第03讲平面向量的数量积(含新定义解答题）(分层精练）-【高考新结构一轮复习】备战2025年高考数学一轮复习精讲精练（知识·题型·分层练，新高考专用）

第03讲 平面向量的数量积 (分层精练） A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题） A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知向量且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．-1 2．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知点，则（    ） A． B．0 C．2 D． 3．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知向量满足，且，则与的夹角为（      ） A． B． C． D． 4．（2024·河北·模拟预测）平面向量满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 6．（23-24高一下·甘肃金昌·阶段练习）已知向量，若与垂直，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知向量的夹角为，且，则（    ） A．6 B． C．3 D． 8．（2024·全国·模拟预测）单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024·全国·模拟预测）已知向量．若，则（    ） A． B． C．在方向上的投影向量为 D．与反向的单位向量是 10．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知向量则下列说法正确的是（    ） A．的相反向量是 B．若，则 C．在上的投影数量为 D．若，则 三、填空题 11．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）已知，若向量满足，则在方向上的投影向量的坐标为 . 12．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形中，已知，点满足，且，则 ． 四、解答题 13．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）已知，. (1)若，求； (2)若与的夹角为，求； (3)若与垂直，求与的夹角． 14．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）在四边形中，已知，，. (1)若四边形是矩形，求的值； (2)若四边形是平行四边形，且，求与夹角的余弦值. 15．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，，分别是AD，DC的中点，为线段上一点（除端点外），且，设． (1)若，以为基底表示向量与； (2)求的取值范围． B能力提升 1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）设A，B，C，D为平面内四点，已知，，与的夹角为，M为AB的中点，，则的最大值为 ，此时 ． 4．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知正六边形ABCDEF的边长为1，若点H是正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，则的最小值为 ；若点N为线段AE（含端点）上的动点，且满足，则的最大值为 . C综合素养（新定义解答题） 1．（23-24高一下·福建三明·阶段练习）利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作，类比平面向量的相关运算法则，对于复向量，我们有如下运算法则： ① ②； ③ ④ (1)设，为虚数单位，求，，； (2)设是两个复向量， ①已知对于任意两个平面向量，（其中），成立，证明：对于复向量，也成立； ②当时，称复向量与平行.若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 平面向量的数量积 (分层精练） A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题） A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知向量且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．-1 【答案】A 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可 【详解】由，得，解得， 故选：A 2．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知点，则（    ） A． B．0 C．2 D． 【答案】D 【分析】先求出两个向量的坐标，再根据数量积的坐标公式计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：D. 3．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知向量满足，且，则与的夹角为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量夹角余弦公式求出，得到答案. 【详解】∵，且， ， ∵， ∴. 故选：B. 4．（2024·河北·模拟预测）平面向量满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得. 【详解】依题意，在方向上的投影向量为. 故选：D 5．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】，由得， 解得. 故选：A. 6．（23-24高一下·甘肃金昌·阶段练习）已知向量，若与垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据与垂直，由求解. 【详解】解：， 与垂直， ， . 故选：A. 7．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知向量的夹角为，且，则（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】由平面向量减法的几何意义，结合平面几何的知识可解. 【详解】在边长为6的等边三角形中，设， 则，故. 故选：A 8．（2024·全国·模拟预测）单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：将平方得，求出，再利用夹角公式求解；法二：设向量坐标化，确定，再利用向量夹角的坐标公式求解. 【详解】法一：因为，所以，所以. 由是单位向量，得，故. 所以，所以. 因为， 所以. 法二： 因为，所以.因为是单位向量， 所以设，，，则，，， 解得. 取，则. 因为，， 所以. 故选：B. 二、多选题 9．（2024·全国·模拟预测）已知向量．若，则（    ） A． B． C．在方向上的投影向量为 D．与反向的单位向量是 【答案】ABC 【分析】利用平面向量的坐标运算及投影向量、单位向量的定义一一判定选项即可. 【详解】． ． ，即． ，即，解得，则． 对于A，，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，在方向上的投影向量为，故正确； 对于D，与反向的单位向量是，故D错误． 故选:ABC． 10．