第05讲正弦定理和余弦定理的应用（知识+真题+5类高频考点)(精讲）-【高考新结构一轮复习】备战2025年高考数学一轮复习精讲精练（知识·题型·分层练，新高考专用）

第05讲 正弦定理和余弦定理的应用 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高考真题回顾 2 第三部分：高频考点一遍过 3 高频考点一：测量距离问题 3 高频考点二：测量高度问题 6 高频考点三：测量角度问题 9 高频考点四：求平面几何问题 12 高频考点五：三角函数与解三角形的交汇问题 14 第四部分：新定义题 15 第一部分：基础知识 1、基线 在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 2、仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 3、方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角的范围是. 4、方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)， 例：(1)北偏东：(2)南偏西： 5、坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即. 第二部分：高考真题回顾 1．（2021·全国·乙卷理）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（    ） A．表高 B．表高 C．表距 D．表距 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：测量距离问题 典型例题 例题1．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）第九届中国国际“互联网＋”大学生创业大赛于2023年10月16日至21日在天津举办，天津市以此为契机，加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设．如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D．已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20km，基站A，B在河的北岸，测得，，，，则A，B两个基站的距离为（    ） A．km B．km C．15km D．km 例题2．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东方向上，距离为n mile；在处看灯塔在货轮的北偏西方向上，距离．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东方向上，处与处之间的距离是 n mile，灯塔与处之间的距离是 n mile． 例题3．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿匀速步行，速度为，在甲出发后，乙从A乘缆车到B，在B处停留后，再匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量得，．    (1)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (2)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 练透核心考点 1．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）某次军事演习中，炮台向北偏东方向发射炮弹，炮台向北偏西方向发射炮弹，两炮台均命中外的同一目标，则两炮台在东西方向上的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）如图，要测量河对岸C，D两点间的距离，在河边一侧选定观测点A，B，并测得A，B间的距离为m，，，，，则C，D两点间的距离为多少？ 3．（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图是在沿海海面上相距海里的两个哨所，位于的正南方向.哨所在凌晨1点发现其南偏东方向处有一艘走私船，同时，哨所也发现走私船在其东北方向上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于点南偏西的点，且与相距海里，试求：    (1)刚发现走私船时，走私船与哨所的距离； (2)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度？ (3)若缉私艇得知走私船以海里/时的速度从向北偏东方向逃窜，立即以30海里/时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？ 4．（23-24高一下·四川资阳·阶段练习）如图，某公园有三条观光大道围成直角三角形，其中直角边，斜边．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在大道上嬉戏， (1)若甲、乙都以每分钟的速度同时从点出发在各自的大道上奔走，甲出发3分钟后到达，乙出发1分钟后到达，求此时甲、乙两人之间的距离； (2)甲、乙、丙所在位置分别记为点．设，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且，请将甲、乙之间的距离表示为的函数，并求甲、乙之间的最小距离． 5． （23-24高一下·上海·阶段练习）海上某货轮在处看灯塔在货轮的北偏东，距离为海里；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为海里；货轮向正北由处行驶到处时，若灯塔在南偏东的方向上，则灯塔与处之间的距离为多少海里？ 