第10讲 函数的方程与零点（6类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

第10讲函数的方程与零点 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第15题,5分 函数与方程的综合应用,根据函数零点的个数求参数范围,已知方程求双曲线的渐近线 2023年天津卷，第15题,5分 根据函数零点的个数求参数范围 2022年天津卷，第15题,5分 根据函数零点的个数求参数范围,根据二次函数零点的分布求参数的范围 2021年天津卷，第9题,5分 根据函数零点的个数求参数范围 2020年天津卷，第9题,5分 函数与方程的综合应用，根据函数零点的个数求参数范围 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度较高，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握函数的零点，能够理解函数的方程，函数的零点与交代你的含义 2.能掌握函数图像与性质 3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像解决零点问题 4.理解并掌握二分法思想，会用零点的存在性定理判断零点的个数 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般难度系数较高，通常为判断零点的个数，或者已知零点个数求取值范围。 知识讲解 知识点一.零点 1.函数零点概念 对函数，把使的实数叫做函数的零点 2.零点存在性定理: 如果函数在区间上的图象是连续不断一条曲线，并且有f，那么，函数在区间内有零点.即存在，使得，这个c也就是方程的根. 3.零点存在唯一性定理: 如果函数在区间上的图象是连续不断一条曲线，并且有，且在上单调，那么函数在区间内有唯一的零点.即存在唯一的，使得，这个也就是方程的根. 4.函数零点、方程的根与函数图像的关系 函数有零点 方程 有实数根函数, 图像有交点 求函数y零点的方法: ①直接解方程; ②利用图象求其与轴的交点(交点的横坐标即是零点); ③将方程变为两个函数，通过图象看它们的交点情况(同时可以知道零点的个数); ④可通过二分法求函数的零点的近似值. 5.二次函数的零点: 二次函数 (1)，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点 (2) ，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个零点. (3) ，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点 知识点二．函数的图象 1.函数的图像 将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，当自变量取遍定义域A内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为{(x，y)|y＝，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数的图象． 2．描点法作图 方法步骤： (1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式； (3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)； (4)描点连线，画出函数的图象． 3．图象变换 (1)平移变换 (2)对称变换 ①； ② ③ ； ④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)． (3)伸缩变换 ①把函数图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得(0<<1) ②把函数图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍得(>1) ③把函数图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得(>1) ④把函数图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得(0<<1) (4)翻折变换 ① |. ② ． 考点一、函数图像的识别 1.（2024·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D. 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 2.（2022·全国·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】设，则，故排除B; 设，当时，， 所以，故排除C; 设，则，故排除D. 故选：A. 1.（2024·安徽合肥·模拟预测）函数（为自然函数的底数）的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由函数的奇偶性可排除B，C；再由趋近，，排除D，即可得出答案. 【详解】的定义域为， ， 所以为奇函数，故排除B，C； 当趋近，，所以，， 所以，故排除D. 故选：A. 2.（2024·山东·模拟预测）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域及奇偶性，再由奇偶性在内函数值的正负判断即可. 【详解】依题意，函数的定义域为， ，则是奇函数，其图象关于原点对称，B不满足； 当时，，则，AD不满足，C满足. 故选：C 考点二、函数的图像变换 1.（2023·四川成都·模拟预测）要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（    ） A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】 根据指数函数解析式说明图象平移过程即可. 【详解】由向右平移个单位，则. 故选：D 2.（22-23高三·全国·对口高考）把函数的图象向右平移个单位，再把横坐标缩小为原来的，所得图象的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】根据函数图象变换规律可得答案. 【详解】把函数的图象向右平移个单位，得函数，再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象. 故答案为： 1.