2024年四川省宜宾市中考数学模拟试卷（一）

2024年四川省宜宾市中考数学模拟试卷（一） 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的倒数是(    ) A. B. 2024 C. D. 2.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.我国古代数学家祖冲之发现的圆周率的分数近似值，称为密率，比的值只大，这个数用科学记数法可表示为(    ) A. B. C. D. 4.一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几何体可能是(    ) A. B. C. D. 5.如图，直线，一副三角板放置在，之间，一三角板直角边在上，三角板斜边在同一直线上，则(    ) A. B. C. D. 6.如图，AB是的直径，弦，，，则阴影部分图形的面积为(    ) A. B. C. D. 7.“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是(    ) A. B. C. D. 8.关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是(    ) A. 且 B. C. 且 D. 9.如图，在矩形ABCD中，，，将沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是(    ) A. 3 B. C. 5 D. 10.如图，点G是的重心，交BC于点如果，那么GE的长为(    ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 11.阅读理解：为计算三角函数值，我们可以构建如图，使得，，延长CB使，连接AD，可得到，所以类比这种方法，请你计算的值为(    ) A. B. C. D. 12.如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间包含端点，则下列结论：①；②；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程有两个相等的实数根.其中结论正确的个数为(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 13.分解因式：______. 14.已知数据：，，，，，其中无理数出现的频率是______. 15.如图，已知零件的外径是7cm，现用一个交叉卡钳两条尺长AC和BD相等测量零件的内孔直径如果OA：：：1，且量得，则零件的厚度为______ 16.若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围是______. 17.如图，在中，C、D三等分，AD、BC相交于点E，若，，则______. 18.如图，正方形ABCD的边长为1，经过点C，CM为的直径，且过点M作的切线分别交边AB，AD于点G，与CG，CH分别交于点E，F，绕点C在平面内旋转始终保持圆心O在正方形ABCD内部给出下列四个结论： ①；②；③H，F，E，G四点在同一个圆上；④四边形CGAH面积的最大值为 其中正确的结论有__________填写所有正确结论的序号 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题10分 计算： 化简： 20.本小题10分 如图，在中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作交ED的延长线于点 求证：≌； 当，，时，求AC的长． 21.本小题10分 第31届世界大学生夏季运动会简称“大运会”将于2023年7月28日至8月8日在成都举行.某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了非常关注、比较关注、很少关注、没有关注四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.根据图中所提供的信息，解答下列问题： 本次调查共抽取了______名学生，并补全条形统计图； 求A所在扇形的圆心角度数； 学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率. 22.本小题10分 “五一”节快到了，某公园计划在园内一个三角形区域栽花.如图，已知，，米. 如果栽花的成本是每平方米25元，那么将内栽满花需要多少元？ 在准备栽花时，有人建议从B处修一条道路到AC边方便游客行走，求道路最短多少米？ 参考数据：，，， 23.本小题12分 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数图象与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线 求点A的坐标及反比例函数的表达式； 若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标； 直接写出当x取何值时，不等式 24.本小题12分 如图，AB是的直径，点D在AB的延长线上，C、E是上的两点，，，延长AE交BC的延长线于点 求证：CD是的切线； 求证：； 若，，求弦AC的长． 25.本小题14分 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点. 求抛物线的函数表达式； 若是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标； 过点作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点试探究：是否存在常数m，使得始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：， 故选： 根据题意利用倒数定义即可得出本题答案． 本题考查倒数定义，解题的关键是掌握倒数的定义． 2.【答案】C  【解析】解：，故A错误，不符合题意； ，故B错误，不符合题意； ，故C正确，符合题意； ，故D错误，不符合题意； 故选： 根据整式相关的运算法则逐项判断即可． 