高频考点二：测量高度问题 典型例题 例题1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（    ） A．64m B．74m C．52m D．91m 例题2．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度 .                                                     例题3．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑．其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为 米．    例题4．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）郑州市中原福塔的塔座为鼎，寓意为鼎立中原，从上空俯瞰如一朵盛开的梅花，寓意花开五福，福泽中原，它是美学与建筑的完美融合.绿地中心千玺广场“大玉米”号称中原第一高楼，璀璨繁华的外表下包含浓郁的易学设计理念，流露出馥郁的古香.这两座塔都彰显了中华文化丰富的内涵与深厚的底蕴.小米同学积极开展数学研究性学习，用以下方法测量两座塔的高度. (1)为测量中原福塔高度，小米选择视野开阔的航海东路上一条水平基线，使共线，在三点用测角仪测得的仰角分别为，其中测角仪的高度为米，为了测量距离，小米骑共享单车，速度为，从到耗时，从到耗时为原来的倍，求塔高.（参考数据：取，）    (2)为测量千玺广场“大玉米”高度，小米选择一条水平基线，使三点共线，在两点用测角仪测得的仰角分别为，，在处测得的仰角为，测角仪高度忽略不计.小米使用智能手机运动测距功能，从河南艺术中心音乐厅入口台阶处运动到水景露天剧场的处，测得距离.    ①试用，，，表示塔高； ②若，，，米，求千玺广场“大玉米”的实际高度. （参考数据：取，，） 练透核心考点 1．（23-24高一下·广西·开学考试）桂林日月塔又称金塔银塔､情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称.如图1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底的同一水平面上的两点处进行测量，如图2.已知在处测得塔顶的仰角为60°，在处测得塔顶的仰角为45°，米，，则该塔的高度（    ） A．米 B．米 C．50米 D．米 2．（2024·湖南岳阳·二模）岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度，他首先在处，测得楼顶的仰角为，然后沿方向行走22.5米至处，又测得楼顶的仰角为，则楼高为 米． 3．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．如图：在解放碑的水平地面上的点处测得其顶点的仰角为､点处测得其顶点的仰角为，若米，且，则解放碑的高度 米． 4．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）热气球是利用加热的空气或某些气体，比如氢气或氦气的密度低于气球外的空气密度以产生浮力飞行.热气球主要通过自带的机载加热器来调整气囊中空气的温度，从而达到控制气球升降的目的.其工作的基本原理是热胀冷缩.当空气受热膨胀后，比重会变轻而向上升起.除娱乐作用外还可用于测量.如图，在离地面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，求山的高度. 高频考点三：测量角度问题 典型例题 例题1．（23-24高三上·山东泰安·阶段练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点处，测得仰角为.则（    ） A． B．3 C． D． 例题2．（22-23高一下·河南商丘·阶段练习）位于灯塔处正西方向相距海里的处有一艘甲船燃油耗尽，需要海上加油．位于灯塔处北偏东30°方向有一艘乙船（在处），乙船与甲船（在处）相距海里，乙船为了尽快给甲船进行海上加油，则乙船航行的最佳方向是（    ） A．西偏南15° B．西偏南30° C．南偏西45° D．南偏西65° 例题3．（22-23高三上·安徽·阶段练习）某人从山的一侧点看山顶的仰角为，然后沿从到山顶的直线小道行走到达山顶，然后从山顶沿下山的直线小道行走到达另一侧的山脚处在同一水平面内，山顶宽度忽略不计），则其从点看山顶的仰角的正弦值为 ，的最大值为 ． 例题4．（22-23高一下·浙江·期中）如图，A，B是某海城位于南北方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点南偏东的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距100海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为80海里/时. (1)求B，C两点间的距离； (2)该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数据：，角度精确到0.01） 练透核心考点 1．（22-23高一下·湖北武汉·阶段练习）已知甲船在海岛的正南A处，海里，甲船以每小时4海里的速度向正北航行，同时乙船自海岛出发以每小时6海里的速度向北偏东60°的方向驶去，当航行一小时后，甲船在乙船的（    ） A．北偏东30°方向 B．北偏东15°方向 C．南偏西30°方向 D．南偏西15°方向 2．