·重庆·期中）已知，且满足，则的最大值为 ． 13．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知三角形的三边长分别为，有以下个命题： ①以为边长的三角形一定存在； ②以为边长的三角形一定存在； ③以为边长的三角形一定存在； ④以为边长的三角形一定存在，其中正确的命题有 （填写所有正确命题的序号）. 14．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）已知，且，则的最小值为 ． 四、解答题 15．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若，不等式恒成立，求的取值范围． 16．（23-24高一上·江苏连云港·期中）如图，一份纸质宣传单的排版面积（矩形）为，它的左右两边留有宽为的空白，上下两边留有宽为的空白.    (1)若，，且该宣传单的面积不超过，求的取值范围； (2)若，，当边多长时，纸的用量最少？ 17．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式． 18．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）（1）已知为正数，且满足.证明：. （2）若，，其中，试比较的大小. 19．（2023高一·上海·专题练习）（1）已知，且，求的最小值； （2）已知正实数满足，求的最小值； （3）已知实数满足，求的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 不等式章末复习与测试 【苏教版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 不等式的性质及应用 2 题型02 一元二次不等式的解法 5 题型03 基本不等式及应用 8 题型04 不等式在实际问题中的应用 10 单元小测 13 一、不等式的性质及应用 1．不等式的性质常用来比较大小、判断与不等式有关的命题的真假和证明不等式，防止由于考虑不全面出现错误，有时也可结合特殊值法求解． 2．通过不等式的性质，提升数学抽象和逻辑推理素养 二、一元二次不等式的解法 1．对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集． 2．借助不等式的解法，培养逻辑推理和数学运算素养 三、基本不等式及应用 1．基本不等式：≤(a≥0，b≥0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现． 2．借助基本不等式的应用，提升数学抽象和数学运算素养 四、不等式在实际问题中的应用 1．不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题关键． 2．利用不等式解决实际应用问题，提升数学建模素养和数学运算素养 题型01不等式的性质及应用 【解题策略】 不等式性质的应用方法 (1)作差法比较大小的关键是对差式进行变形，变形的方法一般是通分、分解因式、配方等． (2)不等式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适合的不一定对，不适合的一定错，故特例只能否定选择项 【典例分析】 【例1】（2023高一上·安徽芜湖·专题练习）若正实数满足不等式组，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，化简不等式为，得到，即可求解. 【详解】由不等式组，因为均为正实数，于是， 所以，所以. 故选：B. 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·安徽宣城·自主招生）已知实数a，b，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】赋值判断A，B，D，利用不等式性质判断C. 【详解】对于A选项，，满足，此时，不满足，故A错误； 对于B选项，，满足，此时，不满足，故B错误； 对于C选项，，所以，故C正确； 对于D选项，，满足，此时，不满足，故D错误， 故选：C. 【变式2】（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）若且，试比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】根据已知条件，结合作差法，即可求解． 【详解】由题意， 且， ， 则． 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）（1）已知______，试比较M，N的大小．从下列两个条件中选择其中一个填入横线中，并解答问题． ①，，②，． （2）若，证明：． 【答案】（1）选①：；选②：. （2）证明见解析. 【分析】（1）利用作差法和求倒数的方法比较大小；（2）作差法证明不等式. 【详解】（1） 选①：， 所以； 选②：，， 由，得，所以. （2）证明： ， 由，得， 所以 题型02 一元二次不等式的解法 【解题策略】 　对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类时要做到不重不漏 【典例分析】 【例2】（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）不等式的解集为（ ） A．R B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次不等式的解法直接求解即可. 【详解】由，得， 得，解得， 所以不等式的解集为， 故选：C 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得且方程的解为，利用韦达定理将用表示，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】因为关于x的一元二次不等式的解集为， 所以且方程的解为， 所以，所以， 则不等式，即为不等式， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D 【变式2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知正数满足，若恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据基本不等式求得不等式左边的最小值，建立不等式，解出即可. 【详解】因为且，所以 ，当且仅当时取等号． 因为不等式恒成立， 所以，解得． 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知：实数满足，其中；：实数满足 (1)若，且，均正确，求实数的取值范围： (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式，取交集即得； （2）由题设可推得集合间的包含关系，从而得到关于的不等式组，求解即得． 【详解】（1）时，由解得：， 由解得：， 因均正确，故， 即实数的取值范围是． （2）由是的充分不必要条件， 则是的充分不必要条件， 因为，为，故为的真子集， ，解得：， 故实数的取值范围是． 题型03 基本不等式及应用 【解题策略】 利用基本不等式求最值的注意点 (1)把握不等式成立的条件：一正、二定、三相等． (2)注意寻求已知条件与目标函数之间的联系． (3)利用添项和拆项的配凑方法，使积(或和)产生定值．