精品解析： 山东省威海乳山市（五四制）2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题

初三数学 亲爱的同学： 你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟． 2．不允许使用计算器． 3．本次考试另设10分卷面分． 希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！ 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 下列各式中，化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值为（ ） A B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点P在的边上，，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可取得的最大整数值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 6. 将两个完全相同的直尺如图叠放在一起，则重合部分的四边形必定是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 7. 如图，在宽10米、长22米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为160平方米．设道路的宽为x米，可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的边长为2，点E，F分别在上，是等边三角形，则（ ） A. B. C. D. 9. 若a，b，c满足，则关于x的方程的两个根的平方和是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 10. 如图，四边形中，，，，，若，，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果） 11. 若有意义，则x取值范围是_______． 12. 如图，矩形的对角线交于点O，，若，则_______． 13. 图1中菱形两条对角线长分别为和，将其沿对角线裁分为四个三角形，将这四个三角形无重叠地拼成如图2所示的图形，图中间的小四边形的面积等于_____． 14. 若m，n是方程的两个根，则的值为_____． 15. 如图，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若点A的坐标为，则点F的坐标为________． 16. 若，，且，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，写出必要的运算、推理过程） 17. 计算： 18. 配方法解方程：． 19. 某全国连锁店的一件特色商品的年销售量y（万件）与售价x（元）间的函数关系为．连锁店统计人员发现：每卖出一件特色商品的成本为20元．连锁店想通过提高售价的方式获得11500万元的年利润，从顾客的角度考虑售价定为多少元比较合理？ 20. 如图，点E在的对角线上，，连接．写出四边形的形状，并说明理由． 21. 图Ⅰ是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图Ⅱ是求大拇指高度的示意图．如图Ⅱ，在C处放置一根高度为2m且与地平线垂直的竹竿，点A，I，D在同一直线上，测得为．将竹竿3m平移至E处，点A，G，F在同一直线上，测得为．求大拇指的高度． 22. 已知关于的一元二次方程 (为实数且)． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 23. 【问题情境】为了研究矩形折叠过程中的数学问题和有关结论，数学综合与实践小组的同学进行了如下的研究性学习． 已知：四边形是矩形，点E在边上，沿折叠矩形，点C落在点H处，连接． 【探究发现】（1）如图Ⅰ，点H在边上． ①下列三个结论，正确有 ；（填写序号） A．垂直平分, B． C．若点Q，H关于对称，则四边形是菱形 ②若点H是AB的中点，求证：． 【问题拓广】（2）如图Ⅱ，点E是的中点，点H在矩形内部，延长，分别交于点G，N，F． ③求证：； ④若，求的长． 24. 如图，在中，，点D在边上，连接．点M在边上，连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点E，与边交于点F． （1）求的长； （2）若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初三数学 亲爱的同学： 你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟． 2．不允许使用计算器． 3．本次考试另设10分卷面分． 希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！ 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 下列各式中，化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和同类二次根式，熟记同类二次根式的定义是解题的关键．先根据二次根式的性质进行化简，然后逐项判定即可． 【详解】解：A．与不能合并，故本选项不符合题意； B．与不能合并，故本选项不符合题意； C．与不能合并，故本选项不符合题意； D．与能合并，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据得到，再逆用同分母分式加减的法则即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】本题考查了分式的加减等知识，理解同分母分式加减法则并根据题意正确逆用是解题关键，本题也可以根据比例的性质求解． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的乘除运算、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据二次根式的加减运算、二次根式的乘除运算、二次根式的混合运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能加减，故该选项不符合题意； B. ，故该选项错误，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项错误，不符合题意． 故选C． 4. 如图，点P在的边上，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，三角形内角和定理． 