第02讲平面向量基本定理及坐标表示(含新定义解答题）(分层精练）-【高考新结构一轮复习】备战2025年高考数学一轮复习精讲精练（知识·题型·分层练，新高考专用）

第02讲 平面向量基本定理及坐标表示 (分层精练） A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题） A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）若向量，则（    ） A．1 B． C． D．4 2．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）已知，用，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川广安·二模）已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）若向量，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在锐角中，为边上的高，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·山东·阶段练习）在中，为的重心，满足，则（    ） A． B． C．0 D． 7．（2024·福建漳州·模拟预测）在中，是边上一点，且是的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）键线式可以直观地描述有机物的结构，在有机化学中广泛使用．有机物“萘”可以用下左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为下右图所示的图形．已知与为全等的正六边形．若点为右边正六边形的边界（包括顶点）上的动点，且向量，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知向量，不共线，且，，，若，，三点共线，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）若三点共线，则m的值为（    ） A．－2 B．－13 C．2 D．13 三、填空题 11．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）在三角形ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD中点，若则 . 12．（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）已知：点和向量，若，则点B的坐标是 ． 四、解答题 13．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）如图，在中，D，F分别是BC，AC的中点，，，. (1)用分别表示向量，; (2)求证:B，E，F三点共线. 14．（23-24高一下·天津静海·阶段练习）已知向量，． (1)求的值； (2)求及向量在向量上的投影向量的坐标； (3)若，且、、三点共线，求的值． 15．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）在第六章 平面向量初步中我们学习了向量的加法、减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算.那向量乘法该怎样运算呢？数学中向量的乘法有两种：数量积和矢量积.这些我们还都没学到.现在我们重新定义一种向量的乘法运算：若，，则.请按这种运算，解答如下两道题. (1)已知，，求. (2)已知，，求. B能力提升 1．（2024·四川宜宾·二模）已知向量，向量满足，，则（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·重庆万州·阶段练习）在三角形中，点是在边上且边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（22-23高三上·全国·阶段练习）在平行四边形中，，，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．（2024·云南红河·二模）如图，在棱长均相等的斜三棱柱中，，，若存在，使成立，则的最小值为 . 5．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，正方形中，分别为线段上的点，满足，连接交于点．    (1)求证：； (2)设，求的最大值和的最大值. C综合素养（新定义解答题） 1．（22-23高一下·北京·期中）对平面向量，定义. (1)设，求； (2)设，，，，，点是平面内的动点，其中是整数. （ⅰ）记，，，，的最大值为，直接写出的最小值及当取最小值时，点的坐标. （ⅱ）记.求的最小值及相应的点的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 平面向量基本定理及坐标表示 (分层精练） A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题） A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）若向量，则（    ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示求解即得. 【详解】向量，所以，即. 故选：C 2．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）已知，用，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量减法，将用表示，然后整理可得. 【详解】因为， 所以，整理得. 故选：C 3．（2024·四川广安·二模）已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的数乘运算，向量坐标与终点、始点的关系可解. 【详解】因为，分别为，的中点， 所以， 设，又，所以 即，解得. 故选：A    4．（23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）若向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合向量的运算法则，即可求解. 【详解】由向量，可得. 故选：C. 5．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在锐角中，为边上的高，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据锐角三角函数及得到，即可得到，再由平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出、，即可得解. 【详解】如图在锐角中，为边上的高， 所以，，又， 所以，所以，则， 所以， 又，所以，所以. 故选：C    6．（23-24高一下·山东·阶段练习）在中，为的重心，满足，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】由题意作图，根据重心的几何性质，得到线段的比例关系，利用平面向量的运算，可得答案. 【详解】设相交于点，为的重心，    可得为中点，， ， 所以， 所以. 故选：C. 7．（2024·福建漳州·模拟预测）在中，是边上一点，且是的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算法则进行运算即可. 【详解】 ， 故选：D．    8．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）键线式可以直观地描述有机物的结构，在有机化学中广泛使用．有机物“萘”可以用下左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为下右图所示的图形．已知与为全等的正六边形．若点为右边正六边形的边界（包括顶点）上的动点，且向量，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由“等和线定理”结合图形分析得解. 