（22-23高三·全国·对口高考）利用函数的图象，作出下列各函数的图象． (1)； (2) (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)图象见详解 (2)图象见详解 (3)图象见详解 (4)图象见详解 (5)图象见详解 (6)图象见详解 【分析】先作出函数的图象， （1）把的图象关于轴对称即可得到的图象； （2）保留图象在轴右边部分，去掉轴左侧的，并把轴右侧部分关于轴对称即可得到的图象； （3）把图象向下平移一个单位即可得到的图象； （4）结合（3），保留上方部分，然后把下方部分关于轴翻折即可得到的图象； （5）把图象关于轴对称即可得到的图象； （6）把的图象向右平移一个单位得到的图象． 【详解】（1）把的图象关于轴对称得到的图象，如图，    （2）保留图象在轴右边部分，去掉轴左侧的，并把轴右侧部分关于轴对称得到的图象，如图，    （3）把图象向下平移一个单位得到的图象，如图，    （4）结合（3），保留上方部分，然后把下方部分关于轴翻折得到的图象，如图，    （5）把图象关于轴对称得到的图象，如图，      （6）把的图象向右平移一个单位得到的图象，如图，    2.（2024·辽宁·三模）已知对数函数，函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图像变换法则求出函数的解析式，由条件列方程，解方程求解即可 【详解】因为将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象， 所以，即， 将的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数解析式， 因为所得图象恰好与函数的图象重合， 所以， 所以，又且， 解得， 故选：D 3.（2023·河北·模拟预测）已知函数，则下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称性分析可得函数有且仅有一个对称中心，结合图象变换分析判断. 【详解】由题意可得：， 因为 ， 若为定值， 则，解得，此时， 所以函数有且仅有一个对称中心. 对于选项A：有且仅有一个对称中心为，不合题意，故A错误； 对于选项B：有且仅有一个对称中心为，符合题意，故B正确； 对于选项C：有且仅有一个对称中心为，不合题意，故C错误； 对于选项D：有且仅有一个对称中心为，不合题意，故D错误； 故选：B. 4.（2023·新疆阿勒泰·三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可知 图像与的图像关于轴对称，由 的图像即可得出结果. 【详解】因为，所以 图像与的图像关于轴对称， 由解析式，作出的图像如图 从而可得图像为B选项. 故选：B. 考点三、由函数图象确定解析式 1.（2024·内蒙古呼和浩特·二模）函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图象可知为奇函数且，在上先增后减.根据函数的奇偶性和，结合导数判断函数的单调性依次判断选项即可. 【详解】由图可知，的图象关于原点对称，则为奇函数， 且，在上先增后减. A：，函数的定义域为R，，故A符合题意； B：，函数的定义域为R， ，由，得， 则，在上单调递增，故B不符合题意； C：，当时，，函数显然没有意义，故C不符合题意； D：，函数的定义域为R， ，由，得， 则，在上单调递增，故D不符合题意. 故选：A 2.（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排除法，根据题意结合函数定义域以及函数值的符号分析判断. 【详解】由题意可知：的定义域为，故B错误； 当，先正后负，则有： 对于C：因为，则， 可知，故C错误； 对于D：因为，则，但的符号周期性变化，故D错误； 故选：A. 1.（2024·上海奉贤·二模）已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象和的奇偶性判断. 【详解】易知是偶函数， 是奇函数，给出的函数图象对应的是奇函数， A. ，定义域为R， 又，所以是奇函数，符合题意，故正确； B. ，，不符合图象，故错误； C. ，定义域为R， 但，故函数是非奇非偶函数，故错误； D. ，定义域为R， 但，故函数是非奇非偶函数，故错误， 故选：A 2.（2024·湖南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和定义域，利用排除法即可得解. 【详解】由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C； 由图可知，函数的定义域不是实数集.故排除B； 由图可知，当时，， 而对于D选项，当时，，故排除D. 故选：A. 3.（2024·广东江门·二模）若函数的图象与圆恰有4个公共点，则的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用绝对值函数的图象特征，分别作出选项中的函数图象，观察即可判断. 【详解】作出的图象，如图1所示， 作出的图象，如图2所示，由图可知，满足题意． 故选：D. 考点四、函数零点及零点个数 1.（22-23高三上·江西鹰潭·阶段练习）函数的零点为（    ） A．2，3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，解方程求出函数零点作答. 【详解】由，得，即或，解得或， 所以函数的零点为2，3. 故选：A 2.（2023高三·全国·专题练习）已知指数函数为，则函数的零点为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，解指数方程即可作答. 【详解】函数，由，即，整理得，解得， 所以函数的零点为1. 故选：C 1.（22-23高三·全国·对口高考）已知，方程的实根个数为 ． 【答案】2 【分析】分别作出和的图象，结合图象即可得到答案． 【详解】由，则， 则令，， 分别作出它们的图象如下图所示，    由图可知，有两个交点，所以方程的实根个数为2． 故答案为：2． 2.（2023·全国·模拟预测）已知函数满足.当时，，则在上的零点个数为 . 【答案】161 【分析】由条件先得出函数的最小正周期为3，解方程得上的零点个数，由周期即可确定在上的零点个数. 【详解】因为函数满足， 所以，所以的最小正周期为3， 当时，令， 解得或，所以当时，有两个零点， 所以在上的零点个数为个. 故答案为：161. 考点五、复合函数的零点 1.（23-24高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】将函数的零点个数转化为方程和根的个数，然后再转化为函数与，图象交点个数，最后结合图象判断即可. 【详解】函数的零点， 即方程和的根，函数的图象，如下图所示： 由图可得方程和的根，共有4个根，即函数有4个零点． 故选：C． 2.（2022高三上·河南·专题练习）已知函数则的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】画出的大致图象，由，逐层进行求解，从而求得正确答案. 【详解】作出函数的大致图象如图所示， 由解得，由解得或，. 令，得， 得或或， 结合图象可知： 当时，有1个解；当时有2个解； 当时，由于，所以有个解， 故的零点个数为6. 