第二章 一元二次函数、方程和不等式（单元复习 压轴题专练）-2024-2025学年高一数学单元速记（人教A版2019必修第一册）

第二章 一元二次函数、方程和不等式（压轴题专练） 01 单选压轴题 1．（江西省新余市2023-2024学年高三第二次模拟考试数学试题）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D． 2．（2024·浙江·模拟预测）已知，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一·全国）定义：（i）表示x的最小值；（ii）表示不超过x的最大整数．设a，b，c为正数，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 4．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（    ） A．12 B．24 C． D． 5．（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）记为，两数的最大值，当正数，（）变化时，的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D． 8．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知，满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 9．（23-24高二上·江苏无锡·期末）若正数、满足，设，则的最大值是 A．12 B．-12 C．16 D．-16 10．（23-24高三上·河南郑州·阶段练习）设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （  ） A． B． C． D． 02 多选压轴题 1．（2024·重庆·模拟预测）已知，且，则（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最小值是3 D．的最小值是 E． 2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知，，，则下列结论正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为9 D．的最小值为 3．（2024·海南·模拟预测）若正实数a，b满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最小值为 D．的取值范围为 4．（23-24高二下·浙江·期中）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为0 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为4 5．（23-24高一下·山东济宁·阶段练习）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 03 填空题压轴 1．（2024高二下·浙江绍兴·学业考试）已知正数a，b，c满足，，则的最小值为 . 2．（2024高三·全国·专题练习）已知正实数x，y满足，则的最小值为 ． 3．（23-24高一上·安徽合肥·期中）已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围是 . 4．（22-23高一上·上海长宁·期中）关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围是 ． 5．（23-24高二上·江西上饶·期末）研究问题：“已知关于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集为(1，2)，解关于x的不等式cx2－bx＋a＞0”，有如下解法：由ax2－bx＋c＞0⇒a－b＋c＞0.令y＝，则y∈，所以不等式cx2－bx＋a＞0的解集为.类比上述解法，已知关于x的不等式＋＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)，则关于x的不等式＋＜0的解集为 ． 04 解答题压轴 1．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 3．（23-24高一上·云南曲靖·期中）若方程有两个不相等的实数根，且． (1)求证：； (2)若，求的最小值． 4．（23-24高一上·云南昆明·期中）基本不等式是高中数学的重要内容之一，我们可以应用其解决数学中的最值问题． (1)已知，R，证明； (2)已知，，，R，证明，并指出等号成立的条件； (3)已知，，，，证明：，并指出等号成立的条件. (4)应用（2）（3）两个结论解决以下两个问题： ①已知，证明：； ②已知，，且，求的最小值. 5．（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）已知关于的方程（其中均为实数）有两个不等实根． (1)若，求的取值范围； (2)若为两个整数根，为整数，且，求； (3)若满足，且，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次函数、方程和不等式（压轴题专练） 01 单选压轴题 1．（江西省新余市2023-2024学年高三第二次模拟考试数学试题）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】借助“1”的活用将分式其次化后结合基本不等式计算即可得. 【详解】由，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：C. 2．（2024·浙江·模拟预测）已知，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先变形，化简后换元，转化为关于的式子，利用基本不等式求最值. 【详解】， ， 设， 则， ， 当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 故选：D 3．（2024高一·全国）定义：（i）表示x的最小值；（ii）表示不超过x的最大整数．设a，b，c为正数，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先根据题意和基本不等式得出：三数中至少有一个不小于2，可判断选项A；再利用反证法和不等式性质即可判断选项B、C；举例验证选项D. 【详解】因为a，b，c为正数， 所以由基本不等式可知：，当且仅当时等号成立. 从而三数中至少有一个不小于2. 不妨设， 则，故选项A错误； 对于选项B：假设 则，，， 则，，， 即，；. 由可得：； 由可得：，两者矛盾， 所以假设错误，故选项B错误； 对于选项C：假设， ①若，，， 则，， 即（1）；（2）； （3）； 结合不等式的性质： 由（1）（2）得，即， 由（1）（3）得，两者矛盾； ②若，，， 则，，， 即（4）；（5）；（6）. 由（4）（5）得，即， 由（4）（6）得，两者矛盾． 综上所述，假设错误，即，故选项C错误； 若取， 则， 从而，故选项D正确. 故选：D． 4．