第二章 直线与圆自我检测卷-2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019）

2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019） 第二章 直线与圆自我检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．等腰直角三角形中，，若点的坐标分别为，，则点的坐标可能是（    ） A．或 B．或 C． D． 3．已知圆，直线，则下列结论中正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相切 C．直线与圆相交 D．直线与圆相离 4．已知分别是圆与圆上的动点，若的最大值为12，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知点，过点P向直线：和：作垂线，垂足分别为点M，N，则线段MN的长是（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知某光线从点射出，经过直线上的点B后第一次反射，此反射光线经过直线上的点C后再次反射，该反射光线经过点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．2 7．已知点是圆上的动点，以为圆心的圆经过点，且与圆相交于两点.则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D．不是定值 8．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为：.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．对于直线l：（，），下列说法正确的是（    ） A．直线l的一个方向向量为 B．直线l恒过定点 C．当时，直线l的倾斜角为60° D．当且时，l不经过第二象限 10．在平面直角坐标系中，已知长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，线段的中点的轨迹为曲线，则下列结论正确的是（    ） A．关于直线对称 B．关于原点对称 C．点在内 D．所围成的图形的面积为 11．已知圆，圆．则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当圆和圆外切时，若分别是圆上的动点，则 C．若圆和圆共有2条公切线，则 D．当时，圆与圆相交弦的弦长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 13．圆上总存在两个点到的距离为1，则a的取值范围是 . 14．已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知直线经过点，直线的方程为. (1)若，求直线的方程； (2)若，求直线的方程. 16．（15分）已知圆，直线． (1)求证：直线l恒过定点； (2)若直线l被圆C截得的弦长为，求m的值． 17．（15分）已知直线l经过点，且点到直线l的距离为1． (1)求直线l的方程； (2)O为坐标原点，点C的坐标为，若点P为直线上的动点，求的最小值，并求出此时点P的坐标． 18．（17分）已知圆心为的圆被直线截得的弦长为． (1)求圆N的方程； (2)点与点C关于直线对称，求以C为圆心且与圆N外切的圆的方程． 19．（17分）设直线为公海与领海的分界线，一巡逻艇在处发现了北偏东的海面处有一艘走私船，此走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮航行，以便上海轮后逃窜.已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，与相距约为20海里，走私船可能向任一方向逃窜.在如图所示的平面直角坐标系中，试问：    (1)如果走私船和巡逻艇都是沿直线航行，且走私船和巡逻船相距6海里，那么走私船能被截获的点是哪些？ (2)设，要保证巡逻艇在领海内捕获走私船（即不能截获走私船的区域与公海不相交），相距最远是多少海里？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019） 第二章 直线与圆自我检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为直线，所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，所以. 故选：D． 2．等腰直角三角形中，，若点的坐标分别为，，则点的坐标可能是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】设，直线的斜率分别为由题意可得即 解得或,所以点的坐标可能是或． 故选：A. 3．已知圆，直线，则下列结论中正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相切 C．直线与圆相交 D．直线与圆相离 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径， 直线恒过定点， 显然， 因此点在圆内，直线与圆相交，ABD错误，C正确. 故选：C 4．已知分别是圆与圆上的动点，若的最大值为12，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】圆的圆心为半径， 圆的圆心为半径， 故两圆不是内切和内含， 由题意知的最大值等于12，则，所以. 又，所以. 故选：D. 5．已知点，过点P向直线：和：作垂线，垂足分别为点M，N，则线段MN的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，∵，， ∴四点共圆，且圆的直径为OP，且此圆也为的外接圆， 设半径为，则， 在中，由正弦定理得， ∴， 又，的倾斜角分别是， ∴，而， ∴.    故选：C 6．如图，已知某光线从点射出，经过直线上的点B后第一次反射，此反射光线经过直线上的点C后再次反射，该反射光线经过点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】设点关于的对称点为， 则有，解得， 所以，. 又点关于的对称点为， 根据光的反射原理，可知点与点，均在直线上， 所以． 故选：D. 7．已知点是圆上的动点，以为圆心的圆经过点，且与圆相交于两点.则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D．不是定值 【答案】A 【详解】设， 则圆， 整理得，① 又点是圆②上的动点，且两圆交点为，所以， 由①②两式相减，可得直线的方程为， 所以点到直线的距离. 故选：A 8．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为：.