特别注意“1”的代换 【典例分析】 【例3】（23-24高一上·浙江台州·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知条件，利用基本不等式判断各选项中的结论是否成立. 【详解】若，， ，当且仅当等号成立，A选项错误； ，当且仅当等号成立，B选项正确； ，得，当且仅当等号成立，C选项错误； ，得，当且仅当等号成立，D选项错误. 故选：B 【变式演练】 【变式1】（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知均为正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由不等式的性质以及基本不等式即可求解. 【详解】由题意均为正实数，， 所以， 左边第一个不等号成立的条件是，右边第二个不等号成立的条件是， 综上所述，当且仅当时，取最小值，且. 故选：B. 【变式2】（23-24高一上·北京·期中）若， 则的最小值是 ；此时的值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时取最小值. 故答案为：； 【变式3】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式，求得，进而证得. （2）化简，然后利用不等式的性质以及（1）的结论证得. 【详解】（1）， 因为，，，则，当且仅当时等号成立， 所以； （2） ， 由（1）有，有，，有，， 有，当且仅当时等号成立， 所以 题型04 不等式在实际问题中的应用 【解题策略】 解决与不等式有关的实际应用问题的注意点 (1)审题要准，初步建模． (2)设出变量，列出函数关系式． (3)根据题设构造应用不等式的形式并解决问题 【典例分析】 【例3】（23-24高一上·甘肃白银·期末）某公司一年购买某种货物500吨，每次购买吨，运费为5万元/次，一年的总存储费用为万元，则一年的总运费与总存储费用之和的最小值为（    ） A．200万元 B．300万元 C．400万元 D．500万元 【答案】B 【分析】根据题意列式利用基本不等式运算得解. 【详解】由题意可得，一年的总运费与总存储费用之和为：， 当且仅当，即时取等号， 所以一年的总运费与总存储费用之和的最小值为300万元． 故选：B 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·四川成都·阶段练习）某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y（单位：万元）与机器运转时间x（单位：年）的关系为，则该公司每台机器年平均利润的最大值是（    ）万元． A．8 B．12 C．28 D．56 【答案】A 【分析】利用基本不等式求得年平均利润的最大值. 【详解】年平均利润， 当且仅当时等号成立. 故选：A 【变式2】（23-24高一上·山西太原·期中）将基本不等式推广可得正确结论，当且仅当时，等号成立．利用此结论解决问题：已知一个矩形的周长为，将矩形围绕其一边旋转形成一个圆柱，当矩形的长是 时，旋转形成的圆柱体积最大，其最大值是 ． 【答案】 【分析】设矩形的两边长分别为，，则，根据圆柱的体积公式结合题中公式即可得解. 【详解】设矩形的两边长分别为，， 则， 则圆柱的体积， 当且仅当，即时取等号， 所以当矩形的长是时，圆柱的体积最大，为. 故答案为：；. 【变式3】（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）如图，某居民小区要建一个八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和矩形构成的面积为的十字形地域，并计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地砖，造价为；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为.受地域影响，的长度最多能达到，其余边长没有限制.设总造价为S，的长为.当x为何值时，S最小？并求出这个最小值. 【答案】时，S最小，最小值为118000. 【分析】先求得的表达式，然后利用基本不等式求得最小值以及此时对应的的值. 【详解】设，又， 则，所以， 所以 . 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，S最小，最小值为118000 【单元测试】 一、单选题 1．（23-24高一上·广西桂林·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接解出一元二次不等式即可. 【详解】即，解得， 即该不等式的解集为， 故选：C. 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】举反例判断AB；利用不等式的性质可判断C；做差可判断D. 【详解】对于A，当时，则，故A错误； 对于B，若，，则，故B错误； 对于C，若，，则，所以，故C错误； 对于D，若，，则，所以， 所以，故D正确. 故选：D. 3．（23-24高一上·浙江湖州·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据不等式的解法，分别求得不等式构成的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，构成集合， 又由，解得，构成集合， 则集合是集合的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据将转化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】 ，当且仅当， 即，时取得等号． 故选：B． 5．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化不等式为，分，和三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解. 【详解】不等式，可化为， 当时，不等式的解集为空集，不合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有三个整数解，则， 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有三个整数解，则， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：D 6．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得当时，，即可求得实数m的取值范围是. 【详解】易知 ， 所以可得； 当且仅当，即时，等号成立； 依题意需满足，所以. 故选：D 7．（23-24高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）若正实数，满足，则下列说法错误的是（    ） A．有最大值 B．有最小值4 C．有最小值 D．有最大值 【答案】C 【分析】利用基本不等式一一判断求解即可. 【详解】因为正实数，满足，则有： 对A，因为，当且仅当时，等号成立，A正确； 对B，因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以有最小值4，B正确； 对C，因为，当且仅当时，等号成立，C错误； 对D，因为， 当且仅当时，等号成立，所以，D正确； 故选：C. 8．