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（    ） A．12 B．24 C． D． 【答案】B 【分析】令，不等式变形为，求出的最小值，从而得到实数的最大值. 【详解】，，变形为， 令， 则转化为 ，即， 其中      当且仅当，即时取等号，可知. 故选：B 【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题，先分离参数后，然后利用基本不等式求最值. 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 5．（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 化简不等式，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得的取值范围. 【详解】依题意，至少存在一个，使得关于的不等式成立， 即至少存在一个，使得关于的不等式成立， 画出以及的图象如下图所示，其中. 当与相切时， 由消去并化简得， . 当与相切时， 由消去并化简得①， 由解得，代入①得， 解得，不符合题意. 当过时，. 结合图象可知的取值范围是. 故选：A 【点睛】对于含有参数的不等式问题的求解，可考虑直接研究法，也可以考虑分离参数，也可以合理转化法.如本题中的不等式，可以将其转化为一边是含有绝对值的式子，另一边是二次函数，再根据二次函数以及含有绝对值的函数的图象来对问题进行分析和求解. 6．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）记为，两数的最大值，当正数，（）变化时，的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据题中定义，结合基本不等式进行求解. 【详解】由，可得，， ， 当正数，（）时， ， 当且仅当，即时等号成立， 故，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 7．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D． 【答案】A 【分析】利用“乘1法”将问题转化为求的最小值，然后展开利用基本不等式求解． 【详解】，，又，且， ， 当且仅当，解得，时等号成立， 故的最小值为9． 故选：A． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 8．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知，满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，结合目标式即可构造出，进而利用基本不等式求的最小值 【详解】由知：，而， ∴，则 ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，由已知方程得到目标式的等价形式，应用等价代换构造出基本不等式的形式求最值 9．（23-24高二上·江苏无锡·期末）若正数、满足，设，则的最大值是 A．12 B．-12 C．16 D．-16 【答案】A 【分析】根据则，将式子换元成关于的二次函数，利用二次函数的性质求最值，值得注意的取值范围. 【详解】解： 、 解得 当且仅当时取得最大值 故选： 【点睛】本题考查二次函数的性质，重要不等式的应用，属于中档题. 10．（23-24高三上·河南郑州·阶段练习）设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求出的值，代入中化简，利用基本不等式求出结果. 【详解】设，则 所以 当且仅当即时取等号 所以的最小值是，则的最大值为. 故选A 【点睛】本题考查基本不等式，解题的关键是设，得出进行代换，属于偏难题目. 02 多选压轴题 1．（2024·重庆·模拟预测）已知，且，则（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最小值是3 D．的最小值是 E． 【答案】BDE 【分析】对于A项，运用基本不等式将其转化成关于的不等式求解即得；对于B项，直接运用基本不等式将其转化成关于的不等式，再结合不等式性质求解即得；对于CDE项，通过题设求出，代入所求式消元，凑项运用基本不等式即得. 【详解】对于A项，，由可得， 因，故得，则，当且仅当时等号成立，错误； 对于B项，由可得， 因，故得：，当且仅当时等号成立，又， 所以的取值范围是，正确； 对于C和E项，由得， 所以， 当且仅当即时，等号成立，所以，故C项错误，E正确； 对于D项，由得， 所以， 当且仅当即时，等号成立，正确. 故选：BD. 2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知，，，则下列结论正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为9 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式、结合“1”的妙用计算判断ACD；利用二次函数求出最小值判断D. 【详解】对于A，，即，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，由，得， ，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，， 当且仅当时取等号，C错误； 对于D，， 则 ， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ABD 3．（2024·海南·模拟预测）若正实数a，b满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最小值为 D．的取值范围为 【答案】BC 【分析】利用配凑法，结合基本不等式求解最值判断AB；利用二次函数求解判断CD. 【详解】正实数a，b满足，， 对于A，，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 4．（23-24高二下·浙江·期中）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为0 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为4 【答案】ABC 【分析】由基本不等式可得AB正确，由二次函数的性质可得C正确，由乘“1”法可判断D错误. 【详解】A：因为，结合，则， 所以，当且仅当时取等号，此时，故A正确； B：，当且仅当时，即时取等号，故B正确； C：，由二次函数的性质可得，当时，此时，最大值为，故C正确； D：，当且仅当，即时取等号，故D错误； 故选：ABC. 5．（23-24高一下·山东济宁·阶段练习）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项计算判断即得. 【详解】正实数满足，则， 对于A，，则， 当且仅当,即时，取等号，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，由选项A知，当时，成立，此时，故C错误； 对于D，由，得，则 ， 当且仅当，即时，取等号，故D正确. 