（22-23高一下·云南曲靖·阶段练习）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了△ABD，测得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高一下·贵州黔东南·期中）如图，某运动员从市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在市南偏东方向距市的处有一艘小艇，小艇与海岸距离为，若小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.    (1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？ (2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角. 4．（20-21高二上·广东东莞·期末）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广表平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰为37°，测得基站顶端A的仰角为45°. (1)求出山高BE（结果保留整数）； (2)如图（第二幅），当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离CD=xm，且记在C处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为β.试问当x多大时，观测基站的视角∠ACB最大？ 参考数据:. 高频考点四：求平面几何问题 典型例题 例题1．（22-23高一下·江苏镇江·阶段练习）如图，平面四边形A､B､C､D，己知，，，，则A､B两点的距离是（    ）    A． B． C． D． 例题2．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图，已知在平面四边形中，，，． (1)若该四边形存在外接圆，且，求； (2)若，求． 例题3．（23-24高三上·浙江杭州·期中）已知四边形内接于，若，，． (1)求线段的长． (2)若，求的取值范围． 练透核心考点 1．（2023高三上·全国·专题练习）如图，在平面四边形中，．记的面积为，的面积为．，则S的最大值为 ． 2．（23-24高三上·广东汕头·期中）在凸四边形中，对角线交于点，且. (1)若，求的余弦值； (2)若，求边的长. 3．（2023·河南·模拟预测）如图，在四边形中，的面积为．    (1)求； (2)证明：． 高频考点五：三角函数与解三角形的交汇问题 典型例题 例题1．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数． (1)若方程在上有2个不同的实数根，求实数m的取值范围； (2)在中，若，内角A的角平分线，，求AC的长度． 例题2．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）的内角所对的边分别为，且 (1)若，求在上的投影向量；（用向量表示） (2)若，，为的平分线，为中线，求的值. 练透核心考点 1．（23-24高一下·广东湛江·阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)在中，、、分别是角、、的对边长，若，，的面积为，求的值. 2．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求函数的单调递增区间； (2)若的内角的对边分别为，且，求面积的最大值. 第四部分：新定义题 1．（23-24高一下·福建三明·阶段练习）定义非零向量的（相伴函数）为，向量称为函数的“相伴向量”（ 其中为坐标原点） (1)求的相伴向量； (2)求（1）中函数的“相伴向量”模的取值范围； (3)已知点，其中为锐角中角的对边．若角为，且向量的“相伴函数”在处取得最大值．求的取值范围． 2．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． (1)若向量的“伴随函数”为，求在的值域； (2)若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值； (3)在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 正弦定理和余弦定理的应用 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高考真题回顾 2 第三部分：高频考点一遍过 3 高频考点一：测量距离问题 3 高频考点二：测量高度问题 10 高频考点三：测量角度问题 17 高频考点四：求平面几何问题 24 高频考点五：三角函数与解三角形的交汇问题 30 第四部分：新定义题 34 第一部分：基础知识 1、基线 在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 2、仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 3、方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角的范围是. 4、方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)， 例：(1)北偏东：(2)南偏西： 5、坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即. 第二部分：高考真题回顾 1．（2021·全国·乙卷理）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（    ） A．表高 B．表高 C．表距 D．表距 【答案】A 【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出． 【详解】如图所示： 由平面相似可知，，而 ，所以 ，而 ， 即＝ ． 故选：A. 