第07讲拓展二：三角形中线，角平分线方法技巧篇(精讲）-【高考新结构一轮复习】备战2025年高考数学一轮复习精讲精练（知识·题型·分层练，新高考专用）

第07讲 拓展二：三角形中线，角平分线方法技巧篇 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高频考点一遍过 2 高频考点一：中线长问题（方法一：中线向量形式） 2 高频考点二：中线长问题（中线分第三条边所成两角互余） 4 高频考点三：角平分线问题（等面积法（核心方法）） 5 高频考点四：角平分线问题（角平分线分第三条边所成两角互余） 7 第一部分：基础知识 1、中线： 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， 1.1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆） 核心技巧： 结论： 1.2角形式： 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 2、角平分线 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， 2.1内角平分线定理： 核心技巧：或 2.2等面积法 核心技巧 2.3角形式： 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 第二部分：高频考点一遍过 高频考点一：中线长问题（方法一：中线向量形式） 典型例题 例题1．（23-24高二下·辽宁本溪·开学考试）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为的面积）. 问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______. (1)求角B的大小； (2)AC边上的中线，求的面积的最大值. 例题2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且． (1)求； (2)若的面积为； ①已知E为BC的中点，求底边BC上中线AE长的最小值； ②求内角A的角平分线AD长的最大值． 例题3．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）在中，内角的对边分别是，且， . (1)求角B； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 练透核心考点 1．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)已知是的中线，求的最小值． 2．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，角C为锐角，已知的面积为. (1)求c； (2)若为上的中线，求的余弦值. 3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求B； (2)若的中线长为，求面积的最大值． 高频考点二：中线长问题（中线分第三条边所成两角互余） 典型例题 例题1．（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）在中，内角的对边分别为，且边上的中线，则（    ） A．3 B． C．1或2 D．2或3 例题2．（23-24高三·河南郑州·阶段练习）在等腰中，AB＝AC，若AC边上的中线BD的长为3，则的面积的最大值是（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 例题3．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）在中，角所对的边分别为，已知，若为边上的中线，且，则的面积等于 ． 练透核心考点 1．（23-24高一下·河北·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则中线AD的长为 . 2．（23-24高一下·福建三明·期中）的内角的对边分别是．已知，，边上的中线长度为，则 3．（23-24高一·全国·课时练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，，则BC边上的中线AD长度的最大值为 ． 高频考点三：角平分线问题（等面积法（核心方法）） 典型例题 例题1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）在中，，，，的角平分线交于D，则 例题2．（2024·四川广安·二模）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角； (2)若是的角平分线，，的面积为，求的值. 例题3．（2024·山东淄博·一模）如图，在△ABC中，的角平分线交 BC于P点，.    (1)若，求△ABC的面积; (2)若，求BP的长. 练透核心考点 1．（2024·福建龙岩·一模）在中，为上一点，为的角平分线，则 . 2．（2024·四川遂宁·二模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角C； (2)若CD是的角平分线，，的面积为，求c的值． 3．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）在中，角的对边分别是，且． (1)求； (2)若的角平分线交于点，且，求的周长． 高频考点四：角平分线问题（角平分线分第三条边所成两角互余） 典型例题 例题1．