第01讲平面向量的概念及其线性运算(含新定义解答题）(分层精练）【高考新结构一轮复习】-备战2025年高考数学一轮复习精讲精练（知识·题型·分层练，新高考专用）

第01讲 平面向量的概念及其线性运算(分层精练） A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题） A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于（   ） A． B． C． D．不存在这样的向量 3．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）在中，已知，设，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）是平面内不共线两向量，已知，若三点共线，则k的值是（    ） A．2 B．－3 C．－2 D．3 5．（20-21高一下·四川成都·期中）下列说法错误的是（     ） A． B．、是单位向量，则 C．若，则 D．任一非零向量都可以平行移动 6．（23-24高一下·北京·阶段练习）在梯形ABCD中，，，与相交于点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知为非零向量，且，则一定有（    ） A． B．，且方向相同 C． D．，且方向相反 8．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（    ）    A．1 B．2 C．4 D． 二、多选题 9．（23-24高一下·江西九江·阶段练习）以下关于向量的说法错误的有（   ） A．若与同向，且，则； B．为实数，若，则与共线． C．若且，则 D．若与共线，与共线，则与共线 10．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）下列命题中错误的有（    ） A．的充要条件是且 B．若，则 C．若，则存在实数，使得 D．若与是共线向量，则三点共线 三、填空题 11．（21-22高一·全国·课后作业）给出下列四个条件：①；②；③与方向相反；④或，其中能使成立的条件是 . 12．（2024高一下·全国·专题练习）已知、是两个不共线的向量，，，若与是共线向量，则实数 . 四、解答题 13．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，O是正六边形的中心.    (1)与的模相等的向量有多少个？ (2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与共线的向量有几个？ 14．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）如图所示，在中，为边上一点，且.过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）. (1)用，表示； (2)若，，求的最小值. B能力提升 1．（23-24高一·全国·课后作业）在梯形中，，，中，分别是DA，BC的中点，且．设，，选择基底，试写出下列向量在此基底下的分解式：，，． 2．（23-24高二上·贵州黔南·开学考试）已知向量． (1)求证：三点共线． (2)若，求的值． 3．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，在直角梯形中，与交于点，点在线段上.    (1)用和表示； (2)设，求的值； (3)设，证明：. C综合素养（新定义解答题） 1．（23-24高二上·北京·期中）记所有非零向量构成的集合为，对于，定义， (1)若，求出集合中的三个元素； (2)若，其中，求证：一定存在实数，且，使得. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平面向量的概念及其线性运算(分层精练） A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题） A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，向量与的方向相反，然后即可得出正确的选项. 【详解】由得，所以向量与方向相反. 对于A：由得向量与的方向相同，故A错误； 对于B：由得向量与方向相反，故B正确； 对于C：由得，故C错误； 对于D：由得向量与的方向相同，故D错误. 故选：B. 2．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于（   ） A． B． C． D．不存在这样的向量 【答案】A 【分析】由零向量与任意向量共线再结合已知条件得出. 【详解】因为向量与是两个不平行的向量，且且， 所以等于， 故选：A 3．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）在中，已知，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得. 【详解】由，得，即， 所以. 故选：A 4．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）是平面内不共线两向量，已知，若三点共线，则k的值是（    ） A．2 B．－3 C．－2 D．3 【答案】A 【分析】借助平面向量共线定理与平面向量基本定理计算即可得. 【详解】，由三点共线，故存在实数，使， 即，即，解得. 故选：A. 5．（20-21高一下·四川成都·期中）下列说法错误的是（     ） A． B．、是单位向量，则 C．若，则 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】C 【分析】运用向量、单位向量、相反向量的定义可判断. 【详解】对于A项，因为，所以，故A项正确； 对于B项，由单位向量的定义知，，故B项正确； 对于C项，由于向量不能比较大小，故C项错误； 对于D项，因为非零向量可以自由平行移动，故D项正确. 故选：C. 6．（23-24高一下·北京·阶段练习）在梯形ABCD中，，，与相交于点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 结合题意，应用向量加减、数乘的几何意义逐项判断即可得. 【详解】对A：，故A正确； 对B：由，故，故， 则，故B正确； 对C：由，故， 故C错误； 对D：，故D正确. 故选：C. 7．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知为非零向量，且，则一定有（    ） A． B．，且方向相同 C． D．，且方向相反 【答案】B 【分析】 将已知等式两边平方，可得，利用数量积的定义可得，可知两向量同向. 【详解】因为，两边平方得 ， 化简得， 即， 则，， 即方向相同，故只有B正确， 故选：B. 8．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（    ）    A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】计算得，再利用三点共线结论得系数和为1，即，再利用基本不等式求出最值即可. 