【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出． 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：测量距离问题 典型例题 例题1．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）第九届中国国际“互联网＋”大学生创业大赛于2023年10月16日至21日在天津举办，天津市以此为契机，加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设．如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D．已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20km，基站A，B在河的北岸，测得，，，，则A，B两个基站的距离为（    ） A．km B．km C．15km D．km 【答案】A 【分析】首先求得，在中，运用正弦定理求得，进一步求得，由此在中利用余弦定理即可求解. 【详解】在中，， 由正弦定理得， ， 在中，易知，， 所以，所以， 由余弦定理得． 故选：A. 例题2．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东方向上，距离为n mile；在处看灯塔在货轮的北偏西方向上，距离．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东方向上，处与处之间的距离是 n mile，灯塔与处之间的距离是 n mile． 【答案】 【分析】中，根据正弦定理，即可求解；中，根据余弦定理，即可求解. 【详解】中，由已知得，，所以， 由正弦定理得 所以与之间的距离为； 中，，由余弦定理，得 ， ， 所以灯塔与处之间的距离为. 故答案为：24， 例题3．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿匀速步行，速度为，在甲出发后，乙从A乘缆车到B，在B处停留后，再匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量得，．    (1)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (2)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得，然后由正弦定理求得，假设乙出发后，甲、乙两游客距离为，利用余弦定理列方程，结合二次函数的性质求得的最小值. （2）根据“两位游客在C处互相等待的时间不超过3min”列不等式，由此求得乙步行的速度的范围. 【详解】（1）由题意，，且为钝角、为锐角， 所以，， 在中， 由正弦定理，可得，解得. 所以索道的长为， 假设乙出发后（乙在缆车上），甲、乙两游客距离为， 此时甲行走了，乙距离处， 由余弦定理得 ， 因为，即， 又函数的对称轴为，开口向上， 所以当时，甲、乙两游客之间距离最短. （2）在中由正弦定理， 解得， 乙从出发时，甲已走了，还需要走才能到达， 设乙步行的速度为， 由题意得，解得， 所以为了使两位游客在处互相等待的时间不超过， 乙步行的速度应控制在（单位：）范围之内. 练透核心考点 1．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）某次军事演习中，炮台向北偏东方向发射炮弹，炮台向北偏西方向发射炮弹，两炮台均命中外的同一目标，则两炮台在东西方向上的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据题意先求得之间在南北方向上的距离，继而可求得两炮台在东西方向上的距离. 【详解】法一：由题意得，在北偏西方向上， 之间在南北方向上的距离为， 则在东西方向上的距离为， 其中，    因此， 法二：过炮台点作东西方向的水平线交正北方向分别为点， 则由图知. 故选：A.    2．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）如图，要测量河对岸C，D两点间的距离，在河边一侧选定观测点A，B，并测得A，B间的距离为m，，，，，则C，D两点间的距离为多少？ 【答案】 【分析】在中求出，在中求出，在中，利用余弦定理求解. 【详解】在中，， 在中，， 由正弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理可得： ， 解得. 3．（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图是在沿海海面上相距海里的两个哨所，位于的正南方向.哨所在凌晨1点发现其南偏东方向处有一艘走私船，同时，哨所也发现走私船在其东北方向上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于点南偏西的点，且与相距海里，试求：    (1)刚发现走私船时，走私船与哨所的距离； (2)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度？ (3)若缉私艇得知走私船以海里/时的速度从向北偏东方向逃窜，立即以30海里/时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？ 【答案】(1) (2)走私船距缉私艇30海里，在缉私艇的北偏东方向上 (3)小时 【分析】（1）在中根据正弦定理可得结果； （2）在中根据余弦定理可得结果； （3）在中由余弦定理可得结果. 【详解】（1）由在的南偏东，在的东北偏方向，在中， ，由正弦定理得， ， 代入上式得：海里． 答：走私船与观测点的距离为海里； （2）在中，海里，海里，， ． ， ，解得海里， 又， 且，所以， 故刚发现走私船时，走私船距缉私艇30海里，在缉私艇的北偏东方向上． （3）设小时后缉私艇在处追上走私船，则， 又，， 在中，由余弦定理得， ，化简得 解得．