（23-24高二上·云南玉溪·期中）已知的三个内角所对的边分别为，满足，且． (1)求； (2)若点在边上，，且满足 ，求边长； 请在以下三个条件： ①为的一条中线；②为的一条角平分线；③为的一条高线； 其中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 练透核心考点 1．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）在中， ，，， 的角平分线交于，则 ． 2．（2023高三上·全国·专题练习）在中，记角、、所对的边分别为、、，已知，中线交于，角平分线交于，且，，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 拓展二：三角形中线，角平分线方法技巧篇 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高频考点一遍过 2 高频考点一：中线长问题（方法一：中线向量形式） 2 高频考点二：中线长问题（中线分第三条边所成两角互余） 8 高频考点三：角平分线问题（等面积法（核心方法）） 13 高频考点四：角平分线问题（角平分线分第三条边所成两角互余） 17 第一部分：基础知识 1、中线： 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， 1.1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆） 核心技巧： 结论： 1.2角形式： 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 2、角平分线 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， 2.1内角平分线定理： 核心技巧：或 2.2等面积法 核心技巧 2.3角形式： 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 第二部分：高频考点一遍过 高频考点一：中线长问题（方法一：中线向量形式） 典型例题 例题1．（23-24高二下·辽宁本溪·开学考试）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为的面积）. 问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______. (1)求角B的大小； (2)AC边上的中线，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）若选①：根据正弦定理，化简得到，再由余弦定理得到，即可求解； 若选②：由三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，化简得到，得到，即可求解； 若选③：由正弦定理化简可得到，求得，即可求解. （2）根据向量的运算法则和基本不等式，化简得到，结合面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：若选①：在中，因为， 由， 可得， 由正弦定理得，即， 则， 又因为，故. 若选②：由，可得，所以， 因为，所以. 若选③：因为， 正弦定理得， 又因为，所以， 即， 因为，，所以， 又因为，可得； 综上所述：选择①②③，都有. （2）解：由，可得， 所以，可得，当且仅当时取等号，   则，当且仅当时取等号， 则的面积的最大值为. 例题2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且． (1)求； (2)若的面积为； ①已知E为BC的中点，求底边BC上中线AE长的最小值； ②求内角A的角平分线AD长的最大值． 【答案】(1) (2)长的最小值为，的最大值 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出； （2）由面积公式求出，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解的最值. 【详解】（1）由正弦定理，得，即， 故， 因为，所以， 所以； （2）①由（1）知， 因为的面积为，所以，解得， 由于，所以 ， 当且仅当时，等号取得到，所以； ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 所以， 由于,所以， 由于， 又，所以 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故， 例题3．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）在中，内角的对边分别是，且， . (1)求角B； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可； （2）根据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可； （3）利用向量加法运算及数量积模的运算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函数的性质求解范围即可. 【详解】（1）由及正弦定理得， 即， 即， 所以，因为，所以. 因为，所以. （2）由及余弦定理得，又，所以， 由得， 所以，所以，解得. （3）因为的的中点，所以， 则， 由正弦定理得 ， 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以， 即边上的中线的取值范围为. 练透核心考点 1．