第05讲正弦定理和余弦定理的应用(含新定义解答题）(分层精练）-【高考新结构一轮复习】备战2025年高考数学一轮复习精讲精练（知识·题型·分层练，新高考专用）

第05讲 正弦定理和余弦定理的应用 (分层精练） A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题） A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）我国辽代著名的前卫斜塔（又名瑞州古塔）位于葫芦岛市绥中县.现存塔身已经倾斜且与地面夹角60°，若将塔身看做直线，从塔的第三层地面到第三层顶可看做线段，且在地面的射影为1m，则该塔第三层地面到第三层顶的距离是（    ） A． B． C． D．2m 2．（23-24高三上·山东聊城·阶段练习）泰姬陵于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史.如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物，高约为，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得A处、泰姬陵顶端处的仰角分别是和，在A处测得泰姬陵顶端处的仰角为，则估算泰姬陵的高度为（    ）      A． B． C． D． 3．（21-22高一·全国·课后作业）某人在山外一点测得山顶的仰角为42°，沿水平面退后30米，又测得山顶的仰角为39°，则山高为（ ）(sin42°≈0.6691，sin39°≈0.6293，sin3°≈0.0523) A．180米 B．214米 C．242米 D．266米 4．（22-23高一下·河北邯郸·期末）武灵丛台位于邯郸市丛台公园中心处，为园内的主体建筑，是邯郸古城的象征.某校数学兴趣小组为了测量其高度，在地面上共线的三点，，处分别测得点的仰角为，，，且，则武灵丛台的高度约为（    ） （参考数据：）    A．22m B．27m C．30m D．33m 5．（22-23高一下·河南信阳·阶段练习）青岛五四广场主题钢雕塑（如图1）以单纯简练的造型元素排列组合成旋转腾空的“风”，通体火红，害意五四运动是点燃新民主主义革命的“火种”及青岛与五四运动的渊源．某中学数学兴趣小组为了估算该钢雕塑的高度，选取了与钢雕塑底部在同一水平面上的两点（如图2），在点和点测得钢雕塑顶端点的仰角分别为和，测得米，，则钢雕塑的高度为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 6．（23-24高一下·重庆·阶段练习）碧津塔是著名景点·某同学为了浏量碧津塔的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为，再沿方向前进24.4米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为，塔底点E的仰角为，那么碧津塔高约为（，）（    ） A．37.54 B．38.23 C．39.53 D．40.52 7．（23-24高一下·山东·阶段练习）某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠穆朗玛峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度．该兴趣小组运用这一方法测量学校旗杆的高度，已知该旗杆（C在水平面）垂直于水平面，水平面上两点的距离为，测得，其中，在点处测得旗杆顶点的仰角为，则该旗杆的高度为（单位：）（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 8．（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底，在水平地面上，来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.测得，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为（    ）（，精确到） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·河南·阶段练习）初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则（    ）    A．舰艇所需的时间为1小时 B．舰艇所需的时间为2小时 C． D． 10．（20-21高一下·湖北荆州·阶段练习）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东75°，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西30°，距离．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东60°，则下列说法正确的是（    ） A．处与处之间的距离是； B．灯塔与处之间的距离是； C．灯塔在处的西偏南60°； D．在灯塔的北偏西30°． 三、填空题 11．（23-24高一下·河南·阶段练习）石家庄电视塔坐落于石家庄世纪公园内，为全钢构架.电视塔以“宝石”为创造母体，上､下塔楼由九层塔身相连接，寓意登九天，象征丰厚的古文明孕育出灿烂的现代文明.如图，选取了与石家庄电视塔塔底在同一平面内的三个测量基点，且在处测得该塔顶点的仰角分别为，米，则石家庄电视塔的塔高为 米. 12．（23-24高一下·山西大同·阶段练习）如图，用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔的塔高，无人机的航线与塔在同一铅直平面内，无人机飞行的海拔高度为，在处测得塔底（即小山的最高处）的俯角为，塔顶的俯角为，向山顶方向沿水平线飞行到达处时，测得塔底的俯角为，则该座小山的海拔为 ；古塔的塔高为 ． 