精品解析：江苏省南通市海安市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023~2024学年度第二学期学业质量监测 八年级数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡指定的位置． 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符4.答案必须按要求书写在答题卡上，在草稿纸、试卷上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各组数，能作为直角三角形三边长的是（    ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 1，1，2 D. 4，6，7 2. 菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：36，39，35，38，则这组数据的中位数是（ ） A. 35 B. 36 C. 37 D. 39 3. 若，则一元二次方程必有一个根是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 4. 在一个不透明的袋子中装有1个黄球，2个红球，3个黑球，这些球除颜色外其他都相同，从袋子中随机取一个球，是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论不正确的是（ ） A. 当时，四边形是矩形 B. 当且时，四边形是正方形 C. 当平分时，四边形是菱形 D. 当时，四边形是矩形 6. 关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数与的图象如图所示，甲、乙两位同学给出以下结论： 甲：方程的解是； 乙：当时，． 下列判断正确的是（ ） A. 甲正确，乙错误 B. 乙正确，甲错误 C. 甲，乙都正确 D. 甲，乙都错误 8. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，且对角线，，则纸条的宽度是（ ） A. B. 5 C. D. 9. 如图，点分别是正方形四条边上的点，相交于点，且，，，，则四边形与四边形的面积之和为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 16 10. 已知函数，当时，函数有最大值为，则n的值为（ ） A 1 B. C. 或1 D. 或或1 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 正比例函数，当时，，则k的值为________． 12. 若a是一元二次方程的一个根，则的值是________． 13. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：“令有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺（1尺）．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？”设绳索长为x尺，则根据题意可列方程为__________． 14. 已知一组数据，，…，的方差是5，则数据，，…，的方差是________． 15. 将直线向下平移后得到直线l，若直线l经过点，且，则直线l的解析式为________． 16. 如图，正方形的边长为8，点在边上，，将边沿翻折得到线段，连接并延长交于点，则线段的长为________． 17. 已知一次函数，若对于范围内任意自变量x值，其对应的函数值y都小于3k，则k的取值范围是________． 18. 如图，菱形的边长为6，，对角线相交于点O，动点E从点D沿运动到点O，连接，在直线左侧作正方形，则点G运动的路径长为________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 某校举办“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理、分析，给出如下部分信息： 【收集数据】甲班10名学生竞赛成绩：85、78，86，79，72，91，79，71，70，89 乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81 整理数据】 班级 甲班 6 3 1 乙班 4 5 1 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 甲班 80 a b 乙班 80 80 80，85 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________； （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由； （3）甲班共有学生45人，乙班共有学生40人，按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 21. 3月15日是国际消费者权益日，广东各地开展“3·15”消费维权活动，重拳出击，推进高质量发展，营造良好消费环境．图①是某品牌婴儿车，图②为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 22. 为保障旅客快捷、安全的出入车站，海安火车站修建了四个自动检票口，分别记为A、B、C、D．当甲、乙两名乘客通过该站检票口时，请回答下列问题： （1）甲通过A检票口的概率是________； （2）用树状图或列表法求甲、乙两名乘客选择不同检票口通过的概率． 23. 如图，在矩形中，，相交于点，过点，分别作，，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 24. 某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利（元）． （1）求与之间的函数关系式； （2）求与之间的函数关系式； （3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元，商品要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ 25. 如图，在矩形中，，E为边上一点，点P在线段上，且满足，延长交边于点M． （1）若点E为的中点，线段的长为________（用含a的代数式表示）； （2）连接，若，求证； （3）当，时，求最小值． 26. 在平面直角坐标系中，点在直线上． （1）直线与轴交点坐标为________； （2）矩形的顶点分别轴，轴上． ①当，时，求矩形的面积； ②若使矩形的面积为4的点恰好有4个，试求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年度第二学期学业质量监测 八年级数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡指定的位置． 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符4.答案必须按要求书写在答题卡上，在草稿纸、试卷上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各组数，能作为直角三角形三边长的是（    ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 1，1，2 D. 4，6，7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】A． ，， ， 以2，3，4为边不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； B． ，， ， 以3，4，5为边能构成直角三角形，故该选项符合题意； C． ，， ， 以1，1，2为边不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； D． ，， ， 以4，6，7为边不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：D． 2. 菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：36，39，35，38，则这组数据的中位数是（ ） A. 35 B. 36 C. 37 D. 39 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了确定一组数据的中位数的能力，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据数据的个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．把所给数据按照由小到大的顺序排序，再求出中间两个数的平均数即可． 