2.2.4均值不等式及其应用课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

2.2.4 均值不等式及其应用 高 银 枝 1 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac bc c的符号 ⇒ac bc < > > < 复习回顾 2 5 同向可加性 ⇒a＋c b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an bn(n∈N，n≥2) 同正 8 可开方性 a>b>0⇒ (n∈N，n≥2) 同正 9 可倒性 a>b⇒ 同号 > > > > 3 左图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。 思考： 正方形的面积和四个直角三角形的面积之间有怎样的关系？ 4 如果a>0，b>0， 2ab， 当且仅当 时，等号成立. 证明： 2ab = 5 如果a>0，b>0， 2ab， 当且仅当 时，等号成立 如果a>0，b>0， a + b ， 当且仅当 时，等号成立 6 基本不等式 1.如果a>0，b>0， ，当且仅当 时，等号成立. 其中 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数. 2.变形：ab≤ ，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立. a＋b≥2 ，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立. ≤ a＝b 7 思考：能否利用下图给出基本不等式的几何解释？ 由 可知： 8 01 02 03 04 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU 对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab.(　　) √ × × √ 9 在利用基本不等式求最值时要注意三点： 一是各项均为正； 二是寻求定值； 三是考虑等号成立的 条件是否具备. 10 例1 根据上题， 是否能得出对勾函数的最值及何时取最值？ 11 练1 下列等式中最小值为4的是（ ） √ 下列不等式中，正确的是（ ） √ 12 例2 （1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短是多少？ （2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大是多少？ 能否将上题的结论进行文字表述？ 当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。 积定和最小； 和定积最大。 13 练2 14 基本不等式类型题 15 基本不等式 1.如果a>0，b>0， ，当且仅当 时，等号成立. 其中 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数. 2.变形：ab≤ ，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立. a＋b≥2 ，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立. ≤ a＝b 16 1. 一正二定三相等 一正 二定 三相等 17 2. 积定和最小； 和定积最大。 ∵x>－1，∴x＋1>0， 即x＝2时，等号成立. 解析 积定和最小 和定积最大 18 3. 补“1”法 ≥6＋10＝16， 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 跟踪训练2 x>0，y>0且2x＋8y＝xy， 则x＋y的最小值是_______. 18 19 4. 利用基本不等式证明 已知a,b都是正数，求证: 证明： 因为a,b都是正数， 当且仅当“4a=b”时等号成立； 当且仅当“ab=4”时等号成立； 当且仅当“ 即 ”时等号成立. 多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立 已知正数a,b,c满足a+b+c=1，求证 : 因为a,b,c都是正数， 证明： 因为a,b,c都是正数且a+b+c=1， =(a+b+c) 累加法是不等式证明中的一种常用方法 20 5. 由等式转 不等式 x>0，y>0且 ，求xy的最大值。 求x+y的最大值。 在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c, 若A=60°,a=2, 求ABC面积和周长的取值范围。 解：（1）x>0，y>0, （2）由已知x>0，y>0, 解：由余弦定理可得, 由, 21 6. 恒成立和 有解问题 若对任意的x∈(0，＋∞)恒成立， 则实数a的取值范围________． 已知x＞0，y＞0，且，若x＋2y<m2＋2有解，则实数m的取值范围是________． 解 因为对任意的x∈(0，＋∞)恒成立， 解 因为x＋2y<m2＋2有解， 22 7. 实际问题 23 反思感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点： 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备. 24 反思感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”. (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用. 25 2 x≠0时，x＋≥2.(　　) 若a>0，则a3＋的最小值为2.(　　) n∈N*时，n＋>2.(　　) 已知x>0时，求y=＋4x的最小值, 并说明x为何值时y取最小值。 解　∵x>0，∴ >0, 4x>0. ∴＋4x≥2＝8. 当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8， ∴当x>0时，＋4x的最小值为8. A.y＝x＋ B.y＝2t＋ C.y＝4t＋(t>0) D.y＝t＋ A.a＋≥4 B.a2＋b2≥4ab C.≥ D.x2＋≥2 已知ab>0时，求证 ， 并推导出等号成立的条件。 2 （1）已知x>0时，求y=＋4x的最小值； (2)当x<0时，求＋4x的最大值； (3)当x>1时，求2x＋的最小值； (4)已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值. 当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号， 　2x＋＝2＋2 ＋(－4x)≥2＝8 2.已知x>0时，求y=(1+x)(3-x)的最大值,并说明x为何值时y取最大值。 1. 已知x>－1，则的最小值为________. 解析　＝ ＝， ∴(x＋1)＋＋10≥2＋10＝16. 当且仅当x＋1＝， ＝ (x＋1)＋＋10， , 已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值. 解　∵x>0，y>0，＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10 当且仅当＝， 又＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号. 跟踪训练1　 已知正数x，y满足x＋y＝4， 则＋的最小值是______. 1.某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3 000 m2，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2 m，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米． (1)分别写出用x表示y和S的函数关系式(写出函数定义域)； (2)怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？ [解析]　(1)由已知xy＝3 000,2a＋6＝y，则y＝eq \f(3 000,x)(6<x<500)， S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)·eq \f(y－6,2)＝(x－5)(y－6)＝3 030－6x－eq \f(15 000,x)(6<x<500)． (2)S＝3 030－6x－eq \f(15 000,x)≤3 030－2eq \r(6x·\f(15 000,x))＝3 030－2×300＝2 430． 当且仅当6x＝eq \f(15 000,x)，即x＝50时，“＝”成立，此时x＝50.y＝60， Smax＝2 430.即设计x＝50 m，y＝60 m时，运动场地面积最大，最大值为2 430 m2． $$