故选：C    1.（23-24高三上·天津·期中）已知函数，若函数有且只有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由有解得出，同时否定，时有两根，由大根等于的最小值可得值，然后再判断各选项． 【详解】显然有解，因此，， 若，则只有一个零点，但此时无实解，无零点， 所以，，， 由得，由题意，解得（舍去），所以时只有一个零点，它只满足C， 故选：C． 2.（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数，则函数的零点个数是（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】 令，先求出使时的的值，然后画出函数和函数，其中的图象，观察其交点个数即可得答案. 【详解】由已知， 令，即， 当时，得或， 当时，明显函数在上单调递减，且，， 故存在，使， 画出的图象如下， 再画出直线，其中，    观察图象可得交点个数为个， 即函数的零点个数是. 故选：D. 3.（23-24高三上·河北·阶段练习）已知函数则函数的所有零点之和为（    ） A．2 B．3 C．0 D．1 【答案】D 【分析】令，得到，令，可得，列出方程求得，得到，在结合函数的解析式，列出方程，即可得到答案. 【详解】由函数，令，则， 令，可得， 当时，由，可得，即，解得； 当时，由，可得，即，解得或（舍去）， 所以，即， 当时，令或（舍去），解得或； 当时，令，解得或， 所以函数的零点之和为. 故选：D. 4.（2024·全国·模拟预测）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先判断在和上的单调性和最值，再作出函数的大致图象，将函数的零点问题转化为方程根的问题，从而数形结合得结果. 【详解】当时，，当时，， 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且，当时，． 当时，当时，， 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且． 作出函数的大致图象，如图所示， 由图象可知，是函数的零点，要使函数有两个不同的零点，则方程有两个不相等的实数根，等价于有1个非零实数根. 由图可知或或，即. 故选：C． 【点睛】此类问题的常用解法是将函数的零点问题转化为方程根的问题，利用数形结合法得到结果，需要会熟练应用导数判断单调性、求最值并作出函数的大致图象. 考点六、二分法的应用 1.（2023高三·全国·专题练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由于长度等于1区间，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，那么经过次操作后，区间长度变为，若要求精确度为时则 ，解不等式即可求出所需二分区间的最少次数. 【详解】因为开区间的长度等于1，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半， 所以经过次操作后，区间长度变为， 令 ，解得，且， 故所需二分区间的次数最少为7. 故选：C. 2.（22-23高三·全国·对口高考）函数在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间至少二等分（    ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 【答案】C 【分析】根据以及二分法，确定至少需要的二等分的次数. 【详解】区间的长度为，第次二等分，区间长度变为； 第次二等分，区间长度变为；第次二等分，区间长度变为；第次二等分，区间长度变为；第次二等分，区间长度变为；第次二等分，区间长度变为， 第次二等分，区间长度变为. 所以要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间至少二等分次. 故选：C 1.（2023·辽宁大连·一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数在附近一点的函数值可用代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程，选取初始值，在下面四个选项中最佳近似解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出迭代关系为，结合逐项计算可得出结果. 【详解】令，则， 令，即，可得， 迭代关系为， 取，则，， 故选：D. 2. （2023·广西·模拟预测）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用，例如求方程的近似解，先用函数零点存在定理，令，，，得上存在零点，取，牛顿用公式反复迭代，以作为的近似解，迭代两次后计筫得到的近似解为 ；以为初始区间，用二分法计算两次后，以最后一个区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为 . 【答案】 【分析】由牛顿法公式结合二分法的定义求解即可. 【详解】已知，则. 迭代1次后，， 迭代2次后，， 用二分法计算第1次，区间的中点为，，， 所以近似解在上； 用二分法计算第2次，区间的中点为，，，所以近似解在上，取其中点值，所求近似解为. 故答案为：；. 3. （23-24高三下·北京·阶段练习）函数的一个零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断的单调性，结合零点存在性定理分析判断. 【详解】因为的定义域为，且在内单调递增， 可知在内单调递增， 且， 所以函数的唯一一个零点所在的区间是. 故选：B. 1．（2019高三·全国·专题练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据零点的存在定理及二分法分析各选项的函数图象，即可得到答案． 【详解】根据二分法的思想，函数在区间上的图象连续不断，且，即函数的零点是变号零点，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值． 对各选项的函数图象分析可知，A，B，D都符合条件， 而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点． 故选：C. 2．（23-24高三下·福建厦门·强基计划）在上的零点个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】借助因式分解的方法，结合特殊角的三角函数值求解即得. 【详解】依题意，， 而，显然且，因此， 由，得，解得或， 所以在上的零点个数是2. 故选：B 3．（2024·陕西安康·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由零点存在性定理可得答案. 