精品解析：安徽省铜陵市等三市2023-2024学年高一下学期7月期末检测数学试题

2023—2024学年第二学期三市联合期末检测 高一数学 满分：150分考试 时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整､笔迹清晰. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知某单位按照职工年龄分为老、中、青三组，其人数之比为.现用分层抽样的方法从全体职工中抽取20人进行问卷调研，则抽取的职工中属于青年组的人数为（ ） A. 4人 B. 6人 C. 8人 D. 10人 4. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为异面直线，，，，则 5. 如图，已知过点的函数的图象与函数的图象相交于两点，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 6. 在中，角的对边分别为，已知.若有两个解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机事件，满足，则下面说法正确的是（ ） A. 若事件与互斥，则 B. 若，则事件与可能互斥 C. 若事件与相互独立，则 D. 若，则事件与互斥 8. 截交线，是平面与空间形体表面的交线，它是画法几何研究的内容之一.当空间形体表面是曲面时，截交线是一条平面曲线；当空间形体表面由若干个平面组成时，截交线是一个多边形.已知正三棱锥，满足，点在内部（含边界）运动，且，则点的轨迹与这个正三棱锥的截交线长度为（ ） A B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，其中为实数，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若为虚数，则或 B. 若复平面内表示复数的点位于第二象限，则 C. 若，则 D. 若且，则 10. 已知正数满足，则下面不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知正方体的棱长为2，点为的中点，点为正方形内（包含边界）的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 点四点共面 B. 几何体外接球的体积为 C. 满足平面的点的轨迹长度为 D. 的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题.5分，共15分. 12. 若一个扇形的面积为6，扇形圆心角的弧度数是4，则该扇形的弧长为__________. 13. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则__________. 14. 甲､乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中3名选手答对题的概率分别为.在第一轮比赛中，甲队得分，乙队得分，则在这一轮中，满足且的概率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，函数. （1）求函数的解析式； （2）若且在第三象限，求值. 16. 如图，已知圆锥，为底面直径，是底面圆周上不同于、一点，母线长为4. （1）若点为的中点，证明：平面； （2）若该圆锥轴截面面积为，求该圆锥的表面积. 17. 某学校高一年级进行某学科的考试，所有学生的成绩做成的频率分布直方图如图所示，第一组成绩在，第二组成绩在，第三组成绩在，第四组成绩在，第五组成绩在. （1）年级准备表扬在本次考试中成绩在前的同学，定为成绩优胜，估计此次考试成绩优胜的分数线； （2）现用分层随机抽样的方法在第二组和第四组中选取6人，进行成绩情况调研. ①从这6人中抽取2人，求这2人不在同一组的概率； ②若抽取的同学中，第二组的成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组的成绩的平均数和方差分别为83和70，据此估计第二组和第四组抽取的所有同学中成绩的方差. 18. 如图，已知三棱锥，为等边三角形，，，点为的中点. （1）证明：； （2）当时，取的中点，求与平面所成角的余弦值； （3）当异面直线与所成角的余弦值为时，求的值. 19. 在锐角三角形中，内角所对应的边分别为，点分别为边的中点，满足. （1）求的值； （2）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年第二学期三市联合期末检测 高一数学 满分：150分考试 时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整､笔迹清晰. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的性质求出集合，再根据指数函数的性质求出集合，最后根据交集的定义计算可得. 【详解】因为， 又，所以， 所以. 故选：D 2. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘方运算化简复数，即可判断其虚部. 【详解】因为 ， 所以的虚部为. 故选：C 3. 已知某单位按照职工年龄分为老、中、青三组，其人数之比为.现用分层抽样的方法从全体职工中抽取20人进行问卷调研，则抽取的职工中属于青年组的人数为（ ） A 4人 B. 6人 C. 8人 D. 10人 【答案】B 【解析】 【分析】按照分层抽样计算规则计算可得. 【详解】依题意抽取的职工中属于青年组的人数为人. 故选：B 4. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为异面直线，，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理判断A，根据线面垂直的性质判断B，当时即可判断C，根据异面直线的定义及线面平行的性质定理判断D. 【详解】对于A：若，，根据线面平行的判定定理可知，故A正确； 对于B：若，则，故B正确； 对于C：当时，，由面面垂直的性质定理可得， 当时，，则或或与相交，故C错误； 对于D：因为，，所以存在使得，又，，所以， 又且为异面直线，所以平面内的两直线、必相交， 所以，故D正确. 故选：C 5. 