故缉私艇至少需要小时追上走私船．    4．（23-24高一下·四川资阳·阶段练习）如图，某公园有三条观光大道围成直角三角形，其中直角边，斜边．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在大道上嬉戏， (1)若甲、乙都以每分钟的速度同时从点出发在各自的大道上奔走，甲出发3分钟后到达，乙出发1分钟后到达，求此时甲、乙两人之间的距离； (2)甲、乙、丙所在位置分别记为点．设，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且，请将甲、乙之间的距离表示为的函数，并求甲、乙之间的最小距离． 【答案】(1)； (2)；. 【分析】（1）根据题意，得到和的长，在中，利用余弦定理，即可求得甲乙两人之间的距离； （2）再中，由正弦定理可得，可将甲乙之间的距离表示为的函数，进而求得甲乙之间的最小距离． 【详解】（1）解：由题意，可得， 在直角中，可得，因为，所以， 在中，由余弦定理得 =，所以， 答：甲、乙两人之间的距离为． （2）解：由题意，可得且， 在直角中，可得 在中，由正弦定理得，即， 所以，所以当时，有最小值 答：甲、乙之间的最小距离为． 5．（23-24高一下·上海·阶段练习）海上某货轮在处看灯塔在货轮的北偏东，距离为海里；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为海里；货轮向正北由处行驶到处时，若灯塔在南偏东的方向上，则灯塔与处之间的距离为多少海里？ 【答案】. 【分析】 根据题意画出图形，利用正弦定理求出，再由余弦定理即可求得. 【详解】 在中， ， 由正弦定理得，则，即， 在中，，由余弦定理得， 因此，解得， 所以灯塔与处之间的距离为海里. 高频考点二：测量高度问题 典型例题 例题1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（    ） A．64m B．74m C．52m D．91m 【答案】B 【分析】首先在中求，再在中，求角，并利用正弦定理求，最后中，即可求解. 【详解】因为中，，，， 所以， 因为中，，， 所以， 由题意，，， 则， 在中，由正弦定理得，即， 故， 故. 故选：B 例题2．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度 .                                                     【答案】 【分析】在中利用正弦定理求出，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】由题可得，，，则. 则在中，由正弦定理，有. 又在中， 所以，则. 故答案为：. 例题3．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑．其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为 米．    【答案】 【分析】在中，利用正弦定理，得，再结合三角函数的定义，求得，，得解． 【详解】由题意知，，， 所以， 在中，， 且 在中，由正弦定理得，， 所以， 在中，米， 所以小明估算索菲亚教堂的高度为米． 故答案为：． 例题4．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）郑州市中原福塔的塔座为鼎，寓意为鼎立中原，从上空俯瞰如一朵盛开的梅花，寓意花开五福，福泽中原，它是美学与建筑的完美融合.绿地中心千玺广场“大玉米”号称中原第一高楼，璀璨繁华的外表下包含浓郁的易学设计理念，流露出馥郁的古香.这两座塔都彰显了中华文化丰富的内涵与深厚的底蕴.小米同学积极开展数学研究性学习，用以下方法测量两座塔的高度. (1)为测量中原福塔高度，小米选择视野开阔的航海东路上一条水平基线，使共线，在三点用测角仪测得的仰角分别为，其中测角仪的高度为米，为了测量距离，小米骑共享单车，速度为，从到耗时，从到耗时为原来的倍，求塔高.（参考数据：取，）    (2)为测量千玺广场“大玉米”高度，小米选择一条水平基线，使三点共线，在两点用测角仪测得的仰角分别为，，在处测得的仰角为，测角仪高度忽略不计.小米使用智能手机运动测距功能，从河南艺术中心音乐厅入口台阶处运动到水景露天剧场的处，测得距离.    ①试用，，，表示塔高； ②若，，，米，求千玺广场“大玉米”的实际高度. （参考数据：取，，） 【答案】(1)388米； (2)①；②280米 【分析】（1）设，，分别用来表示，利用得与的关系，进而用速度与时间关系求得，从而可得塔高； （2）①在中，，由正弦定理求得，在直角中，利用求解即可. ②将，，，代入计算即可. 【详解】（1）设，， 则由得， 又到耗时为原来的倍，即， 在中，， 在中，, 由 由题， 故 所以（米） （2）①在中，， 由正弦定理得：， 在直角中，. ②（米） 【点睛】思路点睛：在解决测量相关应用题时．需要注意的是，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他的条件．这些条件往往隐含着相应的解决方法，进而利用这些条件应用正弦定理和余弦定理计算即可. 练透核心考点 1．（23-24高一下·广西·开学考试）桂林日月塔又称金塔银塔､情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称.如图1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底的同一水平面上的两点处进行测量，如图2.已知在处测得塔顶的仰角为60°，在处测得塔顶的仰角为45°，米，，则该塔的高度（    ） A．米 B．米 C．50米 D．