河南省信阳市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

信阳市2023-2024 学年普通高中高一(下)期末教学质量检测 数学试题 本试卷共 4 页, 19 题, 满分 150 分, 考试时间 120 分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项: 1. 答题前, 先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上, 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答: 每小题选出答案后, 用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答: 用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 4. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 复数 ( 为虚数单位) 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知 是平面, 是直线,下列命题中不正确的是 A. 若 ,则 B. 若 ,则 C. 若 ,则 D. 若 ,则 3. 已知向量 ,若 与 共线且反向,则实数 的值为 A. 2 B. 4 C. -2 D. -2 或 4 4. 甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶 20 次, 命中环数的频率分布条形图如下. 设甲、乙命中环数的众数分别为 ,方差分别为 ,则 A. B. C. D. 5. 已知函数 的部分图象如图所示,若将函数 的图象向右平移 个单位后所得的曲线关于 轴对称, 则 的最小值为 A. B. C. D. 6. 已知 ,则 的最小值是 A. B. C. D. 7. 已知正三棱台 的体积为 ,则 与平面 所成角的正切值为 A. B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知边长为 2 的菱形 中,点 为 上一动点,点 满足 , 则 的最大值为 A. 0 B. C. D. 3 二、多项选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 一个平面截正方体所得的截面图形可以是 A. 等边三角形 B. 正方形 C. 梯形 D. 正五边形 10. 若 ,则下列结论正确的是 A. B. C. D. 11. 在锐角 中,设 分别表示角 对边, ,则下列选项正确的有 A. B. 的取值范围是 C. 当 时, 的外接圆半径为 D. 若当 变化时, 存在最大值,则正数 的取值范围为 三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 12. 若函数 在 上为增函数,则实数 的取值范围是____________. 13. 已知函数 是偶函数,对任意 ,均有 ,当 时, , 则函数 的零点有____________个. 14. 已知正方体 的棱长为 2 . 以 中点为球心, 为半径的球面与侧面 的交线长为____________. 四、解答题: 本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知 . (1) 求 与 的夹角; (2) 若 在 方向上的投影向量为 ,求 的值. 16. (本小题满分 15 分) 在 中,内角 的对边分别为 的面积为 ,已知 ,且 . (1) 求 ; (2) 求 的取值范围. 17. (本小题满分 15 分) 为迎接冬季长跑比赛, 某校对全体高二学生举行了一次关于冬季长跑相关知识的测试, 统计人员从高二学生中随机抽取 100 名学生的成绩作为样本进行统计, 测试满分为 100 分, 统计后发现所有学生的测试成绩都在区间 内,并制成如图所示的频率分布直方图. (1) 估计这 100 名学生的平均成绩; (2) 若样本中在区间 内的学生测试成绩的平均数和方差为 74 和 26,在区间 内的学生测试成绩的平均数和方差为 89 和 106 , 据此估计在 内的所有学生测试成绩的平均数和方差. 18. (本小题满分 17 分) 已知函数 ,求: (1) 的最小正周期及最大值: (2) 若 且 ,求 的值; (3) 若方程 在 有两个不等的实数根,求 的取值范围. 