四、解答题 13．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处的C处的缉私船奉命以的速度追截走私船.此时，走私船正以的速度从B处向北偏东30°方向逃窜. (1)求线段的长度； (2)求的大小； (3)问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船?最快需要多长时间?参考数值：， 14．（23-24高二下·云南·开学考试）如图，为了测量某塔的高度，无人机在与塔底B位于同一水平面的C点测得塔顶A的仰角为45°，无人机沿着仰角α（）的方向靠近塔，飞行了m后到达D点，在D点测得塔顶A的仰角为26°，塔底B的俯角为45°，且A，B，C，D四点在同一平面上，求该塔的高度．（参考数据:取 tan 26°=，cos 56°=）    B能力提升 1．（20-21高二下·四川成都·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为．设和的夹角为θ（），则（    ）．    A．当船的航行时间最短时， B．当船的航行距离最短时， C．当时，船的航行时间为12分钟 D．当时，船的航行距离为 3．（23-24高三上·山东青岛·开学考试）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”，若要测量如图所示某蓝洞口边缘，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得海里，，，，则，两点的距离为 海里.    C综合素养（新定义解答题） 1．（22-23高一下·广东韶关·期末）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小."意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.已知中内角所对的边分别为，且. (1)求角A的值； (2)若点为的费马点，，求实数的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 正弦定理和余弦定理的应用 (分层精练） A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题） A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）我国辽代著名的前卫斜塔（又名瑞州古塔）位于葫芦岛市绥中县.现存塔身已经倾斜且与地面夹角60°，若将塔身看做直线，从塔的第三层地面到第三层顶可看做线段，且在地面的射影为1m，则该塔第三层地面到第三层顶的距离是（    ） A． B． C． D．2m 【答案】D 【分析】 应用特殊三角函数值及已知、线段间的关系求该塔第三层地面到第三层顶的距离. 【详解】由题设，如下图中该塔第三层地面到第三层顶的距离.    故选：D 2．（23-24高三上·山东聊城·阶段练习）泰姬陵于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史.如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物，高约为，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得A处、泰姬陵顶端处的仰角分别是和，在A处测得泰姬陵顶端处的仰角为，则估算泰姬陵的高度为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，得到各角度及，在中利用正弦定理得到，进而得到. 【详解】由题设且， 过点作平行于，则，，      故， 所以，， 在中，由勾股定理可得， 在中，由正弦定理得，，即， 所以，故. 故选：A 3．（21-22高一·全国·课后作业）某人在山外一点测得山顶的仰角为42°，沿水平面退后30米，又测得山顶的仰角为39°，则山高为（ ）(sin42°≈0.6691，sin39°≈0.6293，sin3°≈0.0523) A．180米 B．214米 C．242米 D．266米 【答案】C 【分析】利用正弦定理求得，进而求得，也即是求得山高. 【详解】依题意，如图所示，，则， 在三角形中，， 由正弦定理得，所以. 在中，米. 故选：C    4．（22-23高一下·河北邯郸·期末）武灵丛台位于邯郸市丛台公园中心处，为园内的主体建筑，是邯郸古城的象征.某校数学兴趣小组为了测量其高度，在地面上共线的三点，，处分别测得点的仰角为，，，且，则武灵丛台的高度约为（    ） （参考数据：）    A．22m B．27m C．30m D．33m 【答案】B 【分析】设，求出，利用余弦定理在和中，表示出和，两者相等即可解出答案. 【详解】由题知，设， 则，，， 又， 所以在中，，① 在中，，② 联立①②，解得. 故选：B 5．（22-23高一下·河南信阳·阶段练习）青岛五四广场主题钢雕塑（如图1）以单纯简练的造型元素排列组合成旋转腾空的“风”，通体火红，害意五四运动是点燃新民主主义革命的“火种”及青岛与五四运动的渊源．某中学数学兴趣小组为了估算该钢雕塑的高度，选取了与钢雕塑底部在同一水平面上的两点（如图2），在点和点测得钢雕塑顶端点的仰角分别为和，测得米，，则钢雕塑的高度为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】利用余弦定理即可解三角形. 【详解】由题意得，， 所以，， 设，则，， 在中，由余弦定理得， ， 即， 解得，即米． 故选：C 6．