根据相似三角形的对应角相等得到，进而根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可取得的最大整数值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据判别式即可求出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且 ∴且， ∴的最大整数值为， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式． 6. 将两个完全相同的直尺如图叠放在一起，则重合部分的四边形必定是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，首先根据，，得出四边形是平行四边形，再过点A作于E，作于F，两把直尺完全一样可以得到，通过等面积法可以得到，从而证明四边形是菱形． 详解】解：由题可知，， ∴四边形是平行四边形， 过点A作于E，作于F，如图所示， ∵两把直尺完全一样， ∴ ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 故选B 7. 如图，在宽10米、长22米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为160平方米．设道路的宽为x米，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设道路的宽为x米，根据草坪的面积为160平方米，列出方程即可． 【详解】解：设道路的宽为x米，根据题意得： ， 故选：A． 8. 如图，正方形的边长为2，点E，F分别在上，是等边三角形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，证明，得到，设，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 设，则：，， 在中，， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）； 故选B． 【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程以及二次根式的运算，熟练掌握相关知识点，利用勾股定理列方程，是解题的关键． 9. 若a，b，c满足，则关于x的方程的两个根的平方和是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，根据题意，得到方程的两个根为和，进而求出两个根的平方和即可． 【详解】解：∵a，b，c满足， ∴关于x的方程的两个根分别为和， ∴； 故选C． 10. 如图，在四边形中，，，，，若，，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，证明，得出，证明，得出，即可得出，求出，根据，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果） 11. 若有意义，则x取值范围是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，掌握二次根式和分式有意义的条件成为解题的关键．根据分式及二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，解得：． 故答案为：． 12. 如图，矩形的对角线交于点O，，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握矩形的性质成为解题的关键． 根据直角三角形的性质可得，再根据矩形的性质说明，根据等腰三角形的性质可得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵矩形的对角线交于点O， ∴, ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 图1中菱形的两条对角线长分别为和，将其沿对角线裁分为四个三角形，将这四个三角形无重叠地拼成如图2所示的图形，图中间的小四边形的面积等于_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半，求出图1菱形的面积，再根据菱形的对角线长可得菱形边长为5，进而可得图2中间的小四边形的面积是边长为5的正方形的面积减去菱形的面积． 【详解】解：∵图1中菱形的两条对角线长分别为6和8， ∴菱形的面积=×6×8=24，菱形的边长， ∴图2中间的小四边形的面积=25-24=1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了图形的剪拼、菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 14. 若m，n是方程的两个根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解以及根与系数的关系，根据一元二次方程的解结合根与系数的关系，找出，是解题的关键．得出，，再将所求的式子整理，代入相应的值即可求出结论． 【详解】解：，是方程的两个根， ，， 即，， ， ． 故答案为：． 15. 如图，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若点A的坐标为，则点F的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似变换、坐标与图形性质、正方形的性质．掌握位似变换的基本性质是解题的关键． 根据位似变换的性质得到，且，根据，得到，得到，得到，根据相似三角形的性质求出即可得到答案． 【详解】∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∵相似比为， ， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点F的坐标为． 故答案为：． 16. 若，，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、轴对称的性质、最短路径等知识，理解题意，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．建立平面直角坐标系，设，，点是点关于原点的对称点，连接交轴于点，过点作轴于点，过点作，交延长线于点，再设，，则有，当点三点共线时，取最小值，即取最小值，然后求解即可． 