故选：BD. 03 填空题压轴 1．（2024高二下·浙江绍兴·学业考试）已知正数a，b，c满足，，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】使用不等式将放缩，使用“1”的代换及基本不等式求得目标最小值. 【详解】由题意知，当时取等号， 故 ，当时取等号， 综上，当时，的最小值为2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：本题求最小值关键是第一步用放缩法将放掉，第二步是将中的2代换为，将整式处理为，再用“1”的代换求最小值. 2．（2024高三·全国·专题练习）已知正实数x，y满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】配凑出，再利用基本不等式求最值. 【详解】由， 得， 即，得， ，， ，，， ， 当且仅当，即，时取等号， 此时， 的最小值为 故答案为： 3．（23-24高一上·安徽合肥·期中）已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围是 . 【答案】或， 【分析】先求得的最大值，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】依题意，，， 解得，则 ， 当且仅当，时等号成立. 所以， 解得或，即的取值范围是或， 故答案为：或， 【点睛】利用基本不等式求最值，要注意一正、二定、三相等，正是说利用时，必须是正数，定是指定值，相等指的是等号成立的条件，三者缺一不可.另外，如果是负数，求的最值，可转化为，再结合基本不等式来进行求解. 4．（22-23高一上·上海长宁·期中）关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的整数解恰有3个，先确定且有得出，再用表示出不等式解集为，可以确定，故三个整数解为，从而可列出另一个端点的取值范围为 ，从而解得的范围. 【详解】关于的不等式等价于， 此不等式整数解恰有3个，则有且有，故有， 令即得， ， 故不等式的解集为， 因为，所以 所以解集中一定恰有三个整数 ，可得，解得. 故答案为：. 5．（23-24高二上·江西上饶·期末）研究问题：“已知关于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集为(1，2)，解关于x的不等式cx2－bx＋a＞0”，有如下解法：由ax2－bx＋c＞0⇒a－b＋c＞0.令y＝，则y∈，所以不等式cx2－bx＋a＞0的解集为.类比上述解法，已知关于x的不等式＋＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)，则关于x的不等式＋＜0的解集为 ． 【答案】 【分析】根据题意，将替换x可得所求的方程，并且可知∈(－2，－1)∪(2，3)，从而求出的解集. 【详解】关于x的不等式＋＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)， 用－替换x，不等式可以化为＋＝＋＜0， 因为－∈(－2，－1)∪(2，3)，所以 即不等式＋＜0的解集为 故答案为： 【点睛】本题考查整体代换的思想，理解题意，将方程问题和不等式问题进行转化是解题的关键，本题属于中档题. 04 解答题压轴 1．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式，求得，进而证得. （2）化简，然后利用不等式的性质以及（1）的结论证得. 【详解】（1）， 因为，，，则，当且仅当时等号成立， 所以； （2） ， 由（1）有，有，，有，， 有，当且仅当时等号成立， 所以． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，由条件可得，代入计算，即可求解； （2）根据题意，分与讨论，即可求解. 【详解】（1）若不等式的解集为R， 则， 解得， 即实数的取值范围； （2）不等式， ①当时，即时，不等式的解集为， ②当时，即或时， 由，解得或， 所以不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 3．（23-24高一上·云南曲靖·期中）若方程有两个不相等的实数根，且． (1)求证：； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）根据韦达定理，即可证明结论； （2）首先，将原式通分，变形，再将韦达定理代入；然后，利用（1）的结论消去，得到关于一个的式子；再对式子变形，利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）证明：根据韦达定理得，，， 所以， 所以. （2） ， 因为， 所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为8. 4．（23-24高一上·云南昆明·期中）基本不等式是高中数学的重要内容之一，我们可以应用其解决数学中的最值问题． (1)已知，R，证明； (2)已知，，，R，证明，并指出等号成立的条件； (3)已知，，，，证明：，并指出等号成立的条件. (4)应用（2）（3）两个结论解决以下两个问题： ①已知，证明：； ②已知，，且，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析，当且仅当时取“” (3)证明见解析，当且仅当时取“” (4)①证明见解析；②. 【分析】（1）由展开即可得结果； （2）根据题意结合（1）中结论分析证明； （3）根据题意结合（1）中结论分析证明； （4）①根据题意结合（2）中结论分析证明；②根据题意结合（3）中结论分析求解. 【详解】（1）由可知，，当且仅当时取“” ， 所以. （2）因为， 由（1）可得，当且仅当时取“”， 则， 所以，当且仅当时取“”. （3）当，，，时， 因为， 由（1）可得，当且仅当时取“” 则， 所以，当且仅当时取“”. （4）①由（2）可知，当且仅当时取“”， 即，所以 ②因为， 由（3）可得：， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 5．（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）已知关于的方程（其中均为实数）有两个不等实根． (1)若，求的取值范围； (2)若为两个整数根，为整数，且，求； (3)若满足，且，求的取值范围． 【答案】(1且， (2)或 (3) 【分析】（1）由题意得二次项系数不为0且判别式大于0，列出不等式即可求解. （2）由题意首先得到，，再结合均为整数，即可得的值，分类讨论解一元二次方程即可求解. （3）结合韦达定理以及判别式大于0，解一元二次不等式即可求解. 【详解】（1）当时，由题意，若时，方程不是一元二次方程，没有两个实数根， 若方程有两个不等的实数解，则，解得且， 所以的范围是 . （2）依题意：（否则方程没有两个实数根），且有， ，， 因为均为整数， 所以也是整数， ∴或， 时，，又且，∴， 时，，又且，∴． 综上，或． （3），方程为，， 则，又，即 ∴，即， 所以，∴． 所以的取值范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$