（23-24高一下·重庆·阶段练习）碧津塔是著名景点·某同学为了浏量碧津塔的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为，再沿方向前进24.4米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为，塔底点E的仰角为，那么碧津塔高约为（，）（    ） A．37.54 B．38.23 C．39.53 D．40.52 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出，再结合直角三角形边角关系求解即得. 【详解】在中，，则，， 由正弦定理得，则， 在中，，则， 在中，，则，又， 因此，， 所以碧津塔高约为38.23米. 故选：B 7．（23-24高一下·山东·阶段练习）某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠穆朗玛峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度．该兴趣小组运用这一方法测量学校旗杆的高度，已知该旗杆（C在水平面）垂直于水平面，水平面上两点的距离为，测得，其中，在点处测得旗杆顶点的仰角为，则该旗杆的高度为（单位：）（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】作出示意图，在中解出，在中解出. 【详解】 在中，，，， 因为， 所以， 在中，. 故选：B. 8．（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底，在水平地面上，来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.测得，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为（    ）（，精确到） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】现从四棱锥中提取两个直角三角形和的边角关系，进而分别解出两个三角形边的长，求出来雁塔AB的高度即可. 【详解】过点作，交于点， 在直角三角形中，因为， 所以， 在直角三角形中，因为， 所以， 则. 故选：B. 二、多选题 9．（23-24高一下·河南·阶段练习）初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则（    ）    A．舰艇所需的时间为1小时 B．舰艇所需的时间为2小时 C． D． 【答案】AD 【分析】设出所需时间，分别表示,在中利用余弦定理求出，再利用正弦定理求得的值，即可判断结果. 【详解】    如图，设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合，则. 根据余弦定理得，解得或（舍去）， 故.由正弦定理得，解得 故选：AD. 10．（20-21高一下·湖北荆州·阶段练习）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东75°，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西30°，距离．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东60°，则下列说法正确的是（    ） A．处与处之间的距离是； B．灯塔与处之间的距离是； C．灯塔在处的西偏南60°； D．在灯塔的北偏西30°． 【答案】AC 【分析】根据题意作出图形，然后在中，结合正弦定理得求出，在中，由余弦定理得，然后求出相关角度，进而逐项分析即可. 【详解】 由题意可知，所以，, 在中，由正弦定理得，所以，故A正确； 在中，由余弦定理得， 即，故B错误； 因为，所以，所以灯塔在处的西偏南，故C正确； 由，在灯塔的北偏西处，故D错误. 故选：AC 三、填空题 11．（23-24高一下·河南·阶段练习）石家庄电视塔坐落于石家庄世纪公园内，为全钢构架.电视塔以“宝石”为创造母体，上､下塔楼由九层塔身相连接，寓意登九天，象征丰厚的古文明孕育出灿烂的现代文明.如图，选取了与石家庄电视塔塔底在同一平面内的三个测量基点，且在处测得该塔顶点的仰角分别为，米，则石家庄电视塔的塔高为 米. 【答案】280 【分析】设出塔高分别在中表示出,在和中就运用余弦定理建立方程，计算即得. 【详解】设，则. 由，得， 由余弦定理得，解得米，即为280米. 故答案为：280. 12．（23-24高一下·山西大同·阶段练习）如图，用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔的塔高，无人机的航线与塔在同一铅直平面内，无人机飞行的海拔高度为，在处测得塔底（即小山的最高处）的俯角为，塔顶的俯角为，向山顶方向沿水平线飞行到达处时，测得塔底的俯角为，则该座小山的海拔为 ；古塔的塔高为 ． 【答案】 / 【分析】在，根据条件，利用正弦定理得到，延长交于，则，即可求出小山的海拔；在，根据条件，利用正弦定理，即可求出塔高. 【详解】如图，在，， 由正弦定理， 又， 所以，即， 延长交于，则， 又无人机飞行的海拔高度为，所以该座小山的海拔为， 在中，， 又， 由正弦定理有，得到， 故答案为：，. 四、解答题 13．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处的C处的缉私船奉命以的速度追截走私船.此时，走私船正以的速度从B处向北偏东30°方向逃窜. (1)求线段的长度； (2)求的大小； (3)问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船?