本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． 3.【答案】A  【解析】解： 故选： 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4.【答案】D  【解析】解：由主视图和左视图可以得到该几何体是圆柱和小圆锥的复合体，由俯视图可以得到小圆锥的底面和圆柱的底面完全重合． 故选： 根据三视图判断圆柱上面放着小圆锥，确定具体位置后即可得到答案． 本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是要有一定的数学知识，而且还应有一定的生活经验． 5.【答案】B  【解析】解：如图， 直线， ， ，且， ， 故选： 先根据两直线平行，内错角相等得出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出，从而求出的度数． 本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，一副三角板各角的度数，熟练掌握这两个性质是解题的关键． 6.【答案】D  【解析】解：是的直径，弦，， ，， ， ，， ， 由勾股定理，， 解得， 阴影部分的面积， 故选： 根据垂径定理求得；然后由圆周角定理知然后通过勾股定理求得线段OC，求出扇形COB面积，即可得出答案． 本题考查了垂径定理、勾股定理，圆周角定理，扇形面积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积=扇形COB的面积是解此题的关键． 7.【答案】C  【解析】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原来每天绿化的面积为万平方米， 依题意得：，即 故选 设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间=工作总量工作效率，结合提前30天完成任务，即可得出关于x的分式方程． 考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 8.【答案】A  【解析】解：关于x的一元二次方程有实数根， 且， 且， 且， 故选： 根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出a的取值范围，据此选择正确选项． 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系： 方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根． 9.【答案】C  【解析】【分析】 此题考查了翻折变换，矩形的性质，以及勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键． 由ABCD为矩形，得到为直角，且三角形BEF与三角形BEA全等，利用全等三角形对应角、对应边相等得到，，，利用勾股定理求出BD的长，由求出DF的长，在中，设，表示出ED，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出DE的长． 【解答】 解：矩形ABCD， ， 由折叠可得≌， ，，， 在中，，， 根据勾股定理得：，即， 设，则有， 根据勾股定理得：， 解得：， 则， 故选 10.【答案】B  【解析】解：连接BG并延长交AC于D， 点G是的重心， ，， ， ∽， ， ， ， 故选： 连接BG并延长交AC于D，根据点G是的重心，得到，，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键． 11.【答案】A  【解析】解：如图：在中，使得，，延长CB到点D，使，连接AD， 是的一个外角， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， 故选： 在中，使得，，延长CB到点D，使，连接AD，先利用三角形的外角性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，最后设，则，从而可得，在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 12.【答案】C  【解析】解：抛物线的顶点坐标为， ， ， ， ， 故①正确． 抛物线与x轴交于点， ， ， 由①知：，即， ， 又抛物线与y轴的交点在，之间含端点， ， ， ， 故②正确． 抛物线开口向下， ， 又， 令， 关于m的二次函数开口向下， 若对于任意实数m，总成立， 故需判断与0的数量关系， 由以上分析知：， ， 故③正确． ， ， ， 关于x的方程无实数根． 故④错误． 故选： 由抛物线开口方向判断a与0的关系，由抛物线与x轴交点坐标判断a、b、c的关系，由顶点坐标及顶点坐标公式推断a、b的关系及n与a、b、c的关系，由抛物线与y轴的交点坐标判断c的取值范围，进而对所得结论进行推断． 主要考查二次函数图象与系数的关系、顶点坐标以及根的判别式的熟练使用． 13.【答案】  【解析】解：原式， 故答案为： 原式提取x，再利用平方差公式分解即可． 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 14.【答案】  【解析】解：数据：，，，，，其中无理数有：，，， 无理数出现的频率是： 故答案为： 直接利用无理数的定义结合频率的求法得出答案． 此题主要考查了频率的求法以及无理数的定义，正确把握无理数的定义是解题关键． 15.【答案】  【解析】解：：：：1，， ∽， ：：1， ， ， 某零件的外径为7cm， 零件的厚度为： 故答案为： 根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为7cm，即可求得零件的厚度的值． 本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 16.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知数表示出的值，再得到关于m的不等式． 首先解关于x和y的二元一次方程组，利用m表示出，代入，即可得到关于m的不等式，求得m的范围． 