【详解】把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为35，36，38，39 ∴中位数： 故选：C． 3. 若，则一元二次方程必有一个根是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，掌握方程的解使方程左右两边相等是解题的关键． 由可知令即成立，则可求出答案． 【详解】∵ ∴ ∴方程必有一根为． 故选：C． 4. 在一个不透明的袋子中装有1个黄球，2个红球，3个黑球，这些球除颜色外其他都相同，从袋子中随机取一个球，是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，根据概率等于所求情况数与总情况数之比计算即可得出答案． 【详解】解：∵在一个不透明的袋子中装有1个黄球，2个红球，3个黑球，这些球除颜色外其他都相同， ∴从袋子中随机取一个球，是红球的概率为， 故选：C． 5. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论不正确的是（ ） A. 当时，四边形是矩形 B. 当且时，四边形是正方形 C. 当平分时，四边形是菱形 D. 当时，四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定等知识点，理解和掌握相关判定定理成为解题的关键． 根据已知及各个四边形的判定逐项判定即可． 【详解】解：A、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即该选项正确，不符合题意； B、根据对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形，即该选项正确，不符合题意； C、根据对角线平分一组对角的的平行四边形是菱形，即该选项正确，不符合题意； D、根据对角线垂直的平行四边形是菱形，即该选项错误，符合题意． 故选：D． 6. 关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质；由一次函数性质得，，，求解即可． 【详解】解：∵y随x的增大而增大， ∴． ∴． ∵图象与y轴的交点在原点下方， ∴． ∴． ∴． 故选：C． 7. 一次函数与的图象如图所示，甲、乙两位同学给出以下结论： 甲：方程的解是； 乙：当时，． 下列判断正确的是（ ） A. 甲正确，乙错误 B. 乙正确，甲错误 C. 甲，乙都正确 D. 甲，乙都错误 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式，由一次函数与的图象的交点的横坐标为即可判断甲，结合图象即可判断乙，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数与的图象的交点的横坐标为， ∴方程的解是，故甲正确； 由图象可得，当时，，故乙错误； 故选：A． 8. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，且对角线，，则纸条的宽度是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，菱形面积的两种计算方式，掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 作，垂足为，作，垂足为，设与相交于点，根据菱形的判定与性质可知、，最后利用菱形面积的两种表示方法即可解答． 【详解】解：作，垂足为，作，垂足为，设与相交于点， ∵两张等宽的纸条，，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是菱形， ， ， ， ， 故纸条的宽是； 故选：C． 9. 如图，点分别是正方形四条边上的点，相交于点，且，，，，则四边形与四边形的面积之和为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理，证明出四边形、是正方形，再结合勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵，， ∴，，， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴四边形、、均为矩形， ∴，， ∵， ∴四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴四边形与四边形的面积之和为， 故选：D． 10. 已知函数，当时，函数有最大值为，则n的值为（ ） A. 1 B. C. 或1 D. 或或1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答． 根据题意，利用分类讨论的方法，可以求得的值． 【详解】解：∵函数，当时，函数有最大值为， ∴当时，，此时时，取得最大值，即，得(不合题意，舍去)； 当时，时，取得最大值，此时，得(不合题意，舍去)； 当时，，此时时，取得最大值，即，得； 由上可得，的值为1， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 正比例函数，当时，，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 根据题意将，代入解析式，待定系数法求解析式即可求解． 【详解】解：正比例函数，当时，． ， 解得：． 故答案为：． 12. 若a是一元二次方程的一个根，则的值是________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想的应用是本题的关键． 根据一元二次方程解的定义可得，再整体代入求代数式即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， 把代入得，．即． ∴． 故答案为：4． 13. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：“令有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺（1尺）．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？”设绳索长为x尺，则根据题意可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设绳索长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】设绳索长为尺， 可列方程为：， 故答案为：． 14. 已知一组数据，，…，的方差是5，则数据，，…，的方差是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求方差，设原数的平均数为，则数据，，…，的平均数为，分别表示出原数的方差和现在数据的方差，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，设原数的平均数为，则数据，，…，的平均数为， ∴原数的方差为， ∴数据，，…，的方差为， 故答案为：． 15. 将直线向下平移后得到直线l，若直线l经过点，且，则直线l的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，求一次函数解析式，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题关键． 先根据平移的性质，得到直线的解析式为，再将点代入，得到，进而求出，即可得到直线的解析式． 【详解】解：设直线向下平移个单位后得到直线， ∴直线的解析式为， ∵直线经过点， ， ， ， ， ∴直线的解析式为 故答案为：． 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长为8，点在边上，，将边沿翻折得到线段，连接并延长交于点，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理，由正方形的性质得出，，由折叠的性质可得：，，，证明，得出，设，则，，最后再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠性质可得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 17. 已知一次函数，若对于范围内任意自变量x的值，其对应的函数值y都小于3k，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数解析式得出随的增大而减小，当时，，结合题意得出，解不等式即可得出答案，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数中，自变量的系数为， ∴随的增大而减小， 当时，， 即对于时，函数值y小于， ∴， 解得：， 故答案为：． 18. 如图，菱形的边长为6，，对角线相交于点O，动点E从点D沿运动到点O，连接，在直线左侧作正方形，则点G运动的路径长为________． 