米 【答案】B 【分析】利用仰角的定义及锐角三角函数，结合余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知，,, 设米，则 在中，米， 在中，米. 由余弦定理可得，即，解得. 因为米，所以米. 故选：B. 2．（2024·湖南岳阳·二模）岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度，他首先在处，测得楼顶的仰角为，然后沿方向行走22.5米至处，又测得楼顶的仰角为，则楼高为 米． 【答案】 【分析】在中，用表示，在中，用表示，根据的长，可求解. 【详解】中，，，， 中，，，， 因为米，所以， 解得： 故答案为： 3．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．如图：在解放碑的水平地面上的点处测得其顶点的仰角为､点处测得其顶点的仰角为，若米，且，则解放碑的高度 米． 【答案】/ 【分析】设，由直角三角形三角函数定义可得，再在中利用余弦定理可解. 【详解】设，则， 在中：，则 得到米. 故答案为： 4．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）热气球是利用加热的空气或某些气体，比如氢气或氦气的密度低于气球外的空气密度以产生浮力飞行.热气球主要通过自带的机载加热器来调整气囊中空气的温度，从而达到控制气球升降的目的.其工作的基本原理是热胀冷缩.当空气受热膨胀后，比重会变轻而向上升起.除娱乐作用外还可用于测量.如图，在离地面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，求山的高度. 【答案】 【分析】先根据已知条件求解出的大小，然后在中利用正弦定理求解出，再根据的关系求解出. 【详解】因为，，， 所以， 所以， 又因为，所以， 又在中由正弦定理，即， 所以， 所以. 高频考点三：测量角度问题 典型例题 例题1．（23-24高三上·山东泰安·阶段练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点处，测得仰角为.则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】画出相应图形后计算出点到该楼的距离，结合勾股定理与正弦定义计算即可得. 【详解】如图所示，由题意有，， 则有，故， 则， 故， 则. 故选：A. 例题2．（22-23高一下·河南商丘·阶段练习）位于灯塔处正西方向相距海里的处有一艘甲船燃油耗尽，需要海上加油．位于灯塔处北偏东30°方向有一艘乙船（在处），乙船与甲船（在处）相距海里，乙船为了尽快给甲船进行海上加油，则乙船航行的最佳方向是（    ） A．西偏南15° B．西偏南30° C．南偏西45° D．南偏西65° 【答案】A 【分析】运用正弦定理求出即可. 【详解】如图，    ，由正弦定理得， 解得．因为，所以，因为， 所以乙船航行的最佳方向为西偏南. 故选：A. 例题3．（22-23高三上·安徽·阶段练习）某人从山的一侧点看山顶的仰角为，然后沿从到山顶的直线小道行走到达山顶，然后从山顶沿下山的直线小道行走到达另一侧的山脚处在同一水平面内，山顶宽度忽略不计），则其从点看山顶的仰角的正弦值为 ，的最大值为 ． 【答案】 /0.75 【分析】由题意，作图，根据三角函数的定义以及图形关系，可得答案. 【详解】由题意，设山顶为点，过点作垂直与所在的水平面，如下图所示： 则，，， 在中，，； 在中，，易知为从点看山顶的仰角，即从点看山顶的仰角的正弦值为； 在中，， 由图可知，，当且仅当时等号成立，故的最大值为. 故答案为：；. 例题4．（22-23高一下·浙江·期中）如图，A，B是某海城位于南北方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点南偏东的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距100海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为80海里/时. (1)求B，C两点间的距离； (2)该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数据：，角度精确到0.01） 【答案】(1)60海里 (2)方向是南偏东，需要的时间为小时. 【分析】（1）求得度数，根据正弦定理即可求得答案； （2）确定的度数，由余弦定理即可求得的长，即可求得救援时间，利用余弦定理求出的值，即可求得应该沿南偏东多少度的方向航行. 【详解】（1）依题意得，， 所以， 在中，由正弦定理得, , 故（海里）， 所以求两点间的距离为60海里. （2）依题意得， 在中，由余弦定理得， 所以（海里）， 所以救搜船到达C处需要的时间为小时， 在中，由余弦定理得 , 因为， 所以， 所以该救援船前往营救渔船时的方向是南偏东﹒ 练透核心考点 1．（22-23高一下·湖北武汉·阶段练习）已知甲船在海岛的正南A处，海里，甲船以每小时4海里的速度向正北航行，同时乙船自海岛出发以每小时6海里的速度向北偏东60°的方向驶去，当航行一小时后，甲船在乙船的（    ） A．北偏东30°方向 B．北偏东15°方向 C．南偏西30°方向 D．南偏西15°方向 【答案】C 【分析】结合题意画出相应图形，即可得答案. 【详解】由题，1小时后，甲船来到C处，则，则.又由题可知，此时，乙船来到D处，，结合BD是北偏东60°方向，则.又，则，即此时乙在甲的北偏东30°方向，甲在乙的南偏西30°方向. 故选：C    2．（22-23高一下·云南曲靖·阶段练习）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了△ABD，测得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，由余弦定理得，进而求出，再在中，利用正弦定理得解. 