如图，已知过点函数的图象与函数的图象相交于两点，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，即可求出，再根据函数过点求出，即可求出函数解析式，再代入计算可得. 【详解】因为函数的图象与函数的图象相交于两点，且， 即，且， 根据余弦函数的性质可知，则，又，所以，解得， 所以，又函数过点，所以， 则，所以，又，所以， 所以，所以. 故选：C 6. 在中，角的对边分别为，已知.若有两个解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时有两个解，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】因为，则当时有两个解， 即，所以，即的取值范围为. 故选：D 7. 已知随机事件，满足，则下面说法正确的是（ ） A. 若事件与互斥，则 B. 若，则事件与可能互斥 C. 若事件与相互独立，则 D. 若，则事件与互斥 【答案】C 【解析】 【分析】由相互独立事件、互斥事件的关系进行验证各选项. 【详解】对于A，因为与互斥，所以，故A错误； 对于B，若，则， 解得，所以事件与不可能互斥，故B错误； 对于C，若事件与相互独立，则事件与也相互独立， 则，故C正确； 对于D，若，又， 所以，所以事件与相互独立，则事件与也相互独立， 事件与可能同时发生，所以事件与不互斥，故D错误. 故选：C. 8. 截交线，是平面与空间形体表面的交线，它是画法几何研究的内容之一.当空间形体表面是曲面时，截交线是一条平面曲线；当空间形体表面由若干个平面组成时，截交线是一个多边形.已知正三棱锥，满足，点在内部（含边界）运动，且，则点的轨迹与这个正三棱锥的截交线长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，所以点的轨迹是以为球心，半径为的球面与内部（含边界）包含的平面相交所得的弧，即点的轨迹是以正的中心为圆心，为半径的圆在内部（含边界）的弧，在平面图形中求出弧长即可. 【详解】 由题意可知，正三棱锥，满足， 可得平面，得底面正的边长为，设正的中心为， 由，即， 得，又， 点在内部（含边界）运动，且， 所以点的轨迹是以为球心，半径为的球面与内部（含边界）包含的平面相交所得的弧， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在内部（含边界）的弧， 如图，作于，圆与交点为，则， ， 所以，则，所以， 则点的轨迹在内部（含边界）的弧所对的圆心角为， 则弧长为， 即点的轨迹与这个正三棱锥的截交线长度为. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，其中为实数，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若为虚数，则或 B. 若复平面内表示复数的点位于第二象限，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，根据复数的定义，以及复数的几何意义，以及复数的运算形式，逐项判定，即可求解. 【详解】由复数，其中为实数，为虚数单位， 对于A中，若为虚数，则满足，解得且，所以A不正确； 对于B中，若复平面内表示复数的点位于第二象限，则满足， 解得，所以B正确； 对于C中，若，可得，解得，所以C正确； 对于D中，当且，可得为虚数，为虚数，而，所以，所以D不正确. 故选：BC. 10. 已知正数满足，则下面不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，利用基本不等式，以及“1”的代换，逐项判定，即可求解. 【详解】因为正数满足，由， 当且仅当时，即时，等号成立， 对于A中，由，可得，所以A正确； 对于B中，因为，由， 可得，所以，当且仅当时，等号成立， 所以B不正确； 对于C中，由， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确； 对于D中，因为，可得，且， 则，所以D不正确. 故选：AC. 11. 如图，已知正方体的棱长为2，点为的中点，点为正方形内（包含边界）的动点，则下列说法正确的是（ ） A 点四点共面 B. 几何体的外接球的体积为 C. 满足平面的点的轨迹长度为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】推导出与为异面直线，即可判断A；将几何体的外接球转化为长方体的外接球，即可判断B；取的中点，的中点，连接、、，可证平面平面，即可求出点的轨迹，从而判断C；在正方体左边作一个相同的正方体，化折线为直线，即可判断D. 【详解】对于A：在正方体中，又平面，平面， 所以平面，又平面，且，所以与为异面直线， 所以点四点不共面，故A错误； 对于B：取的中点，的中点，的中点，连接、、、， 则几何体的外接球即为长方体的外接球，设外接球的半径为， 则，所以，则外接球的体积，故B正确； 对于C：取的中点，的中点，连接、、， 则，平面，平面，所以平面， 又且，所以四边形为平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面，又平面，点为正方形内（包含边界）的动点， 所以点在线段上，又， 所以满足平面的点的轨迹长度为，故C正确； 对于D：在正方体左边作一个相同的正方体，如下图所示： 连接交平面于点，此时取得最小值， 即的最小值为，故D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 三､填空题：本题共3小题，每小题.5分，共15分. 12. 若一个扇形面积为6，扇形圆心角的弧度数是4，则该扇形的弧长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设扇形的半径为，根据扇形的面积求出，再由弧长公式计算可得. 【详解】设扇形的半径为，圆心角， 则扇形的面积，解得（负值已舍去）， 所以该扇形的弧长. 故答案为： 13. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先求出的坐标，再求出，，最后根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为， 所以. 故答案为： 14. 甲､乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中3名选手答对题的概率分别为.