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)已知是的中线，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）由题设等式利用正弦定理化角为边，结合和余弦定理即可求得； （2）利用三角形的中线表达式得到，两边平方后将其转化为边长和夹角的关系式，再利用重要不等式求得的最大值，最后借助于不等式性质即得. 【详解】（1）因，由正弦定理，， 由余弦定理，，又代入化简得，因，则 （2）因是的中线，故,两边平方可得：， 即，由（1）知，则， 又因，即，当且仅当时等号成立， 此时，即. 故当时，的最小值为. 2．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，角C为锐角，已知的面积为. (1)求c； (2)若为上的中线，求的余弦值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由三角形的面积公式和余弦定理求解即可； （2）因为为上的中线，所以，对其两边同时平方可求出，再由余弦定理求解即可. 【详解】（1）由的面积为可得：， 因为，，解得：得， 由角为锐角得， 故，解得. （2）因为为上的中线，所以， 所以， ， 解得：.    故. 3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求B； (2)若的中线长为，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换计算即可； （2）利用平面向量知，利用数量积与模关系及基本不等式可得，再根据面积公式求最值即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理得：， 而， 所以， 化简得， 因为，则，， 即，所以， 又因为，所以，即. （2）由是的中线，可知， 所以，即， 可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以三角形面积， 即的面积的最大值为. 高频考点二：中线长问题（中线分第三条边所成两角互余） 典型例题 例题1．（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）在中，内角的对边分别为，且边上的中线，则（    ） A．3 B． C．1或2 D．2或3 【答案】C 【分析】由正弦定理及可得，在中由余弦定理列式可得，在中由余弦定理可得，综上即可求解c 【详解】由得，∴，∵，∴，即. 在中，由余弦定理可得，整理得， 在中，，∴，即 （*）， 当时，（*）式可解得，； 当时，（*）式可解得，； 故选：C 例题2．（23-24高三·河南郑州·阶段练习）在等腰中，AB＝AC，若AC边上的中线BD的长为3，则的面积的最大值是（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】A 【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得面积的最大值． 【详解】设，， 由于， 在和中应用余弦定理可得： ，整理可得：， 结合勾股定理可得的面积： ， 当且仅当时等号成立． 则面积的最大值为6． 故选：A. 例题3．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）在中，角所对的边分别为，已知，若为边上的中线，且，则的面积等于 ． 【答案】/ 【分析】将条件式，利用正弦定理角化边，再根据余弦定理求得，以为邻边做平行四边形，在中，利用余弦定理求得，所以，得解；方法二，设，在中由余弦定理得，又，由余弦定理可得，解得，后面同解法一. 【详解】由，得， ， 注意，得，得， 记，由，知， 如图，以为邻边做平行四边形， 在中：，即， 得，所以， 故答案为：． 法（2）：设，在中：① 因为，则， 由余弦定理可得，得② 联立①②知：，即，解得，后面同上． 故答案为： 练透核心考点 1．（23-24高一下·河北·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则中线AD的长为 . 【答案】 【分析】在和中利用余弦定理建立方程求解即可. 【详解】如图，由余弦定理得， ，又， 两式相加得，即，化简得， 所以.    故答案为： 2．（23-24高一下·福建三明·期中）的内角的对边分别是．已知，，边上的中线长度为，则 【答案】 【分析】由已知条件结合余弦定理可得用，又由诱导公式得，从而再次利用余弦定理化简等式得到，由此得解. 【详解】记的中点为，连接，如图， 因为，， 所以在中，，则， 又因为，边上的中线长度为，即， 故由余弦定理得，整理可得， 所以. 故答案为：. 3．（23-24高一·全国·课时练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，，则BC边上的中线AD长度的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理将条件进行变形，结合三角形内角之和为π，可求得cosA，设AD＝x，由cos∠ADB+cos∠ADC＝0，由余弦定理建立方程可得2x2+2＝b2+c2，，利用基本不等式可得b2+c2的取值范围，从而求得x的取值范围． 【详解】因为， 由正弦定理可知：， 又因为A+B+C＝π，所以sinC＝sin(A+B)＝sinAcosB+cosAsinB， 则2cosAsinB＝sinB，又由于B∈(0,π)，所以sinB＞0， 所以cosA，因为A∈(0,π)，所以， 设AD＝x，又DB＝DC＝1， 在△ADB，△ADC中分别有：cos∠ADB，cos∠ADC， 又由于cos∠ADB+cos∠ADC＝0，所以2x2+2＝b2+c2， 在△ABC中，，即， 因为b2+c2≥2bc，所以，从而b2+c2≤8， 所以2x2+2≤8，解之得，（当且仅当b＝c时等号成立）， 所以BC边上的中线AD长度的最大值为， 故答案为：． 