【详解】解：如下图，建立平面直角坐标系，设，，点是点关于原点的对称点，连接交轴于点，过点作轴于点，过点作，交延长线于点， ∵，， ∴，， 设，， 则有， ∴，， 当点三点共线时，取最小值，即取最小值， 此时， 即的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，写出必要的运算、推理过程） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：本题涉及实数运算、二次根式化简等多个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 试题解析：原式=（4-4×+6）÷2=（4+4）=2+2． 考点：实数的运算． 18. 配方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简，开方即可求出解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握配方法依据：完全平方公式是解本题的关键． 19. 某全国连锁店的一件特色商品的年销售量y（万件）与售价x（元）间的函数关系为．连锁店统计人员发现：每卖出一件特色商品的成本为20元．连锁店想通过提高售价的方式获得11500万元的年利润，从顾客的角度考虑售价定为多少元比较合理？ 【答案】从顾客的角度考虑售价定为70元比较合理 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据连锁店想通过提高售价的方式获得11500万元的年利润，列出方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得． 解得，，． 售价定为250元太高，故舍去． 答：从顾客的角度考虑售价定为70元比较合理． 20. 如图，点E在对角线上，，连接．写出四边形的形状，并说明理由． 【答案】菱形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定，根据平行四边形的性质，推出，进而推出，得到，证明四边形是平行四边形，得到，进而得到，推出四边形是平行四边形，再根据，即可得出结论． 【详解】解：菱形． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴是菱形． 21. 图Ⅰ是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图Ⅱ是求大拇指高度的示意图．如图Ⅱ，在C处放置一根高度为2m且与地平线垂直的竹竿，点A，I，D在同一直线上，测得为．将竹竿3m平移至E处，点A，G，F在同一直线上，测得为．求大拇指的高度． 【答案】大拇指的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 分别证明、可得、，进而得到可得；最后将代入求得的值即可解答． 【详解】解：由题意可得：， ∴． ∴． 由题意可得：， ∴． ∴． ∵， ∴，即，解得：． 将代入，得．解得． ∴大拇指的高度为． 22. 已知关于的一元二次方程 (为实数且)． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 【答案】(1)证明见解析；(2)或． 【解析】 【分析】（1）求出△的值，再判断出其符号即可； （2）先求出x的值，再由方程的两个实数根都是整数，且m是正整数求出m的值即可． 【详解】(1)依题意，得 ， ， ． ∵， ∴方程总有两个实数根． (2)∵， ∴，． ∵方程的两个实数根都是整数，且是正整数， ∴或． ∴或． 【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac的关系是解答此题的关键． 23. 【问题情境】为了研究矩形折叠过程中的数学问题和有关结论，数学综合与实践小组的同学进行了如下的研究性学习． 已知：四边形是矩形，点E在边上，沿折叠矩形，点C落在点H处，连接． 【探究发现】（1）如图Ⅰ，点H在边上． ①下列三个结论，正确的有 ；（填写序号） A．垂直平分, B． C．若点Q，H关于对称，则四边形是菱形 ②若点H是AB的中点，求证：． 【问题拓广】（2）如图Ⅱ，点E是的中点，点H在矩形内部，延长，分别交于点G，N，F． ③求证：； ④若，求的长． 【答案】（1）①A，B；②详见解析；（2）③详见解析，④ 【解析】 【分析】（1）①根据矩形与折叠的性质证明得到、即可判定A；证明，根据相似三角形的性质可判定B；根据对称的性质可得，但不能说明,即四边形不一定是菱形，可判定C；②证明，根据相似三角形的性质及已知条件即可证明结论；③先证明可得，再根据矩形的性质、对顶角相等、平行线的性质可得，即，进而证明结论；④由勾股定理可得，进而得到，设为x，则．然后在中，运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：（1）①如图：∵沿折叠矩形，点C落在点H处，点H在边上， ∴，, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分,即A正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即B正确； ∵点H是AB的中点， ∴垂直平分, ∴, 不能说明,即四边形不一定是菱形，即C错误． 故答案为：A，B． ②∵，点H是的中点， ∴, ∵， ∴，即， ∵， ∴． （2）③如图：连接， ∵点E是的中点， ∴， ∵沿折叠矩形，点C落在点H处， ∴，, ∴,， ∵， ∴． ∴． ∵ ∵， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ④在中，， ∴． 设为x，则． 在中，， ∴，解得：． ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 24. 如图，在中，，点D在边上，连接．点M在边上，连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点E，与边交于点F． （1）求的长； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）先证可得，进而求得，然后根据线段的和差即可解答； （2）由折叠可得：．再证可得，进而得到，再根据平行线等分线段定理可得进而得到；设，则，再证明，最后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴,即,,解得:． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：由折叠可得：． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴．即，解得： ． ∴． ∵， ∴,即，解得: ． 设，则． ∵， ∴． ∴．即，解得． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$