【详解】由题意，在中，由余弦定理得； 因为，所以， 在中，由正弦定理所以， 解得. 故选：D 3．（21-22高一下·贵州黔东南·期中）如图，某运动员从市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在市南偏东方向距市的处有一艘小艇，小艇与海岸距离为，若小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.    (1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？ (2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设小艇以每小时的速度从处出发，沿方向行驶，小时后与运动员在处相遇，利用余弦定理求出关于的函数，根据二次函数知识可求出的最小值； （2）由正弦定理可求出结果. 【详解】（1）如图，设小艇以每小时的速度从处出发，沿方向行驶，小时后与运动员在处相遇，    在中，，故 由余弦定理求得， 则， 整理得， 当时，即时，，故. 即小艇至少以每小时的速度从处出发才能追上运动员. （2）当小艇以每小时的速度从处出发， 经过时间小时追上运动员， 故， 又，由正弦定理得，解得， 故. 即小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角为. 4．（20-21高二上·广东东莞·期末）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广表平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰为37°，测得基站顶端A的仰角为45°. (1)求出山高BE（结果保留整数）； (2)如图（第二幅），当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离CD=xm，且记在C处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为β.试问当x多大时，观测基站的视角∠ACB最大？ 参考数据:. 【答案】(1) (2)，∠ACB最大 【分析】（1）在中，利用正弦定理求出，再在中，求出即可； （2）易得，分别在在和在中，求出，再根据两角和的正切公式结合基本不等式求出取得最大值时，的值，再根据正切函数的单调性即可得解. 【详解】（1）由题意可知，， 在中，， 所以， 在中，， 所以出山高； （2）由题意知，且， 则， 在中，， 在中，， 则 ， 当且仅当，即时，取等号， 所以取得最大值时，， 又因为，所以此时最大， 所以当时，最大. 高频考点四：求平面几何问题 典型例题 例题1．（22-23高一下·江苏镇江·阶段练习）如图，平面四边形A､B､C､D，己知，，，，则A､B两点的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正余弦定理计算即可. 【详解】由题意可知在中，有，， ，所以， 由正弦定理可得， 而， 故， 又， 在中，， 由正弦定理可得， 在中， 由余弦定理可得. 故选：B 例题2．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图，已知在平面四边形中，，，． (1)若该四边形存在外接圆，且，求； (2)若，求． 【答案】(1)； (2) 【分析】 （1）根据外接圆得到，在中，有余弦定理得，在中，利用余弦定理求出； （2）设，则，由正弦定理得到方程组，求出，由正弦定理求出答案. 【详解】（1） 因为四边形存在外接圆，则， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 解得； （2） 设，则， 分别在、中用正弦定理可得 ，则， ，则， ，则或（舍）， 故. 例题3．（23-24高三上·浙江杭州·期中）已知四边形内接于，若，，． (1)求线段的长． (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】 （1）根据余弦定理即可求解， （2）根据余弦定理得，进而根据基本不等式即可求解. 【详解】（1） 由题知，，所以， 根据余弦定理，， 即，． 所以，所以． 所以． （2） 因为 所以，所以（当且仅当时取等号） 又, 所以． 练透核心考点 1．（2023高三上·全国·专题练习）如图，在平面四边形中，．记的面积为，的面积为．，则S的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】利用余弦定理表示出，可得到，结合同角三角函数平方关系，代入三角形面积公式中，可得的表达式，由二次函数性质可求得最大值. 【详解】在和中，由余弦定理有 ， 则，． ， 当时，S取得最大值． 故答案为：. 2．（23-24高三上·广东汕头·期中）在凸四边形中，对角线交于点，且. (1)若，求的余弦值； (2)若，求边的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，在与中，分别利用余弦定理建立方程求解，然后在中由余弦定理求解； （2）在中由正弦定理得，从而求得，进一步利用直角三角形的性质得，，在中由余弦定理求解即可. 【详解】（1）因为，所以，设， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以，解得，所以， 在中，由余弦定理得； （2）在中，由正弦定理得， 所以，又为三角形的内角，所以， 所以，，且， 所以，又， 在中，由余弦定理得 ，所以. 3．（2023·河南·模拟预测）如图，在四边形中，的面积为．    (1)求； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，根据面积得到方程，求出，在中，利用余弦定理求出，进而求出，从而求出的值； （2）在中，由正弦定理得，结合（1）中，由角的范围得到. 