【详解】因为函数的定义域为，又，易知函数在上单调递增， 又，所以在内存在一个零点，使. 故选：C. 4．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数与的图象的交点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数. 【详解】函数与都是偶函数，其中，， 在同一坐标系中，作出函数与的图象，如下图， 由图可知，两函数的交点个数为6. 故选：D 5．（23-24高三下·江西·阶段练习）设函数在上有且仅有1个极值点和1个零点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由求出的表达式，再由极值点及零点个数求出的范围即可得解. 【详解】当时，，依题意，，解得， 由，得，解得，所以. 故选：A 6．（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知函数，若关于的方程恰有三个实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将问题转化为函数与的图象的交点个数为3，作出函数图象，结合图象求解即可. 【详解】关于的方程恰有三个实数根等价于函数与的图象的交点个数为3， 的图象如图所示， 由图可知当时，两函数图象有3个交点， 所以的取值范围为， 故答案为： 7．（2024·河南·二模）已知函数是偶函数，对任意，均有，当时，，则函数的零点有 个. 【答案】4 【分析】转化为函数的图象与的图象的交点个数即可求解. 【详解】函数是偶函数，说明函数的图象关于轴对称，说明的周期是2， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象与的图象，如图所示： 如图所示，共有4个不同的交点，即有4个零点. 故答案为：4. 1．（2024高三·全国·专题练习）方程的实根个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】解法一：令，利用导数研究函数的单调性，结合零点的存在性定理可知在上有一个零点，即可求解；解法二：令，将原方程转化为，解出方程的解即可. 【详解】解法一：令，定义域为， ， 时，，，∴在上存在极大值， 而当时，，，∴，∴的极大值小于0， 从而在上恒小于0，当时，， 所函数在上单调递增，而，， ∴函数在上有一个零点即方程的实根个数为1. 故选：D． 解法二：令，则， 方程可以转化为，即，， 平方可得，故此方程有仅有一解，且. 故选：D． 2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数求出函数的单调区间和极值，作出函数的大致图象，结合题意可知只有一个整数解，再由图象可得结论. 【详解】易知函数的定义域为，且， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 即， 又当趋近于时，趋近于，当趋近于时，且趋近于； 作出函数的图象如下图所示： 易知恒过定点， 由不等式的解集中有且仅有一个整数可知只有一个整数解； 令，利用一次函数图象性质可知， 当时，在上恒成立，不合题意； 当时，若只有1个整数解，因此整数必为1； 所以可得，即，解得； 即实数的取值范围是. 故选：B 3．（2024·全国·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 4．（2024高三·全国·专题练习）若方程在内有解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，则问题转化为方程在上有解，再利用一元二次方程的根的分布与系数的关系即可得出答案. 【详解】方程，整理可得， 因为，则，设， 则问题转化为方程 在 上有解． 又方程对应的二次函数 的对称轴为 ，    故有 ，即，解得， 所以a的取值范围是. 故答案为：. 5．（2024·天津河东·二模）已知函数，，若方程恰有2个不同的实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】,,． 【分析】作出的图象，分、、、及五种情况，分别作出图象进行讨论，即可得答案． 【详解】依题意画出的图象如图所示： 因为函数， 所以， 当直线与相切时， 由，得， ，解得， 由图可知，①当时，函数的图象与的图象无交点，不满足题意； ②当时，函数的图象与的图象交于点，不满足题意； ③时，当经过函数图象上的点时，恰好经过函数图象上的点， 则要使方根恰有2个不同的实数根， 只需，即，故； ④当时，函数的图象与的图象有3个交点，不满足题意； ⑤当时，函数的图象与的图象有2个交点，满足题意． 综上，或． 所以的取值范围为：,,． 故答案为：,,． 【点睛】方法点睛：求解函数零点个数的常用方法： (1) 直接法：令则方程实根的个数就是函数零点的个； (2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题. 6．（2024·湖南长沙·二模）若平面直角坐标系内两点满足: （1）点都在的图象上; （2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”，且点对与记为一个“姊妹点对”. 已知函数，则的“姊妹点对”有 个. 【答案】2 【分析】问题转化为关于原点对称的函数与在交点的个数，先求出关于原点对称的函数，利用导数方法求出在解的个数，即可得出结论. 【详解】设是关于原点对称函数图象上的点， 则点P关于原点的对称点为在上， ，设，“姊妹点对”的个数即为与在交点的个数， 于是，即，令， 由，得，即，于是只考虑即可， 求导得，显然函数在区间上单调递增， 而，，则存在使得， 当单调递减，单调递增， 而，，， 因此函数在区间，分别各有一个零点， 所以函数的“姊妹点对”有2个. 故答案为：2 【点睛】思路点睛：函数的新定义，等价转化为函数图象的交点，利用函数导数研究单调性，结合零点存在性定理是解题的关键. 7．（23-24高三下·上海·期中）已知，且，则函数的零点为 . 【答案】3 【分析】令，分和两种情况，解方程可得答案. 【详解】因为，则，所以， 令，则， 当时，，令，解得：； 当，，令，解得：(舍去)， 故函数的零点为 故答案为：3 1.（2022·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】令， 则， 所以为奇函数，排除BD； 又当时，，所以，排除C. 故选：A. 2.（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解. 【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A； 对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B； 对于C，，则， 当时，，与图象不符，排除C. 