福建省南平市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题

南平市2023—2024学年第二学期高二期末质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分 考试形式：闭卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名、班级和座号．考生要认真核对答题卡上粘贴条形码“准考证号、姓名”． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂片它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知随机变量，若，则（ ） A． B． C． D． 3．“在上单调递增”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若，，则（ ） A．10 B．20 C．50 D．100 5．已知随机变量X的分布列如下表所示，设，则（ ） X -1 0 1 P n A．5 B． C． D．-3 6．将函数图象上所有的点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到的图象，则（ ） A． B． C． D． 7．将分别标有数字1，2，3、4、5的五个小球A，B，C三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球．若标有数字1和2的小球不放入同一个盒子．则不同方法有（ ） A．72种 B．42种 C．114种 D．36种 8．以表示数集M中最大的数．若，且，则的最小值为（ ） A．4 B． C．3 D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则n的值可能为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 10．已知函数（且）在R上为单调函数，，则（ ） A．实数a的取值范围为 B．当时，的取值范围为 C．函数是周期函数 D．函数与的图象之间关于直线对称的点有无数多对 11．A是轮子（半径为0.5m）外地沿上的一点，若轮子从图中位置（A恰为轮子和地面的切点）向左匀速无滑动滚动，当滚动的水平距离为时，点A距离地面的高度为，则（ ） A．当时，点A恰好位于轮子的最高点 B． C．当时，点A距离地面的高度在下降 D．若，，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量，若，则______． 13．若，则______． 14．若存在实数x使得成立，则实数m的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 已知的展开式中，二项式系数和为64． （1）求展开式中各项系数的和； （2）求展开式中的项． 15．（本题满分15分） 某企业拥有甲、乙两种生产工艺，用这两种生产工艺共生产40件同一类型产品，所得合格品情况如表1，该企业对甲生产工艺研发投入x（亿元）与总收益y（亿元）的数据统计如表2． 表1： 工艺 合格情况 合计 合格品 不合格品 甲 18 20 乙 8 合计 40 表2： 研发投入x（亿元） 1 2 3 4 收益y（亿元） 6.5 7 8 8.5 （1）完成列联表，并根据的独立性检验，能否认为产品合格率与生产工艺有关? （2）用线性回归方程预估当对甲生产工艺研发投入10亿元时，总收益将达到多少亿元？ 附：①，． ②临界值有： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ③参考公式：，． 17．（本题满分15分） 已知函数，为偶函数． （1）求实数a的值； （2）写出的单调区间（不需要说明理由）； （3）若对于任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 18．（本题满分17分） 已知甲盒中装有3个白球，2个黑球；乙盘中装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同． （1）若从两个盒子中一次性各摸出2个球，用X表示摸出的4个球中白球的个数，求X的分布列和数学期望． （2）若先从甲盒中一次性摸出2个球放入乙盒，再从乙盒中摸出一个球． （ⅰ）计算在乙盒中摸出的是黑球的概率； （ⅱ）如果在乙盒中摸出的是黑球，计算甲盒中恰剩一个黑球的概率． 19．（本题满分17分） 函数的定义域为R，若存在非零实数T，对，都有，则称函数关于T可线性分解，已知． （1）若关于T可线性分解，求，； （2）若，关于3可线性分解． （ⅰ）求函数的零点； （ⅱ）对，，求m的取值范围． 南平市2023—2024学年第二学期高二年级期末质量检测 数学参考答案及评分标准 说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．C 2．B 3．A 4．B 5．A 6．C 7．C 8．D 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．BC 10．ACD 11．BCD 三、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分． 12．0.2 13． 14．1 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 【解】（1）因为在的展开式中，二项式系数和为64，所以，解得． 所以的展开式的各项系数和为． （2）展开式的通项为， 令，得， 所以的展开式中的项为． 16．（本题满分15分） 【解】（1） 工艺 合格情况 合计 合格品 不合格品 甲 18 2 20 乙 12 8 20 合计 30 10 40 零假设为：两种工艺生产的配件与合格率无关． 根据列联表中的数据，经计算得到 ． 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为产品合格率与生产工艺有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05． （2）因为，， ，． 所以， 所以， 所以y关于x的线性经验回归方程为：． 令，得， 故预估研发投入10亿元时，收益将达到12.75亿元． 17．（本题满分15分） 【解】（1）因为偶函数，所以，即 整理得：，所以． （2）的单调递减区间为，单调递增区间为． （3）因为为偶函数，且在区间上为增函数， 依题意得，对于任意，不等式恒成立， 因为，所以有， 即对于任意恒成立． 令，则． 令，则． 所以实数k的取值范围为． 18．（本题满分17分） 【解】（1）依题意，X可能的取值为0，1，2，3，4． 当有1种情况，所以， 当有2种情况，所以， 当有3种情况，所以， 当有3种情况，所以， 当有1种情况，所以， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P （2）设事件“从甲盒中摸出2个白球”，事件“从甲盒中摸出1个白球和1个黑球”，事件“从甲盒中摸出2个黑球”，事件“从乙盒中摸出黑球”，则，且，，两两互斥． （ⅰ）根据题意得，，， ，，． 由全概率公式，得 ． 所以在乙盒中摸出的是黑球的概率为． （ⅱ）“如果在乙盒中摸出的是黑球，计算甲盒中恰剩一个黑球的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率． ． 所以在乙盒中摸出的是黑球时，甲盒中恰剩一个黑球的概率为． 19．（本题满分17分） 【解】解法一：（1）若关于T可线性分解， 则，即， 由，得（*）， 若，则k充分大时，将大于2，而的值域为， 故等式（*）不可能成立，所以必有． （2）由（1）知，所以即 因为，所以，，又，所以， 此时，，不符合题意 或，，又，所以， 此时，满足，符合题意 所以． （ⅰ）由已知得，所以或， 因为，不成立，所以，， 所以，， 即函数的零点为（或），． （ⅱ）因， 又周期为3，所以 当，时，． 当，时，． 当，时， ． 所以恒成立，即，所以m的取值范围为． 解法二：（1）若关于T可线性分解，则，即． 所以，则． 由，得， 所以关于x恒成立， 所以，，，即． （2）由（1）知3为函数的一个周期， 所以，，因为，所以，， 又，，，， 因为，所以，所以． 以下同解法一． 学科网（北京）股份有限公司 $$