19. (本小题满分 17 分) 在直角梯形 中, (如图 1),把 沿 翻折,使得 平面 ,连接 分别是 和 中点 (如图 2). 图1 图2 图3 (1) 证明: 平面 平面 ; (2) 记二面角 的平面角为 ,当平面 平面 时,求 的值; (3) 若 分别为线段 与 上一点,使得 (如图 3),记异面直线 与 所成的角为 ,异面直线 与 所成的角为 ,求 的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2023一2024学年普通高中高一（下）期末教学质量检测 数学参考答案 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A B A A B D ABC BC ACD 1.D解析：，= 1+23_1-2i_(1-2i)(1+i)_3-i_3_ 1-i 1-i(1-i)(1+i) =22一2复数x在复平面内对应的，点 的坐标是（侵，一》，位于第四象限，故选D 2.A解析：对于A:若m∥a,a∩3-n,则m∥n或m与n异面，故A错误：对于B:两条平行线中 的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故若m∥n,m⊥，则n⊥a,故B正确：对 于C:垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故若m⊥a,m⊥B,则a∥B,故C正确：对于D:根 据面面垂直的判断定理可知，若m⊥a,mC3,则a⊥3，故D正确：故选A. 3.B解析：由向量m=(2,),n=(2-入，-4)共线，得1(2一)=一8，解得入=一2或1=4，当入 =一2时，m=(2,一2)，n=(4,一4)，m与n同向，不符合题意，当入=4时，m=(2,4),n=(一2， 一4)，m与n反向，符合题意，所以实数入的值为4.故选B. 4.A解析：根据图表知，甲、乙命中环数的众数均为7环，则Zm一Z,:甲运动员命中的环数比较 分散，乙运动员命中的环数比较集中，则>s是，故选A. 5.A解析：由八)=1，得si(票十g)=号，又点（受，）及腊近点从左到右是上升的，则子如十 9=年+2，k∈，由(）)=0，点(，0）及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图 象相邻，得g十9=元十2km,k∈Z,联立解得u=2,9=一至十2kx,k∈么，而9<受，于是9 -平f(x)=2sin(2x-),若将画数八x)的图象向右平移0(0>0)个单位后，得到y=sin (2x一20-)，则-20--受-kx,k∈么而0>0，周北0=-+经A∈N,所以当及=1时， 日取得最小值为.故选A. 6.C解析：由3cos(a十3)=3 cosacos3-3 sinasin3=cosacos3,得2 cosacos3=3 sinasin3,因为a,3∈ (o,受，所以tanetang-号，且iana>0,tang>0,tana十B》=1ana+ian2 =3(tana+tan3)≥3： 1-tanatang 2,√1 anatan=-26,当且仅当1ana=tang取等号.故选C 2023一2024学年普通高中高一（下）期末教学质量检测数学参考答案第1页共6页 7.B解析：分别取BC,B,C,的中点D,D1,则AD=33,AD1=3,可 知5a=号×6X6×9-9.SA6=号×2X厚=原，设正三技 台ABC-A,B,C的为A,剥V-AE=号(g5+5+0BX月h -号解得A=如图，分别过A,D作底面垂线，垂足为M.N,夜AM=,则AA, AMFAM-.DN-AD-AM-MN-2-.DD -/DND.N- 2,-zP+5,结合等腰梯形BCCB,可得BB=(+DD,即+9=(23-z 十号+4：解得=5，所以AA与年面ABC所成商的正切值为an∠AAD- 3 AM-1. &.D解析：由BE=3EC,可得BE=BC,设∠DAB=,可得AE.BD =(AB+BE)·(AD-AB)=AB.AD-A店+BC.AD-3AD ·A店-}×2×2co0-4+子·4=o0-1=-7,所以c0s0=号，因 为0E[0,J,所以0=零，以AC与BD交点0为原点，以AC,BD所在的直线分别为x轴和y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(-,0,E3,-》B0,-1D,设F0,,且-1 ≤11，则A=(BE-(35,引A.BE=是+，当1=1时.(A.B)-是+ 44 =3.