故选：D. 3.（2019·全国·高考真题）函数在的零点个数为 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】令，得或，再根据x的取值范围可求得零点. 【详解】由， 得或，， ． 在的零点个数是3， 故选B． 【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题． 4.（湖北·高考真题）已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以， 所以， 由，解得或； 由解得或（舍去）， 所以函数的零点的集合为. 故选：D. 考点：函数的奇偶性的运用，分段函数，函数的零点，一元二次方程的解法，难度中等. 5.（·北京·高考真题）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C. 考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键. 6.（·全国·高考真题）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数在上连续单调递增， 且, 所以函数的零点在区间内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲函数的方程与零点 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第15题,5分 函数与方程的综合应用,根据函数零点的个数求参数范围,已知方程求双曲线的渐近线 2023年天津卷，第15题,5分 根据函数零点的个数求参数范围 2022年天津卷，第15题,5分 根据函数零点的个数求参数范围,根据二次函数零点的分布求参数的范围 2021年天津卷，第9题,5分 根据函数零点的个数求参数范围 2020年天津卷，第9题,5分 函数与方程的综合应用，根据函数零点的个数求参数范围 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度较高，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握函数的零点，能够理解函数的方程，函数的零点与交代你的含义 2.能掌握函数图像与性质 3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像解决零点问题 4.理解并掌握二分法思想，会用零点的存在性定理判断零点的个数 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般难度系数较高，通常为判断零点的个数，或者已知零点个数求取值范围。 知识讲解 知识点一.零点 1.函数零点概念 对函数，把使的实数叫做函数的零点 2.零点存在性定理: 如果函数在区间上的图象是连续不断一条曲线，并且有f，那么，函数在区间内有零点.即存在，使得，这个c也就是方程的根. 3.零点存在唯一性定理: 如果函数在区间上的图象是连续不断一条曲线，并且有，且在上单调，那么函数在区间内有唯一的零点.即存在唯一的，使得，这个也就是方程的根. 4.函数零点、方程的根与函数图像的关系 函数有零点 方程 有实数根函数, 图像有交点 求函数y零点的方法: ①直接解方程; ②利用图象求其与轴的交点(交点的横坐标即是零点); ③将方程变为两个函数，通过图象看它们的交点情况(同时可以知道零点的个数); ④可通过二分法求函数的零点的近似值. 5.二次函数的零点: 二次函数 (1)，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点 (2) ，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个零点. (3) ，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点 知识点二．函数的图象 1.函数的图像 将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，当自变量取遍定义域A内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为{(x，y)|y＝，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数的图象． 2．描点法作图 方法步骤： (1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式； (3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)； (4)描点连线，画出函数的图象． 3．图象变换 (1)平移变换 (2)对称变换 ①； ② ③ ； ④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)． (3)伸缩变换 ①把函数图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得(0<<1) ②把函数图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍得(>1) ③把函数图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得(>1) ④把函数图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得(0<<1) (4)翻折变换 ① |. ② ． 考点一、函数图像的识别 1.（2024·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2.（2022·全国·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ） A． B． C． D． 1.（2024·安徽合肥·模拟预测）函数（为自然函数的底数）的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   2.（2024·山东·模拟预测）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 考点二、函数的图像变换 1.（2023·四川成都·模拟预测）要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（    ） A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 2.（22-23高三·全国·对口高考）把函数的图象向右平移个单位，再把横坐标缩小为原来的，所得图象的函数解析式是 ． 1.（22-23高三·全国·对口高考）利用函数的图象，作出下列各函数的图象． (1)； (2) (3)； (4)； (5)； (6)． 