【解答】 解：， ①+②得， 则， 根据题意得， 解得 故答案是： 17.【答案】  【解析】解：、D三等分， ， ， ∽， ，， ， ， ， 故答案为： 利用圆周角定理和相似三角形的判定与性质解答即可． 本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 18.【答案】②③④  【解析】【分析】 本题考查了正方形的性质，圆内接四边形的性质，切线的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的基本性质等，解题关键是熟练掌握全等三角形判定和性质． 在绕点C在平面内旋转始终保持圆心O在正方形ABCD内部过程中，BG增大时，DH随着减小，BG减小时，DH随着增大，可判断①不正确；先证明，可得：，，，同理：，，，即可得出：，可判断②正确；根据，，可得，进而推出，即可判断③正确；当时，四边形CGAH面积最大，设，则，建立方程求解即可求得x，即可判断④正确． 【解答】 解：在绕点C在平面内旋转始终保持圆心O在正方形ABCD内部过程中， BG增大时，DH随着减小，BG减小时，DH随着增大，故①不正确； 正方形ABCD的边长为1， ，， 与相切于点M， ， 为的直径，且， ， 在和中，， ， ，，， 同理：，，， ， ， ，故②正确； ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形EFHG是圆内接四边形， 即H，F，E，G四点在同一个圆上，故③正确； 当时，四边形CGAH面积最大， 设，则， ， ， ，解得， ， ，故④正确， 故答案为：②③④． 19.【答案】解： ；   【解析】先化简，然后计算加减法即可； 先通分括号内的式子，同时将括号外除法转化为乘法，然后约分即可． 本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 20.【答案】证明：， ， 是BC边上的中线， 在与中， ， ≌； 解：≌， ， ， ，，   【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，，由AD是BC边上的中线，得到，于是得到结论； 根据全等三角形的性质得到，求得，于是得到结论． 21.【答案】500  【解析】解：本次调查共抽取了名学生． 故答案为： 选项B的人数为人 补全条形统计图如图所示． 所在扇形的圆心角度数为 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，丙  甲，丁 乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁 丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁  丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙 由表格可知，共有12种等可能的结果， 其中甲、乙同时被选中的结果有2种， 甲、乙同时被选中的概率为 用条形统计图中D的人数除以扇形统计图中D的百分比可得本次调查共抽取的学生人数；用本次调查共抽取的学生人数分别减去条形统计图中A，C，D的人数，求出B的人数，补全条形统计图即可． 用乘以本次调查中选择A的学生所占的百分比即可． 列表即可得出所有等可能的结果，以及甲、乙同时被选中的结果，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． 22.【答案】解：过点C作，垂足为E， 在中， 在中， ， 即， 解得， 米 所以 米 元 答：将内栽满花需要22500元． 过点B作，垂足为 BF是从B到AC边最短的路． 在中， 米 答：道路最短是米  【解析】过点C作，垂足为E，先利用锐角三角函数求出CE的长，再求出的面积，最后算出栽满花的费用； 先做出并确定便于游客行走的道路，再利用锐角三角函数求出最短路径． 本题考查了锐角三角函数及其应用．解决本题的关键是掌握直角三角形的边角间关系． 23.【答案】解：一次函数图象与y轴交于点A， ， 点在一次函数图象上， ，解得， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为： 直线l与直线AB垂直， 两直线的k值互为负倒数， 设直线l的解析式为，且l过点B， ，解得， 直线l的解析式为， ，， ， 的面积为5， ， ， ①点B向右平移5个单位，再向上平移5个单位得到点， ②点B向左平移5个单位，再向下平移5个单位得到点， 故点C坐标为或 联立方程组得，解得和， ，， 由图象可知，不等式的解集为：或  【解析】待定系数法求出反比例函数解析式及点B坐标即可； 根据面积计算出，由点B平移①②得到点C两个坐标即可； 根据图像直接写出不等式解集即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． 24.【答案】解：连接OC， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； ，，， ≌， ， 又， ； ，， ∽， ， ， ， ， 设，，由勾股定理可得：， 解得：，   【解析】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线． 连接OC，可证得，由，可得出，即结论得证； 证明≌可得，又，则； 证明∽，可求出DA的长，得出AB长，设，，则由勾股定理可得AC的长． 25.【答案】解：将、代入， ， 解得：， ； 设， ，， ，，， 当时，， ， 或， ； 当时，， 解得：或， 或； 综上所述：B点坐标为或或； 存在常数m，使得始终成立，理由如下： 设，， 联立方程， 整理得， ，， 直线AB的解析式为，直线AC的解析式为， ，， 过D点作轴交于G点，过点E作轴交于K点， ， ， ， ， ∽， ， ， ， 解得：或  【解析】用待定系数法求函数的解析式即可； 设，则，，，分两种情况讨论：当时，；当时，或； 设，，联立方程，整理得，根据根与系数的关系可知，，直线AB的解析式为，直线AC的解析式为，求出，，过D点作轴交于G点，过点E作轴交于K点，则∽，再由，结合根与系数的关系整理得方程，解得：或 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$