故选D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分 9,ABC解析：对于A,戴面是正三角形，如图甲所示，故A正确；对于B,戴面可能是正方形，如 图乙所示，故B正确：对于C,裁面可能为梯形，如图丙所示，故C正确：对于D,裁面有可能是 五边形，如图丁所示，但截面五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等，截面五边形不 可能是正五边形，故D错误：故选ABC. 乙 内 10.BC解析：对于A:0<a<1,幂函数y=x在(0，+∞)上单调递增，且b>c>1,.b>c, 故选项A错误：对于B:,0<a<1,.函数y=logx在(0，十∞)上单调递减，文，b>c>1, logb<1og.c<1og1=0,“0>0gc0ga即0>loga>loga,故B正确：对于选项C于 2023一2024学年普通高中高一（下）期末教学质量检测数学参考答案第2页共6页 ,0<a<1,则a一1<0，，幂函数y=x-1在(0，十o∞)上单调递减，且b>c>1,∴.b-1<c“-1, cb<bc,故选项C正确：对于选项D:由选项B可知：0>loga>loga,.0<一loga< -loga,,b>c>1,.c(-loga)<b(-loga),.blog.a<clog6a,故D错误.故选BC. 11.ACD解析：对于A:a=1,且bcosA一cosB=1,即bcosA一acosB=a,由正弦定理得： sinBcosA-sinAcosB=sinA,即sin(B-A)=sinA,..B-A=A或B-A+A=r(舍去)， '.B=2A,故A正确：对于B:由正弦定理 b 04=3mB'则b三sim追-s1nB=si2A=2co8A sinA sinAsinA 0<A<受 0KA<受 :△ABC为锐角三角形，则0<B<受，即0<2A<受 ,答<A<,所以6=2c0sA∈ 0<< 0<x-3A<7 (2,3),故B不正确：对于C:b=2cosA且b= 号c0A=所以5nA=,由正孩定理 a,=2B.卖得R=27.即△ABC的外接圆半径为7故C止朔：对于D:sinB一2Asin2A 7 =sin2A-2asinA=sin2A-(1-cos2A)=sin2A+Acos2A-=1+sin (2A+)-, tang=入，：晋<A<开，即5<2A<受：要使得sinB-2以sinA有最大值，即/1+in(2A十p) -入有最大值，此时，当sim(2A十p)有最大值时，即2A十9=2时W+Xsin(2A十p)-入有最 大准为1+不-，此时g=吾-2AA=1ang=an(经-2A)=a品A又号<2A<受iam2A >0A号以的取维范周为0，号）长D正确，故选ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.0<w2 解析：y=anor在[一开，上为严格增画数，则w>0,由于x∈[一开引，则or ∈[]，故[-紧=(-受》，国此℉<受，解得0<u<2,故答案为0<<2 13.4解析：函数f(x)是偶函数，说明函数f(x)的图象关于y轴对称，f(x)=f(x十2)说明 f(x)的周期是2，在同一平面直角坐标系中画出函数y=(x)的图象与y=log5(x十1)的图 象，如图所示： y=logs(x+l) 2 1234567x 如图所示，共有4个不同的交点，即g(x)=f(x)一l0g(x十1)有4个零点.故答案为4. 2023一2024学年普通高中高一（下）期末教学质量检测数学参考答案第3页共6页 14.号解析：取BB,中点E.CC中点F,BC中点GAD,中点O由题 D 意可得，AE=D,F=√2+1=5，OE=OF=√(5)+1=6，在平面 B,BCC内取一点P,使得GP=√2，则OP=√2十(2)=√6，且GE= GF=√2，所以以AD1中点为球心，√6为半径的球面与侧面BBCC的 交线是以G为圆心，N2为半径的圆孤EPF,且∠B,GE=∠CGF=45°，则∠EGF=90°，则圆 孤EPF的长为×2xX反-号，故答案为：号 四、解答题：本大题共5小题，共77分 15.解：(1)(2a-3b)·(2a+b)=13,.4a2-4a·b-3b2=13,即64-4a·b-27=13, a·b1 ∴.a·b=6,.cos(a,b》= b2…（4分） (a,b》=609.… …(6分) b (2).'c=a cos(a,b)- b3 …（9分) c·(a+b)=名b.(a+b)=号 3 5a…b+号6=4+6=10.…(13分) 31 16.