高频考点三：角平分线问题（等面积法（核心方法）） 典型例题 例题1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）在中，，，，的角平分线交于D，则 【答案】 【分析】根据余弦定理求得的长，再利用建立的等式，即可求得答案. 【详解】在中,由余弦定理得，      则，即， 解得，（负值舍）， 而平分，即， 又，故， 则. 故答案为： 例题2．（2024·四川广安·二模）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角； (2)若是的角平分线，，的面积为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，结合三角恒等变换求解角度即可. （2）利用三角形的面积公式和余弦定理列出方程，求解即可. 【详解】（1）由及正弦定理得，， 所以，因为， 所以，又，所以 （2）由，得， 又， 所以， 由余弦定理得 所以. 例题3．（2024·山东淄博·一模）如图，在△ABC中，的角平分线交 BC于P点，.    (1)若，求△ABC的面积; (2)若，求BP的长. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）利用余弦定理和三角形面积公式即可求出答案； （2）首先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出，再根据三角恒变换求出，最后再根据正弦定理即可. 【详解】（1）中，设角A、B、C的对边分别为、、， 在中由余弦定理得， 即① 因，即， 整理得② ①②解得， 所以. （2）因为， 所以在中由余弦定理可得， 所以 解得， 由正弦定理得， 即，解得， 所以， 中由正弦定理得，则， 解得， 所以. 练透核心考点 1．（2024·福建龙岩·一模）在中，为上一点，为的角平分线，则 . 【答案】 【分析】 根据给定条件，利用三角形面积公式列式计算即得. 【详解】 由得，， 解得. 故答案为： 2．（2024·四川遂宁·二模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角C； (2)若CD是的角平分线，，的面积为，求c的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化角为边，结合和差角公式以及弦切互化可得，即可求解， （2）由，可得，根据等面积法可求，由余弦定理即可求的值． 【详解】（1）由可得 故，进而， 由于所以 （2）由面积公式得，解得， ，， 即，， 又，， ． 3．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）在中，角的对边分别是，且． (1)求； (2)若的角平分线交于点，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角，得到，再利用辅助角公式，得到，即可求出结果； （2）根据条件，利用，得到，且有，联立解出，即可求出结果. 【详解】（1）在中，， 由正弦定理可化简得， 又， 所以， 化简得到， 又在中，，所以，得到， 即，所以，即， 又，所以，得，即 （2）由（1）知，又的角平分线交于点，且， 所以，得到 整理得到①， 又在中，，得到②， 联立①②解得 所以的周长为. 高频考点四：角平分线问题（角平分线分第三条边所成两角互余） 典型例题 例题1．（23-24高二上·云南玉溪·期中）已知的三个内角所对的边分别为，满足，且． (1)求； (2)若点在边上，，且满足 ，求边长； 请在以下三个条件： ①为的一条中线；②为的一条角平分线；③为的一条高线； 其中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，借助三角恒等变换公式化简即可； （2）由（1）问，分析边角关系，利用余弦定理等知识求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 由倍角公式可得，则， 又因为，则， 所以， 即． 且，则，可得， 又因为，所以． （2）若选择①：若为的中线，设（）， 由余弦定理可得，， 因为，可得， 即，整理得，可知， 又因为，解得或（舍去）， 所以； 若选择②：若为的角平分线，则， 在中，由余弦定理得，即， 可知，即，可知，， 所以； 若选择③：若为的高线，则， 则，即，则， 可知，可知，, 所以． 练透核心考点 1．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）在中， ，，， 的角平分线交于，则 ． 【答案】 【分析】由余弦定理求得，然后由角平分线定理求得，，再由余弦定理利用，求得． 【详解】中，由余弦定理得， 解得（舍去）， 是角平分线，则， 所以，， 又由余弦定理得： ， ， 而， 因此， ， ，． 故答案为：．      2．（2023高三上·全国·专题练习）在中，记角、、所对的边分别为、、，已知，中线交于，角平分线交于，且，，求的面积． 【答案】 【分析】由三角恒等变换化简可得出，利用角平分线定理可得出，结合可得出，，然后在、中，应用余弦定理可得出，结合已知条件可得出的值，分析可知，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】解：因为， 所以，， 即，由正弦定理可得， 因为的角平分线交于，则，所以，． 又因为，，由可得， 即，则，． 在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得．② 因为， 则①②可得，，即， 即，即，解得， 此时满足，故，所以，． 学科网（北京）股份有限公司 $$