最快需要多长时间?参考数值：， 【答案】(1) (2)15° (3)缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船，最快需要. 【分析】（1）在△ABC中，∠CAB＝120°由余弦定理可求得线段BC的长度； （2）在△ABC中，由正弦定理，可求得sin∠ACB； （3）设缉私船用th在D处追上走私船，CD＝10t，BD＝10t，在△ABC中，可求得∠CBD＝120°，再在△BCD中，由正弦定理可求得sin∠BCD，从而可求得答案. 【详解】（1）在△ABC中，∠CAB＝45°+75°＝120°， 由余弦定理，得BC2＝AB2+AC2﹣2ABACcos∠CAB ， 所以，. （2）在△ABC中，由正弦定理，得， 所以，sin∠ACB. 又∵0°＜∠ACB＜60°， ∴∠ACB＝15°. （3）设缉私船用th在D处追上走私船，如图， 则有，BD＝10t. 在△ABC中， 又∠CBD＝90°+30°＝120°， 在△BCD中，由正弦定理，得 . ∴∠BCD＝30°， 所以角度为北偏东，即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船. 又，故，解得， 即最快需要. 14．（23-24高二下·云南·开学考试）如图，为了测量某塔的高度，无人机在与塔底B位于同一水平面的C点测得塔顶A的仰角为45°，无人机沿着仰角α（）的方向靠近塔，飞行了m后到达D点，在D点测得塔顶A的仰角为26°，塔底B的俯角为45°，且A，B，C，D四点在同一平面上，求该塔的高度．（参考数据:取 tan 26°=，cos 56°=）    【答案】326m 【分析】设，根据条件得到是等腰直角三角形，所以，同理是等腰直角三角形，得，进而得，然后根据余弦定理列方程求解可得 【详解】因为A、B、C、D四点在一个平面上 如图，过点作，垂足为． 由题意得． 在中，又塔底B与C位于同一水平面，所以，所以， 又，所以是等腰直角三角形，所以， 在中，，又，所以是等腰直角三角形， 所以， 设，则， 又，所以， 所以． 在中，由余弦定理得， 即， 得，即该塔的高度为．    B能力提升 1．（20-21高二下·四川成都·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用，三角形面积公式和余弦定理可得，故可得到，，然后利用正弦定理可得，利用换元法即可求解 【详解】中，由余弦定理得，， 且的面积为，由，得， 化简得；又，，所以， 化简得，解得或（不合题意，舍去）； 因为，所以， 所以， 由，且，， 解得， 所以，所以，所以； 设，其中， 所以， 又，所以时，y取得最大值为， 时，；时，，且． 所以，即的取值范围是， 故选：D 【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值 2．（多选）（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为．设和的夹角为θ（），则（    ）．    A．当船的航行时间最短时， B．当船的航行距离最短时， C．当时，船的航行时间为12分钟 D．当时，船的航行距离为 【答案】AB 【分析】对于A，首先，从而要船的航行时间最短时，则只需最大，由此即可判断；对于B，当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，由此即可验算；对于C，由公式即可验算；对于D，由题意，根据向量模的运算公式以及数量积的运算律即可验算. 【详解】对于A，船的航行时间为（），若要船的航行时间最短时，则最大，也就是说当且仅当时，船的航行时间最短时，故A正确； 对于B，当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，从而，故B正确； 对于C，当时，船的航行时间为小时，也就是6分钟，故C错误； 对于D，由题意设位移分量为，位移为， 则，其中（小时）， 又因为，，和的夹角为， 从而，故D错误. 故选：AB. 关键点点睛：判断B选项的关键是当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，由此即可顺利得解. 3．（23-24高三上·山东青岛·开学考试）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”，若要测量如图所示某蓝洞口边缘，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得海里，，，，则，两点的距离为 海里.    【答案】 【分析】先求的，利用余弦定理求得，利用正弦定理求得，再由余弦定理求得. 【详解】在三角形中，， 所以，所以， 在三角形中， ， 由正弦定理得 ， 在三角形中，， 所以 （海里）. 故答案为：    C综合素养（新定义解答题） 1．（22-23高一下·广东韶关·期末）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小."意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.已知中内角所对的边分别为，且. (1)求角A的值； (2)若点为的费马点，，求实数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案； （2）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）由已知中，即， 故，由正弦定理可得， 故直角三角形，即. （2）由（1）知，故由点为的费马点得，    设， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$