【详解】（1）设， 因为的面积为， 所以，解得， 所以． 在中，由余弦定理得， 所以． 在中，，所以， 所以； （2）由（1）可得， 在中，由正弦定理得， 所以，且． 由（1）可得，又， 所以． 高频考点五：三角函数与解三角形的交汇问题 典型例题 例题1．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数． (1)若方程在上有2个不同的实数根，求实数m的取值范围； (2)在中，若，内角A的角平分线，，求AC的长度． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用诱导公式、辅助角公式化简函数，再探讨在上的性质，画出图象，数形结合求解作答. （2）由（1）求出B，由正弦定理求出，进而求出，再利用等腰三角形性质求解作答. 【详解】（1）依题意， ， 当时，，则当时，单调递增，函数值从增大到2， 当时，单调递减，函数值从减小到， 方程在上有2个不同的实数根，即直线与函数在的图象有两个公共点， 在同一坐标系内作出直线与函数在的图象，如图，    观察图象，当时，直线与函数在的图象有两个公共点， 所以实数m的取值范围是. （2）由（1）知，，即， 在中，，即，则，解得，    在中，，，由正弦定理得， 则，显然，有， 于是，即有，则，是等腰三角形， 所以. 例题2．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）的内角所对的边分别为，且 (1)若，求在上的投影向量；（用向量表示） (2)若，，为的平分线，为中线，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由化简解得，再结合用正弦定理可得，进而求在上的投影向量即可； （2）先用三角形面积公式求，再利用求得，又为中线，所以由求得，从而计算的值. 【详解】（1） ，解得，又，故. 因为在中，，而，即， 所以投影向量为. （2）， 由可得 ， ， 所以. 练透核心考点 1．（23-24高一下·广东湛江·阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)在中，、、分别是角、、的对边长，若，，的面积为，求的值. 【答案】(1)最小正周期为，递增区间为, (2) 【分析】（1）利用二倍角的正弦、余弦公式及辅助角公式化简函数，即可求解； （2）根据题意和角的范围求出角，再由三角形面积公式求出，最后利用余弦定理求解. 【详解】（1） ， 即，故最小正周期为， 令， 故，递增区间为,. （2）由得， 因为，故，故. 又，故. 故，故 2．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求函数的单调递增区间； (2)若的内角的对边分别为，且，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用三角公式变形，然后利用正弦函数的性质求单调区间； （2）先通过求出，然后利用正弦定理用角表示边，再利用面积公式，将其中的边化角后利用三角公式变形，再利用正弦函数的性质求最值. 【详解】（1）由已知 ， 又的图象上相邻两条对称轴之间的距离为， 所以，解得， 所以， 令， 解得， 即函数的单调递增区间为； （2）因为， 所以， 又，所以， 所以，得， 由正弦定理，得， 所以 ， 因为，所以， 所以当，即时面积的最大为. 第四部分：新定义题 1．（23-24高一下·福建三明·阶段练习）定义非零向量的（相伴函数）为，向量称为函数的“相伴向量”（ 其中为坐标原点） (1)求的相伴向量； (2)求（1）中函数的“相伴向量”模的取值范围； (3)已知点，其中为锐角中角的对边．若角为，且向量的“相伴函数”在处取得最大值．求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合定义，将原函数化为型即可得； （2）借助三角恒等变换与正弦函数的值域计算即可得； （3）借助辅助角公式，可得，结合正弦定理可得与正切函数性质可得的范围，即可得的范围. 【详解】（1）， 函数的相伴向量， （2）， ，， 的取值范围为； （3）的相伴函数， 其中，， 在处取得最大值， 所以，，即，， ，    ， 因为， 又因为，所以， 所以，所以，令，，， 又在 上单调递增，所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于借助“相伴函数”定义及辅助角公式求出，其中，，则可通过计算的范围得到的范围. 2．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． (1)若向量的“伴随函数”为，求在的值域； (2)若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值； (3)在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据“伴随函数”定义可得，可得值域； （2）利用向量的坐标运算即可求得； （3）由余弦定理并利用二次函数性质即可得的取值范围. 【详解】（1）函数的“源向量”为， 所以，， 则，则当时， 则当时，， 所以函数的值域为 （2）因为，则，则， 又，所以）， 且，从而， ， 则 ； 因此可得为定值. （3）如下图所示： 函数的“源向量”为， 则，则 则 则又， 即， 所以， 因为，即，当且仅当时取等号， 又因为当顶点无限接近顶点，边无限接近0，即无限接近0， 综上所述， 令，则 从而，其中， 所以， 即的取值范围． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“源向量”和“伴随函数”的定义，并能写出“源向量”的伴随函数以及某函数的“源向量”，再根据三角函数性质、平面向量运算法则求得结果. 学科网（北京）股份有限公司 $$