立体几何截面问题（讲义）-2025届高考数学一轮复习讲练（全国通用）

立体几何截面问题 1． 解题的主要思想方法 （1） 若已知两点在同一平面内，只需连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线； （2） 若平面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二个确定的点； （3） 若两个已知点分别在相邻的平面上，应找出这两个平面的交线或与截面的交点； （4） 若两个平行平面中一个平面与截面有交线，另一个平面上只有一个已知点，则按平行平面与第三个平面相交，那么它们的交线互相平行的性质，可得到截面与平面的交线； （5） 若有一点在平面上而不在棱上，则可通过作辅助平面转化为棱上的点的问题；若已知点在几何体内，则可通过辅助平面使它转化为平面上的点，再转化为棱上的点的问题来解决。 2． 作截面的具体步骤 （1） 找截点 方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点；方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点。 （2） 连截线 连接同一平面内的两个截点，成截线。 （3） 围截面 将各截线首尾相连，围成截面。 三．作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 四．应用演练 1.[题目]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,则过P,Q,R的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面图形是 (　 )　　　　　　　　　　 A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 1.D [解析] 如图所示,连接QP并延长,与CB的延长线交于M,且QP的反向延长线与CD的延长线交于N,连接MR,交BB1于E,连接PE,则PQ,PE,RE为截面与正方体的交线,作RG∥PQ,交C1D1于点G,连接NG,交DD1于点F,连接QF,则RG,QF,FG为截面与正方体的交线,故截面为六边形PQFGRE。图： 2.[题目]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,E,F分别是棱AA1,BC的中点,则平面D1EF截该正方体所得的截面图形的周长为 (　 ) A.6 B.10 C.+2 D. 2.D[解析] 取CC1的中点G,连接BG,则D1E∥BG,取CG的中点N,连接FN,D1N,则FN∥BG,所以FN∥D1E, 则直线FN⊂平面D1EF.延长D1E,DA,交于H,连接FH,交AB于点M,连接ME,则平面D1EF截正方体所得的截面图形为五边形D1EMFN,由条件可得A1E=AE=2,AH=4,C1N=3,CN=1,D1E==2,D1N==5, FN==,取AD 的中点Q,连接QF,则AM∥FQ,所以=,所以AM=×FQ=×4=,则MB=,所以ME===,MF===,所以五边形D1EMFN的周长为D1E+EM+MF+FN+ND1=2++++5=.故选D. 如图所示： 3.[题目]如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面 AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为(　　) A. B. C. D. 3.B[解析]如图1，取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1，则EF∥B1D1，B1D1∥BD，所以EF∥BD，故EF，BD在同一平面内，连接ME，因为M，E分别为A1D1，B1C1的中点，所以ME∥AB，且ME＝AB，所以四边形ABEM是平行四边形，所以AM∥BE，又因为BE⊂平面BDFE，AM⊄平面BDFE，所以AM∥平面BDFE，同理AN∥平面BDFE，因为AM∩AN＝A，AM，AN⊂平面AMN，所以平面AMN∥平面BDFE，BD＝B1D1＝，EF＝B1D1＝，DF＝BE＝，等腰梯形BDFE如图2，过E，F作BD的垂线，垂足分别为H，G，则四边形EFGH为矩形，所以FG＝＝=，故所得截面的面积为×＝ 五．总结反思 作截面应遵循的三个原则:①在同一平面上的两点可引直线;②凡是相交的直线都要画出它们的交点;③凡是相交的平面都要画出它们的交线。 学科网（北京）股份有限公司 $$