（23-24高一上·北京·期中）如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为(图中阴影部分)，上下空白各宽2dm，左右空白各宽1dm，则四周空白部分面积的最小值是（    ）.    A．48 B．56 C．65 D．88 【答案】B 【分析】先求得空白部分面积的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案. 【详解】设阴影部分的长为，宽为，为正实数，且， 则空白部分的面积为 ， 当且仅当时等号成立. 故选：B 二、多选题 9．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用不等式的性质判断A、B、D，由特殊值判断C. 【详解】对于A，由及不等式的性质可知，故A正确； 对于B，由，及不等式的性质可知，故B正确； 对于C，若，可得，故C错误； 对于D，由及，可得，故D正确． 故选：ABD． 10．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）下列结论错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】举反例判断A，B，利用不等式性质判断C，D. 【详解】取可得，，但，A错误； 取可得，，但，B错误； 因为，又，所以，故，C正确； 由，可得，所以，D正确； 故选：AB. 11．（23-24高一上·广西柳州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值为 B．函数的最小值为16 C．若，则最大值为 D．若，，，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】举反例可判断A项，运用“1”的代换及基本不等式可判断B项，由代入，转化为求二次函数的最大值可判断C项，计算，再结合即可判断D项. 【详解】对于A项，当时，，故A项不成立； 对于B项，因为， 当且仅当，即，时取等号， 所以函数的最小值为16，故B项正确； 对于C项，因为，所以， 所以， 所以当时，取得最大值为，故C项正确； 对于D项，因为，，，所以， 所以，当且仅当时取等号， 即，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为，故D项正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（23-24高一上·重庆·期中）已知，且满足，则的最大值为 ． 【答案】1 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以， 即， 得， 当且仅当时取等号，即取最大值1. 故答案为：1 13．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知三角形的三边长分别为，有以下个命题： ①以为边长的三角形一定存在； ②以为边长的三角形一定存在； ③以为边长的三角形一定存在； ④以为边长的三角形一定存在，其中正确的命题有 （填写所有正确命题的序号）. 【答案】①③④ 【分析】设，再利用构成三角形的条件及不等式的性质，逐一对各个选项分析判断，即可求出结果. 【详解】不妨设， 对于选项①，因为，所以， 又，所以选项①正确， 对于选项②，若，满足条件，但，不构成三角形，所以选项②错误； 对于选项③，由假设易知，由，所以选项③正确， 对于选项④，因为， ， ，所以选项④正确， 故答案为：①③④. 14．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】将拼凑成，再结合基本不等式即可求解. 【详解】原式变形可得，由得， 则， 当且仅当时取到等号，所以，， 故的最小值为3. 故答案为：3 四、解答题 15．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）直接解不等式即可； （2）转化问题转化为恒成立，然后利用基本不等式求出的最小值即可. 【详解】（1）不等式，即为， 则有， 解得或， 所以不等式的解集为或． （2）不等式，即为， 所以，只需的最小值大于或等于即可， 因为， 当且仅当即时取等号． 所以的最小值为，所以， 故的取值范围是 16．（23-24高一上·江苏连云港·期中）如图，一份纸质宣传单的排版面积（矩形）为，它的左右两边留有宽为的空白，上下两边留有宽为的空白.    (1)若，，且该宣传单的面积不超过，求的取值范围； (2)若，，当边多长时，纸的用量最少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围； （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为，根据题意可得出关于的函数关系式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的值，即可得解. 【详解】（1）解：由宣传单的面积不超过可得：， 化简得， 解得，又，所以. （2）解：设cm，则cm，设宣传单的面积为， 则， 当且仅当，即时取等号. 所以当长为，才能使纸的用量最少. 17．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)4 (3)答案见解析 【分析】（1）分和讨论，当时，根据相应二次函数开口方向和判别式列不等式组即可求解； （2）变形为，利用基本不等式求解可得； （3）整理得，根据二次系数是否为0、相应二次函数开口分析、两根的大小关系分类讨论即可. 【详解】（1）由恒成立得：对一切实数x恒成立. 当时，不等式为，不合题意； 当时，，解得：； 综上所述：实数m的取值范围为． （2），， ， （当且仅当，即时取等号），的最小值为4． （3）由得：； ①当时，，解得：，即不等式解集为； ②当时，令，解得：，； 1）当，即时，不等式解集为； 2）当，即时，不等式解集为； 3）当，即时，不等式可化为， ，不等式解集为； 4）当，即时，不等式解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 18．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）（1）已知为正数，且满足.证明：. （2）若，，其中，试比较的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）利用将所证不等式可变为，再利用基本不等式即可得证； （2）利用完全平方公式，结合不等式的性质即可得解. 【详解】（1）  ，  ， ， ， 当且仅当时，等号成产， ，即. （2）因为， ， 又，则， 所以，则， 所以，即. 19．（2023高一·上海·专题练习）（1）已知，且，求的最小值； （2）已知正实数满足，求的最小值； （3）已知实数满足，求的最大值. 【答案】（1）16；（2）18；（3） 【分析】应用基本不等式即可. 【详解】（1）， ， 当且仅当，即时，上式取等号． 故当时，. （2），， 当且仅当时，等号成立，∴的最小值为18. （3）因为， 所以，即， 当且仅当，且，即时，等号成立， ∴的最大值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$