2.（2024·辽宁·三模）已知对数函数，函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 3.（2023·河北·模拟预测）已知函数，则下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 4.（2023·新疆阿勒泰·三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 考点三、由函数图象确定解析式 1.（2024·内蒙古呼和浩特·二模）函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 1.（2024·上海奉贤·二模）已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（    ）． A． B． C． D． 2.（2024·湖南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 3.（2024·广东江门·二模）若函数的图象与圆恰有4个公共点，则的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 考点四、函数零点及零点个数 1.（22-23高三上·江西鹰潭·阶段练习）函数的零点为（    ） A．2，3 B．2 C． D． 2.（2023高三·全国·专题练习）已知指数函数为，则函数的零点为（    ） A． B．0 C．1 D．2 1.（22-23高三·全国·对口高考）已知，方程的实根个数为 ． 2.（2023·全国·模拟预测）已知函数满足.当时，，则在上的零点个数为 . 考点五、复合函数的零点 1.（23-24高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2.（2022高三上·河南·专题练习）已知函数则的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 1.（23-24高三上·天津·期中）已知函数，若函数有且只有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数，则函数的零点个数是（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 3.（23-24高三上·河北·阶段练习）已知函数则函数的所有零点之和为（    ） A．2 B．3 C．0 D．1 4.（2024·全国·模拟预测）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点六、二分法的应用 1.（2023高三·全国·专题练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2.（22-23高三·全国·对口高考）函数在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间至少二等分（    ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 1.（2023·辽宁大连·一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数在附近一点的函数值可用代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程，选取初始值，在下面四个选项中最佳近似解为（    ） A． B． C． D． 2. （2023·广西·模拟预测）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用，例如求方程的近似解，先用函数零点存在定理，令，，，得上存在零点，取，牛顿用公式反复迭代，以作为的近似解，迭代两次后计筫得到的近似解为 ；以为初始区间，用二分法计算两次后，以最后一个区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为 . 3. （23-24高三下·北京·阶段练习）函数的一个零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 1．（2019高三·全国·专题练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24高三下·福建厦门·强基计划）在上的零点个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·陕西安康·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数与的图象的交点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．（23-24高三下·江西·阶段练习）设函数在上有且仅有1个极值点和1个零点，，则（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知函数，若关于的方程恰有三个实数根，则的取值范围为 ． 7．（2024·河南·二模）已知函数是偶函数，对任意，均有，当时，，则函数的零点有 个. 1．（2024高三·全国·专题练习）方程的实根个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 4．（2024高三·全国·专题练习）若方程在内有解，则a的取值范围是 ． 5．（2024·天津河东·二模）已知函数，，若方程恰有2个不同的实数根，则实数的取值范围为 . 6．（2024·湖南长沙·二模）若平面直角坐标系内两点满足: （1）点都在的图象上; （2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”，且点对与记为一个“姊妹点对”. 已知函数，则的“姊妹点对”有 个. 7．（23-24高三下·上海·期中）已知，且，则函数的零点为 . 1.（2022·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2.（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（    ） A． B． C． D． 3.（2019·全国·高考真题）函数在的零点个数为 A．2 B．3 C．4 D．5 4.（湖北·高考真题）已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为（ ） A． B． C． D． 5.（·北京·高考真题）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是 A． B． C． D． 6.（·全国·高考真题）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$