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，过点作平行于轴的直线交直线于点，过点作于点表示的长度，因为直线的方程为，所以，即， 当固定点时，为定值，此时为零时，最小，即与重合（平行于轴）时，最小，如图所示， 设，，则， ， 由三角函数知识可知，其中， 则其最大值是， 所以，故D正确. 故选：D.    【点睛】关键点睛：本题的关键是理解曼哈顿距离的定义，得到，再利用辅助角公式即可求出其最值. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．对于直线l：（，），下列说法正确的是（    ） A．直线l的一个方向向量为 B．直线l恒过定点 C．当时，直线l的倾斜角为60° D．当且时，l不经过第二象限 【答案】ABD 【详解】对于A：直线l的一个方向向量为，A正确； 对于B：直线l的方程可化为，所以直线l恒过定点，B正确； 对于C：当时，直线l的斜率为，此时倾斜角为，C错误； 对于D：当且时，直线l为，所以l不经过第二象限，D正确. 故选：ABD. 10．在平面直角坐标系中，已知长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，线段的中点的轨迹为曲线，则下列结论正确的是（    ） A．关于直线对称 B．关于原点对称 C．点在内 D．所围成的图形的面积为 【答案】ABD 【详解】设线段的中点为，则由题意可得，， 所以，即， 所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆， 选项A：易知直线过圆心，故A正确； 选项B：显然关于原点对称，故B正确； 选项C：因为，所以点在上，故C错误； 选项D：易知所围成的图形的面积为，故D正确； 故选：ABD. 11．已知圆，圆．则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当圆和圆外切时，若分别是圆上的动点，则 C．若圆和圆共有2条公切线，则 D．当时，圆与圆相交弦的弦长为 【答案】ABD 【详解】对于A，由圆，圆， 可知，故直线的方程为， 即，即得直线恒过定点，A正确； 对于B，即， 当圆和圆外切时，，解得， 当时，如图示，当共线时,； 同理求得当时，，B正确； 对于C，若圆和圆共有2条公切线，则两圆相交， 则，即，解得，C错误 对于D，当时，两圆相交， ，， 将两方程相减可得公共弦方程， 则到的距离为， 则圆与圆相交弦的弦长为，D正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 【答案】 【详解】因为，，， 所以，． 直线过点且与线段相交，如下图所示： 或， 直线的斜率的取值范围是：． 故答案为：． 13．圆上总存在两个点到的距离为1，则a的取值范围是 . 【答案】 【详解】圆上总存在两个点到的距离为1， 转化为：以为圆心1为半径的圆与已知圆相交， 可得，即， 解得或，即a的取值范围是. 故答案为：. 14．已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为 . 【答案】1 【详解】直线，即，恒过定点， 直线，即，也恒过定点， 所以直线与相交于定点， 由，解得，可知直线与直线相交于点， 又因为直线与直线相互垂直，所以是为直角的直角三角形， 因为点到的距离， 点到,的距离， 所以的面积， 时，的面积不可能取到最大值； 时，，当且仅当时，等号成立． 因此，当时，的面积有最大值． 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知直线经过点，直线的方程为. (1)若，求直线的方程； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，直线的方程为， 可设直线的方程为， 将点带入方程，得，解得， 所以直线的方程为. （2）因为，直线的方程为， 可设直线的方程为， 将点代入方程，得，解得， 所以直线的方程为. 16．（15分）已知圆，直线． (1)求证：直线l恒过定点； (2)若直线l被圆C截得的弦长为，求m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）直线方程可化为 由可得 所以直线l恒过定点. （2）化为， 圆心，半径，设圆心到直线l的距离为， 因为直线l被圆C截得的弦长为， 所以， 所以 解得． 17．（15分）已知直线l经过点，且点到直线l的距离为1． (1)求直线l的方程； (2)O为坐标原点，点C的坐标为，若点P为直线上的动点，求的最小值，并求出此时点P的坐标． 【答案】(1)或 (2)10， 【详解】（1）由题意知直线l经过点，当直线斜率不存在时，方程为， 此时点到直线l的距离为1，符合题意； 当直线l斜率存在时，设方程为，即， 则由点到直线l的距离为1。得， 解得，即得，即， 故直线l的方程为或； （2）由点，可得直线的方程为， 故点关于的对称点为， 连接，则， 则， 当且仅当共线时，等号成立， 即的最小值为10， 此时的方程为，联立， 解得，即. 18．（17分）已知圆心为的圆被直线截得的弦长为． (1)求圆N的方程； (2)点与点C关于直线对称，求以C为圆心且与圆N外切的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）圆心到直线的距离等于，圆N被直线截得的弦长为， 则圆N的半径， 圆N的方程为． （2）点与点C关于直线对称，点C的坐标为． 设所求圆的方程为， 圆C与圆N外切，故，得． 圆C的方程为． 19．（17分）设直线为公海与领海的分界线，一巡逻艇在处发现了北偏东的海面处有一艘走私船，此走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮航行，以便上海轮后逃窜.已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，与相距约为20海里，走私船可能向任一方向逃窜.在如图所示的平面直角坐标系中，试问：    (1)如果走私船和巡逻艇都是沿直线航行，且走私船和巡逻船相距6海里，那么走私船能被截获的点是哪些？ (2)设，要保证巡逻艇在领海内捕获走私船（即不能截获走私船的区域与公海不相交），相距最远是多少海里？ 【答案】(1)走私船能被截获的点的轨迹是以为圆心、4为半径的圆. (2)15海里. 【详解】（1）由题意得，设走私船能被截获的点为， 则，则， 化简得. 因此，走私船能被截获的点的轨迹是以为圆心、4为半径的圆. （2）设走私船能被截获的点为，则， 由，整理得， 走私船能被截获的点的轨迹是以为圆心、为半径的圆，记为圆. 当在圆的内部，则， 可变形为，即， 因此巡逻庭不能在圆内部截获走私船. 分要保证巡逻艇在领海内捕获走私船， 圆内部区域与直线不相交， 则圆心到直线的距离， 所以，相距最远是15海里. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$