解：(1)国为S=absinC,a2+6=45S+4,所以a2+6=23 iabsinC-+4,…（2分) 在△ABC中，由余弦定理，得a2+b一c2=2 abcosC, 因为c=2,所以a”十b=4十2abc0sC,…… *……“…………（4分) 所以oC-原sinC,所以ianC-因为Ce0,x,所以C-吾 6 …(7分） (2)在△ABC中，由正孩定理，得品BC=4 b 所以3b-a=45sinB-4sinA……(9分) =4/3sin(A)-4sinA=2/3cosA+2sinA=4sin(A+) …(11分) 因为A∈(o,爱，所以A+∈（停石），所以sim(A+）∈(2l 所以√3b-a∈(-2,4]，即、3b-a的取值范围为(-2,4].…(15分) 17.解：(1)由图表可知，这100名学生的平均成绩为10×(45×0.005十55×0.02十65×0.025十 75×0.03十85X0.015+95×0.005)=69.5分……(5分) (2)在区间[70,80)内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26， 区问[70,80)的学生频率为0.03×10=0.3， 在区间[80,100]内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106， 2023一2024学年普通高中高一（下）期末教学质量检测数学参考答案第4页共6页 区间[80,100]的学生频率为(0.015+0.005)×10=0.2， 所以在70,10]内的所有学生涮试成绩的平均数为74☒。，3十02士89×。，0,2244,4曰 0.3 35.6=80,……(10分) 方差为3×[26+(74-80)]+号×[106+(89-80)门=37.2+74.8=12 …(15分) 18.解：：fx)=cos2rsim2x+2cos4r=in4r+os4r=in4x+） ……(2分) 所以，函数f(x)的最小正周期为T=2不=西 4 2 …(4分) 最大值为f(x)x= ② )年9”。车年年年年年et中年年。年44年4年。0e年年4年年。 (2)a∈（x小，则<4a+<1 44 fo=号nia+）=号，可得sna+）=14a+-受解得e=语…(1分) (3)当e0,]时，≤4+<令u=4r+，则<< 由/）-8+1=0可释2m-1=/).申2m-1=号n,中，2(2m-1D=n, ………………………(13分） 所以，直线y=2(2m-D与南线y=siw在u∈[任，5可 上的图象有两个交点，如下图所示： y=22m-l) 2 2 由上图可知，当≤2(2m-1)<1时，即当3≤m<2+2时， 4 4 直线y=2(2m一1)与曲线y=sinu在u∈ [工，5π上的图象有两个交点， 44 因此，实数m的取值范围是3,2十2 …(17分) 44 19.解：(1)因为AB=AD,且点M是BD的中点，所以AM⊥BD, .(1分) 因为△ABD是等腰直角三角形，BD=2,BD=2√2，∠CBD=45°， 则DC=JBD十BC-2BD·BC·cos45°=2， 则BD十DC2=BC2,得BD⊥DC,…(3分) 2023一2024学年普通高中高一（下）期末教学质量检测数学参考答案第5页共6页 因为点M,N分别是BD,BC的中点，所以MN∥DC,即BD⊥MN, AM∩MN=M,且AM,MNC平面AMN, 所以BD⊥平面AMN,且BDC平面BCD, 所以平面BCD⊥平面AMN:……(5分) (2)因为平面BCDL平面ABD,且平面BCD∩平面ABD=BD, 因为AM⊥BD,所以AM⊥平面BCD, 取BN的中点E,连接ME,AE, 因为DB=DC,则DN⊥BC,ME∥DN, 所以ME⊥BC, 所以∠AEM为二面角A一BC一D的平面角0，…(8分) a0-0=手2…分 (11分) 2 (3)在BN线段取点R,使得品器-08-Aa∈R, RN 从而易得PR∥AN且RQ∥BD,01=∠PQR,02=∠QPR,…(13分) 另一方面，AM⊥BD,MN⊥BD,从而0=∠AMN, 所以AM⊥BD,MN⊥BD,AM∩MN=M,AM,MNC平面AMN, 所以BD⊥平面AMN,ANC平面AMN, 所以BDLAN,因为PR∥AN,RQ∥BD,所以∠PRQ=, 从而8+8=受， …*+…+…+… (15分) 则sin9,+sin4,=sin9,十cos9,=2sin(9,+T）∈(1，w2]. ………(17分) 2023一2024学年普通高中高一（下）期末教学质量检测数学参考答案第6页共6页