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知向量则下列说法正确的是（    ） A．的相反向量是 B．若，则 C．在上的投影数量为 D．若，则 【答案】AC 【分析】由相反向量的定义判断A；由向量垂直数量积为0判断B；由投影数量的概念判断C；由共线量的坐标运算判断D. 【详解】对于A，由相反向量的定义，即可得到的相反向量是，故A正确； 对于B，因为，所以， 又，且，所以，解得，故B错误； 对于C，因为，所以，， 所以在上的投影数量为，故C正确； 对于D，因为，又，且， 所以，解得，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 11．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）已知，若向量满足，则在方向上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】根据数量积的运算律求得，根据投影向量的概念，即可求得答案. 【详解】由题意知，故， 所以，而，则， 故， 则在方向上的投影向量为， 即在方向上的投影向量的坐标为， 故答案为： 12．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形中，已知，点满足，且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据平面向量的线性运算可得，，结合数量积的运算律和定义即可求解. 【详解】由题意得，，， ， 故，． 故答案为： 四、解答题 13．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）已知，. (1)若，求； (2)若与的夹角为，求； (3)若与垂直，求与的夹角． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由可得出的夹角为0或，再根据,即可求出； （2）先求出,再利用模长公式求解； （3）根据与垂直，即可得出，从而可求出，进而得出与的夹角． 【详解】（1）∵，∴与的夹角为或， ∴=; （2）； （3），∴ ∴，   ，∴ 14．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）在四边形中，已知，，. (1)若四边形是矩形，求的值； (2)若四边形是平行四边形，且，求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以、作为一组基底表示出、，再根据数量积的运算律计算可得； （2）设与夹角为，结合（1）及数量积的定义计算可得. 【详解】（1）四边形是矩形， ，即， 又，，， ，， ，， ； （2）设与夹角为，由（1）得， ， ，即与夹角的余弦值． 15．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，，分别是AD，DC的中点，为线段上一点（除端点外），且，设． (1)若，以为基底表示向量与； (2)求的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由向量的线性运算可求得向量与. （2）先表示向量，再运用向量数量积的定义和运算律可求得，从而可求得取值范围. 【详解】（1）依题意，， 所以 ； 由，得 所以. （2）由（1）知，， 依题意，， 由，，得， 因此 ， 显然，则，即， 所以的取值范围为. B能力提升 1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量数量积的坐标表示以及夹角范围计算，考虑向量反向的情况可得结论. 【详解】若“”可得，可得； 当时，与的方向相反，其夹角为， 即与的夹角为钝角或平角，充分性不成立； 若“与的夹角为钝角”，即可知，解得，必要性成立； 因此“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B 2．（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设向量，的夹角为，求得的表达式，利用平方的方法，结合余弦函数的值域等知识求得正确答案. 【详解】设向量，的夹角为，则， 因为， 所以， 令，则， 因为，所以，又，所以. 故选：C 3．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）设A，B，C，D为平面内四点，已知，，与的夹角为，M为AB的中点，，则的最大值为 ，此时 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，确定点的轨迹方程，设的坐标，分别求出向量，的坐标，结合三角函数性质即可求解． 【详解】以为原点，所在直线为轴，过作的垂线为轴建立平面直角坐标系，如图所示， 因为，，与的夹角为，, 由于,故， 所以， 因为为的中点，，所以在以为圆心，半径为1的圆上， 设,， 则，， ， 所以当，即时，最大，最大值为， 此时,，则． 故答案为：；． 4．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知正六边形ABCDEF的边长为1，若点H是正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，则的最小值为 ；若点N为线段AE（含端点）上的动点，且满足，则的最大值为 . 【答案】 /-0.5 4 【分析】从向量的数量积的定义入手理解，将数量积最小问题转化为在上的投影数量最小问题，结合图象易于找到，计算即得；根据题意，建立如图坐标系，设动点，,表示出相关向量坐标代入题设条件，列出方程组，求出，计算的取值范围即得. 【详解】   如图，由向量数量积的几何意义可知可理解为在上的投影数量与的乘积， 要使最小，需使在上的投影数量最小，由图知，当且仅当点与重合时，投影的数量最小，即， 故；    如上图，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，则,不妨设，则， 则，由代入坐标，即得，， 解得：于是，因，故当且仅当时，的最大值为4. 故答案为： C综合素养（新定义解答题） 1．（23-24高一下·福建三明·阶段练习）利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作，类比平面向量的相关运算法则，对于复向量，我们有如下运算法则： ① ②； ③ ④ (1)设，为虚数单位，求，，； (2)设是两个复向量， ①已知对于任意两个平面向量，（其中），成立，证明：对于复向量，也成立； ②当时，称复向量与平行.若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数. 【答案】(1)，， (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据①③④即可解题； （2）①设，由，得出，结合复数的三角不等式得即可证明； ②由①中复数的三角不等式等号成立的条件知，当复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得，即再由复向量与平行时，，然后根据中等号成立的条件，求解即可. 【详解】（1）因为，所以， （2）①设，则， 由复数的三角不等式得， 由，得，所以， 所以 ， 综上所知，对于复向量，成立. ②由①中复数的三角不等式等号成立的条件知， 当复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得 ，即 故复向量与平行，有 ， 根据中等号成立的条件， 应有，即， 所以， 结合，得，解得； 所以，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$