在第一轮比赛中，甲队得分，乙队得分，则在这一轮中，满足且的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出甲在一轮比赛中得分、分的概率，乙在一轮比赛中得分、分的概率，设在这一轮中，满足且为事件，则包含①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】依题意甲队在一轮比赛中得分的概率为， 甲队在一轮比赛中得分的概率为， 乙队在一轮比赛中得分的概率为： ， 乙队在一轮比赛中得分的概率为： ， 设在这一轮中，满足且为事件， 则包含①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分， 所以， 即在这一轮中，满足且的概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是分析得到①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，函数. （1）求函数的解析式； （2）若且在第三象限，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算，化简即可得到函数的解析式； （2）由（1）及，可得，得，由在第三象限，即可解得的值. 【小问1详解】 因为， 所以 ， 故解析式为. 【小问2详解】 因为， 所以，则，解得， 因为在第三象限，所以可取，则. 16. 如图，已知圆锥，为底面直径，是底面圆周上不同于、的一点，母线长为4. （1）若点为的中点，证明：平面； （2）若该圆锥的轴截面面积为，求该圆锥的表面积. 【答案】（1）证明见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）连接，根据三角形中位线的性质得到，即可得证； （2）由三角形面积公式求出，从而求出底面半径，再由圆锥的表面积公式计算可得. 【小问1详解】 连接，因为点为的中点，为的中点， 所以， 又平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 因为该圆锥的轴截面是， 所以，所以， 又，所以或， 当时为等边三角形，所以，则， 所以该圆锥的表面积； 当时，则，所以， 所以该圆锥的表面积； 综上可得该圆锥的表面积为或. 17. 某学校高一年级进行某学科的考试，所有学生的成绩做成的频率分布直方图如图所示，第一组成绩在，第二组成绩在，第三组成绩在，第四组成绩在，第五组成绩在. （1）年级准备表扬在本次考试中成绩在前的同学，定为成绩优胜，估计此次考试成绩优胜的分数线； （2）现用分层随机抽样的方法在第二组和第四组中选取6人，进行成绩情况调研. ①从这6人中抽取2人，求这2人不在同一组的概率； ②若抽取的同学中，第二组的成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组的成绩的平均数和方差分别为83和70，据此估计第二组和第四组抽取的所有同学中成绩的方差. 【答案】（1）85 （2）①，②132 【解析】 【分析】（1）本次考试中成绩在前的同学，即第75百分位数，由百分位数公式计算即可； （2）①求出从这6人中抽取2人，共有情况数，抽取这2人不在同一组的情况数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解 ②利用分层方差公式计算即可求解. 【小问1详解】 成绩在前的同学的分数线，即第75百分位数，由频率分布直方图可知， 前三组频率为， 前四组频率为， 所以成绩优胜的分数线在第四组之间， 所以该数据为， 则估计此次考试成绩优胜的分数线为85. 【小问2详解】 ①由频率分布直方图可知第二组和第四组频率之比为， 则分层随机抽样的方法选取6名同学，其中2人的成绩在第二组内，4人的成绩在第四组内， 从这6人中抽取2人，则共有种情况，抽取这2人不在同一组有种情况， 所以从这6人中抽取2人，求这2人不在同一组的概率为． ②由已知，第二组和第四组抽取的所有同学的平均数为， 设第二组，第四组，抽取的学生成绩的平均数和方差分别为，，，， 则第二组和第四组抽取的所有同学中成绩的方差为. 18. 如图，已知三棱锥，为等边三角形，，，点为的中点. （1）证明：； （2）当时，取的中点，求与平面所成角的余弦值； （3）当异面直线与所成角的余弦值为时，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设的边长为，连接、，求出、、，利用勾股定理逆定理证明即可； （2）首先证明平面，连接，则为与平面所成角，求出，即可得解； （3）将底面补成矩形，连接、，即可得到为异面直线与所成角（或其补角），利用余弦定理求出（），再由勾股定理求出，即可得解. 【小问1详解】 设的边长为，连接、，则， 因为，所以，又， 所以，所以； 【小问2详解】 因为，所以，又，平面， 所以平面，连接，则为与平面所成角， 又平面，所以， 又，，所以为等腰直角三角形，所以， 所以，即与平面所成角的余弦值为； 【小问3详解】 由于，将底面补成矩形，连接、， 则且， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 因为点为的中点，则点为的中点，所以， 又，， 所以，所以， 所以，所以， 若，此时（舍去）， 所以， 又，所以，所以. 19. 在锐角三角形中，内角所对应的边分别为，点分别为边的中点，满足. （1）求值； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用、表示出，，根据数量积的运算律及定义得到，再由余弦定理计算可得； （2）由三角形为锐角三角形及余弦定理求出，即可得到的范围，再由余弦定理得到，利用换元法及对勾函数的性质计算可得. 【小问1详解】 连接，，点分别为边的中点， 所以， ， 因为，所以， 所以， 所以， 由余弦定理，所以， 所以，所以. 【小问2详解】 因为为锐角三角形， 所以，即，，， 又， 所以，，所以，即， 所以， 令，则， 所以，令，则在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以，所以，即的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是推导出的范围，再由余弦定理及（1）的结论得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$