【详解】因为是的中点，且， 所以. 因为三点共线，所以， 即，所以， 当且仅当时，等号成立. 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高一下·江西九江·阶段练习）以下关于向量的说法错误的有（   ） A．若与同向，且，则； B．为实数，若，则与共线． C．若且，则 D．若与共线，与共线，则与共线 【答案】ABD 【分析】根据向量的概念判断A，根据共线向量的性质判断BD，根据相等向量定义判断C. 【详解】对于A，因为向量不能比较大小，故A错误； 对于B，当时，对于任意的向量，，此时向量可能不共线，故B错误， 对于C，因为，所以，又，所以，故C正确， 对于D，当为零向量时，对于任意的向量都满足与共线，与共线， 此时与不一定共线，D错误， 故选：ABD. 10．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）下列命题中错误的有（    ） A．的充要条件是且 B．若，则 C．若，则存在实数，使得 D．若与是共线向量，则三点共线 【答案】ABC 【分析】根据题意，结合向量的基本概念，以及共线向量的概念与应用，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由的充要条件是且方向相同，所以A错误； 对于B中，当时，因为与任意向量共线，原式可能不成立，所以B错误； 对于C中，当时，不存在实数，使得，所以C错误； 对于D中，因为与是共线向量，且与有公共点，所以三点共线，所以D正确. 故选：ABC. 三、填空题 11．（21-22高一·全国·课后作业）给出下列四个条件：①；②；③与方向相反；④或，其中能使成立的条件是 . 【答案】①③④ 【分析】 运用向量共线的定义判断即可. 【详解】因为与为相等向量，所以，即①能够使成立； 由于并没有确定与的方向，即②不一定能使成立； 因为当与方向相反时，则，即③能够使成立； 因为零向量与任意向量共线，所以或时，能够成立. 故使成立的条件是①③④. 故答案为：①③④. 12．（2024高一下·全国·专题练习）已知、是两个不共线的向量，，，若与是共线向量，则实数 . 【答案】 【分析】设，，可得出关于实数、的等式，即可解得实数的值. 【详解】因为、是两个不共线的向量，，，若与是共线向量， 设，，则， 所以，，解得. 故答案为：. 四、解答题 13．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，O是正六边形的中心.    (1)与的模相等的向量有多少个？ (2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与共线的向量有几个？ 【答案】(1)23； (2)存在，4； (3)9. 【分析】（1）利用正六边形的特征，结合平面向量模的意义即可得出结论. （2）利用正六边形的特征，结合互为相反向量的意义即可得出结论. （3）利用正六边形的特征，结合共线向量的意义即可得出结论. 【详解】（1）与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量， 所以这样的向量共有23个. （2）存在，由正六边形的性质知，， 所以与的长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个. （3）由（2）知，，线段OD，AD与OA在同一条直线上， 所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个. 14．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）如图所示，在中，为边上一点，且.过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）. (1)用，表示； (2)若，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）依题意可得，根据三点共线的推论得到，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】（1）在中，由， 又，所以， 所以 . （2）因为，又，， 依题意，，所以，， 所以，又，，三点共线，且在线外， 所以有， 所以， 当且仅当，即时取等号. B能力提升 1．（23-24高一·全国·课后作业）在梯形中，，，中，分别是DA，BC的中点，且．设，，选择基底，试写出下列向量在此基底下的分解式：，，． 【答案】；； 【分析】根据给定的梯形，利用梯形的性质，结合向量共线及线性运算求解作答． 【详解】如图，由，且，则， 又，且， 则. 因为， 则． 2．（23-24高二上·贵州黔南·开学考试）已知向量． (1)求证：三点共线． (2)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）求出，由证明即可； （2），，根据向量相等列方程组求解即可. 【详解】（1）证明：∵，故三点共线； （2），， 则有，即，解得 3．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，在直角梯形中，与交于点，点在线段上.    (1)用和表示； (2)设，求的值； (3)设，证明：. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用平面向量的加法运算并根据线段的比例关系可得结论； （2）由共线定理根据三点共线可得结果； （3）根据向量等式得出的表达式，再由二次函数性质可证明结论. 【详解】（1）因为， ， . （2）由（1）得， 因为三点共线，所以， 解得. （3）由（1）得，设， 则 又不共线，所以，即. 由，得. 因为函数在上单调递增， 所以当时，，故. C综合素养（新定义解答题） 1．（23-24高二上·北京·期中）记所有非零向量构成的集合为，对于，定义， (1)若，求出集合中的三个元素； (2)若，其中，求证：一定存在实数，且，使得. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 （1）根据集合新定义设，列式化简可得，即可得答案； （2）先证明中向量都是共线向量，设，根据集合新定义推出，，可得，结合为共线向量，推得，即可证明结论. 【详解】（1）设，由得， 即，不妨令n取1，2，3，则m取3，6，9， 故中的三个元素为； （2）先证明中向量都是共线向量， 不妨设， 因为，所以中至少有一个不为0， 若，记， 显然，即，故， 任取，因为，所以， 故，则， 故，则，则问题得证； 若，同理可证明，其中； 故综合上述中向量都是共线向量， 因为，所以不妨设， 则由定义知，即，同理， 故，则， 同理可得，故为共线向量， 即存在实数，使，即， 因为，所以，所以， 记，则， 即一定存在实数，且，使得. 【点睛】 难点点睛：本题考查了集合的新定义问题，解答时要注意理解新定义，并能根据该定义去解决问题，难点在于第二问的证明，解答时要首先证明中向量都是共线向量，然后推出，结合为共线向量，推得，即可证明结论. 学科网（北京）股份有限公司 $$