【详解】 由平面向量共线定理可得，，，则三点共线的充要条件是. 下面先证明“等和线定理”， 如图，设，， 因为三点共线，所以存在，使得. ， ，，则. 由“等和线定理”结合图形可知：当点在上时，易得， 当点在上时，易得， 当点在上时，易得， 当点在上时，易得， 当点在上时，易得， 当点在上时，易得， 综上，可得. 故选：C． 二、多选题 9．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知向量，不共线，且，，，若，，三点共线，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AC 【分析】首先表示出、，依题意可得，根据平面向量共线定理得到，从而得到关于、的方程组，解得即可. 【详解】因为，，， 所以， ， 又向量，不共线，，，三点共线， 所以，则，即， 所以，解得或. 故选：AC 10．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）若三点共线，则m的值为（    ） A．－2 B．－13 C．2 D．13 【答案】CD 【分析】利用平面向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可知， 因为三点共线，则共线， 不妨设， 则或13. 故选：CD 三、填空题 11．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）在三角形ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD中点，若则 . 【答案】 【分析】根据向量基本定理得到答案. 【详解】因为E为AD中点，所以， 因为D是BC上靠近点C的三等分点，所以， 所以. 故答案为： 12．（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）已知：点和向量，若，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】设，利用向量共线的关系，列出方程求解即可. 【详解】设，则， 所以，解得：. 所以点B的坐标是. 故答案为：. 四、解答题 13．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）如图，在中，D，F分别是BC，AC的中点，，，. (1)用分别表示向量，; (2)求证:B，E，F三点共线. 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，结合几何图形用基底表示向量即得. （2）由（1）的信息，利用共线向量的定理推理即可. 【详解】（1）在中，由D是BC的中点，得， 而，于是 又F是AC的中点，所以. （2）由（1）知，，因此， 即，而有公共点，所以B，E，F三点共线. 14．（23-24高一下·天津静海·阶段练习）已知向量，． (1)求的值； (2)求及向量在向量上的投影向量的坐标； (3)若，且、、三点共线，求的值． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】（1）首先求出的坐标，再由坐标法求出向量的模； （2）由坐标法求出、，再根据投影向量的定义计算可得； （3）首先求出、的坐标，依题意，根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】（1）∵，， ∴， ∴； （2），， ∴，； 向量在向量上的投影向量为. （3）、、三点共线 ， ， ， ，. 15．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）在第六章 平面向量初步中我们学习了向量的加法、减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算.那向量乘法该怎样运算呢？数学中向量的乘法有两种：数量积和矢量积.这些我们还都没学到.现在我们重新定义一种向量的乘法运算：若，，则.请按这种运算，解答如下两道题. (1)已知，，求. (2)已知，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用新定义计算即可； （2）设，利用新定义计算，列方程组求解. 【详解】（1）因为，，， 所以； （2）设， 因为，， 所以， 因为，所以， 解，得，即. B能力提升 1．（2024·四川宜宾·二模）已知向量，向量满足，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出，根据题意利用向量的坐标运算列式运算求解. 【详解】设，则， 由，得， 又，得，即， 联立，解得. . 故选：C. 2．（23-24高一下·重庆万州·阶段练习）在三角形中，点是在边上且边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】 将和都用和表示出来，然后利用列式计算即可. 【详解】由题意，， 则， 同理可得：， 因为直线和直线交于点, 所以存在使， 即，两式作商得 解得. 故选：C. 3．（22-23高三上·全国·阶段练习）在平行四边形中，，，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】根据向量的加减运算及数乘运算可得，从而得解. 【详解】， ， ， ， ， ，，． 故选：D． 4．（2024·云南红河·二模）如图，在棱长均相等的斜三棱柱中，，，若存在，使成立，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，将向量转化为基底表示，可得，再利用基本不等式求解. 【详解】设， 则 因为，所以， 即， 即，由，得，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 5．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，正方形中，分别为线段上的点，满足，连接交于点．    (1)求证：； (2)设，求的最大值和的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)的最大值为1；的最大值为 【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用平面向量证明垂直关系； （2）根据三点共线可得，利用向量的坐标运算可得，进而结合基本不等式求最值. 【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系，    不妨设， 则， 可得， 因为，可知，所以. （2）因为三点共线，且，可知， 由（1）可知， 则， 又因为，则， 可得， 则， 若，则； 若，则， 当且仅当，即时，等号成立； 综上所述：的最大值为1； 又因为， 当且仅当，即时，等号成立； 所以的最大值为. C综合素养（新定义解答题） 1．（22-23高一下·北京·期中）对平面向量，定义. (1)设，求； (2)设，，，，，点是平面内的动点，其中是整数. （ⅰ）记，，，，的最大值为，直接写出的最小值及当取最小值时，点的坐标. （ⅱ）记.求的最小值及相应的点的坐标. 【答案】(1)5 (2)（i）的最小值为，；（ii）的最小值为13， 【分析】（1）根据题意直接求解即可； （2）（i）先证明充分性，设，其中，从而由绝对值不等式性质得到，此时，点的坐标为，再说明必要性； （ii）设点的坐标为，表达出， ，，分别求出和的最小值，进而得到的最小值及此时点的坐标. 【详解】（1）当时，； （2）（i）的最小值为，此时点的坐标为. 一方面，设，其中. ，， 相加得，故. 欲使上述不等式的等号均成立，有且，得. 另一方面，当点的坐标为时，，， ， 此时，. （ⅱ）设点的坐标为. ， ， ，， 所以， 其中 （当且仅当时，等号成立）， （当且仅当时，等号成立）， 所以，当且仅当且时，等号成立， 即点时，等号成立. 【点睛】定义新运算问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和不等式，函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 学科网（北京）股份有限公司 $$