【答案】 【解析】 【分析】作出正方形，将线段绕点A顺时针旋转到，连接，利用菱形的性质结合勾股定理求出，证明，得到，由为定角，推出点在直线上运动，且路径长为的长度，再根据点E在上运动，即可得到的长度范围，进而得到点G运动的路径长． 【详解】解：如图，作出正方形，将线段绕点A顺时针旋转到，连接， 四边形是边长为6的菱形，， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， 由旋转的性质得到， ， ， 为定角， 点在直线上运动，且路径长为的长度， 点E在上运动，即， 点G运动的路径长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点轨迹问题，旋转的性质，菱形的性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （1）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 20. 某校举办“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理、分析，给出如下部分信息： 【收集数据】甲班10名学生竞赛成绩：85、78，86，79，72，91，79，71，70，89 乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81 【整理数据】 班级 甲班 6 3 1 乙班 4 5 1 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 甲班 80 a b 乙班 80 80 80，85 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________； （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由； （3）甲班共有学生45人，乙班共有学生40人，按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 【答案】（1）79，79 （2）见解析 （3）42人 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，平均数，方差，用方差判断稳定性，用样本估计总体等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据中位数，众数的定义进行求解即可； （2）根据中位数及众数进行求解即可； （3）分别用甲乙两个班的人数乘以样本中对应班级成绩在80分及以上的人数占比即可得到答案； 【小问1详解】 解：甲班成绩从小到大排列为：70，71，72，78，79，79，85、86，89，91， 故可得：中位数，众数， 故答案为：79，79； 【小问2详解】 解：乙班成绩比较好， 理由如下： 两个班的平均数相同，乙班的中位数、众数高于甲班，所以乙班成绩比较好； 【小问3详解】 解：(人)， 答：估计这两个班可以获奖的总人数大约是42人． 21. 3月15日是国际消费者权益日，广东各地开展“3·15”消费维权活动，重拳出击，推进高质量发展，营造良好消费环境．图①是某品牌婴儿车，图②为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】该车符合安全标准，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和它的逆定理，先在 中,根据勾股定理求出的值，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形即可．熟练掌握勾股定理和它的逆定理是解题的关键． 【详解】在 中，由勾股定理，得， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴该车符合安全标准． 22. 为保障旅客快捷、安全的出入车站，海安火车站修建了四个自动检票口，分别记为A、B、C、D．当甲、乙两名乘客通过该站检票口时，请回答下列问题： （1）甲通过A检票口的概率是________； （2）用树状图或列表法求甲、乙两名乘客选择不同检票口通过的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵海安火车站修建了四个自动检票口，分别记为A、B、C、D． ∴甲通过A检票口的概率是； 【小问2详解】 解：画出树状图如图： 由图可得，共有种等可能出现的结果，其中甲、乙两名乘客选择不同检票口通过的情况有种， ∴甲、乙两名乘客选择不同检票口通过概率为． 23. 如图，在矩形中，，相交于点，过点，分别作，，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）先证明四边形是平行四边形，根据矩形性质和一组邻边相等的平行四边形是菱形，证明即可； （）菱形的性质，求出的长，证明是等边三角形，求出的值，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 24. 某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利（元）． （1）求与之间的函数关系式； （2）求与之间的函数关系式； （3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元，商品要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2） （3）30元 【解析】 【分析】（1）直接根据待定系数法求解析式即可； （2）根据题意列函数关系式即可； （3）将600代入w计算即可． 【小问1详解】 设与之间的函数关系式为， 由所给函数图象可知∶，解得， 故与的函数关系式为； 【小问2详解】 ， 即与之间的函数关系式为； 【小问3详解】 （舍） 每件商品的售价应定为30元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确列出解析式是解题的关键． 25. 如图，在矩形中，，E为边上一点，点P在线段上，且满足，延长交边于点M． （1）若点E为的中点，线段的长为________（用含a的代数式表示）； （2）连接，若，求证； （3）当，时，求的最小值． 【答案】（1） （2）证明过程见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质求解即可； （2）延长、交于点F，根据等腰三角形的性质可得，利用等量代换可得，由等腰三角形的判定可得，再根据矩形的性质和平行线的性质可得，，由对顶角相等得，从而证得，即可得证； （3）取的中点H，连接、，根据直角三角形的性质可得，利用勾股定理求得，再根据三角形三边关系可得，从而可得当B、P、H三点共线时，的值最小，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，点E为的中点， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，延长、交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，取的中点H，连接、， ∴， ∴， ∴， 又∵， 当B、P、H三点共线时，的值最小， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形的性质、矩形的性质、对顶角相等、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的三边关系、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，点在直线上． （1）直线与轴的交点坐标为________； （2）矩形的顶点分别轴，轴上． ①当，时，求矩形的面积； ②若使矩形的面积为4的点恰好有4个，试求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②且 【解析】 【分析】（1）在中，当时，，即可得出答案； （2）①由题意得，，先求出，结合矩形的性质即可得出答案；②分两种情况：当时；当时，分别计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴直线与轴的交点坐标为； 小问2详解】 解：由题意得：，， 将代入得：， 解得：， ∴， 如图所示： ， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴矩形的面积为； ②当时，，此时矩形的面积为4的点只有两个； 当时，∵点在直线上， ∴， ∴， ∴矩形的面积为，即或， ∵矩形的面积为4的点恰好有4个， ∴或， 解得：， 综上所述，若使矩形的面积为4的点恰好有4个，的取值范围为且． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、矩形的性质、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$