精品解析：广东省梅州市兴宁市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2024年上期八年级期末质量监测试卷 本试卷共4页，25小题，满分为120分，答卷时间为120分钟 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，将于年月日至月日在法国巴黎举行．下面年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 若有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，一定正确的是（ ） A B. C. D. 5. 如图，是等腰三角形的顶角平分线，，则等于（ ） A. 10 B. 5 C. 4 D. 3 6. 如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的6倍 D. 不变 7. 若一个多边形内角和为1080°，则这个多边形的边数为( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：_____． 12. 如图，绕点顺时针旋转后与重合．若，则______． 13. 在中，，，则等于________． 14. 若的解集是，则m的取值范围是_________； 15. 如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则______． 16. 如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，则周长的最小值是______． 三、解答题（一）（本大题4小题，每小题6分，共24分） 17. 解不等式组：． 18. 如图，在△ABC中，平分交于点D，过点D做的平行线交于点E，请判断的形状，并说明理由． 19 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在四边形中，点E、F分别为对角线上的两点，且，连接、，若，，求证：四边形为平行四边形． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 21. 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）． （1）画出关于y轴对称的； （2）将绕点逆时针旋转得到，画出； （3）的面积是__________． 22. 中，分别为的中点，为的中点， 的延长线交于点． （1）求证：； （2）猜想线段与线段的数量关系，并证明你的结论． 23. 习近平总书记说，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．某校为提高学生的阅读品味，决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书．已知每本甲种书比每本乙种书多元，若购买相同数量的甲、乙两种书分别需花费元和元． （1）求甲、乙两种书单价． （2）如果学校决定再次购买甲、乙两种书共本，总费用不超过元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 24. 配方法是数学中重要一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题： （1）若可配方成（m、n为常数），则 ； 探究问题： （2）已知，求的值； （3）已知（x、y都是整数，k是常数），要使S的最小值为3，试求出k的值． 25. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向匀速运动，速度为．连接并延长交于点，设运动时间为（）． （1）当为何值时，四边形是平行四边形？ （2）设四边形的面积为（），求与之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年上期八年级期末质量监测试卷 本试卷共4页，25小题，满分为120分，答卷时间为120分钟 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，将于年月日至月日在法国巴黎举行．下面年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】、不中心对称图形，该选项不符合题意； 、是中心对称图形，该选项符合题意； 、不是中心对称图形，该选项不符合题意； 、不是中心对称图形，该选项不符合题意； 故选：． 2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义解答即可． 【详解】A.从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B.从左至右的变形属于整式乘法且计算错误，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C.从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； D.右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是因式分解，熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式是解题的关键． 3. 若有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：依题意得：， 解得． 故选：A． 【点睛】此题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据题意列出不等式是解题的关键． 4. 如图，在中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，然后对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质．解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质． 5. 如图，是等腰三角形的顶角平分线，，则等于（ ） A. 10 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可判断CD的长． 【详解】∵是等腰三角形的顶角平分线 ∴CD=BD=5． 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一，关键在于熟练掌握基础知识． 6. 如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的6倍 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】把分式中的x和y都扩大为原来的2倍， 得，分式的值不变． 故选：D． 【点睛】题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 7. 若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为( ) A 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形内角和定理：（n-2）•180 （n≥3）且n为整数）可得方程180°（x-2）=1080°，再解方程即可． 【详解】设多边形边数有x条，由题意得： 180° (x−2)=1080° 解得：x=8 故答案为8 所以选D 【点睛】多边形内角和公式，解题关键是理解并熟记多边形内角和公式. 8. 若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小并结合不等式组的解集可得a的范围． 【详解】解：， ①式化简得： 又∵该不等式的解集为， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 9. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点坐标的平移，根据平移的性质和坐标系即可得；掌握点坐标的平移是解题的关键． 详解】解：∵将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∴，， 即， 故选：A． 10. 一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，即可判断①；根据一次函数与x轴、y轴的交点即可判断②③；利用图象法即可判断④⑤． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、三象限， ∴，故①正确； ∵一次函数与y轴交于负半轴，与x轴交于， ∴，方程的解是，故②正确，③不正确； 由函数图象可知不等式的解集是，故④不正确； 由函数图象可知，不等式的解集是，故⑤正确； ∴正确的一共有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数图象的性质，图象法解不等式；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，绕点顺时针旋转后与重合．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质可得，进而由角的和差关系即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：由旋转可得，， ∴， 故答案为：． 13. 在中，，，则等于________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质．由已知三角形两个角都是，可判定三角形是等边三角形，进而利用等边三角形的性质得出结论． 【详解】解：中，， ， 是等边三角形， 又， ， 故答案为：3． 14. 若的解集是，则m的取值范围是_________； 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式性质解答即可． 【详解】解：∵的解集是， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变． 15. 如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，由，可得，由是线段的垂直平分线得，进而得，最后利用角的和差关系即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，则周长的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，直角三角形的性质，勾股定理，证明可得，得到点在射线上运动，如图所示，作点关于的对称点，连接，可得当三点共线时，取最小值，即，由得到，即得，进而由勾股定理得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形，为高上的动点， ∴，， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， 如图所示，作点关于的对称点，连接， 设交 于点，则， 在中，，则， 当三点共线时，取最小值，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题4小题，每小题6分，共24分） 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 18. 如图，在△ABC中，平分交于点D，过点D做的平行线交于点E，请判断的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，根据平分得，根据得，可得，即可得是等腰三角形，掌握角平分线的性质，平行线的性质是解题的关键． 【详解】是等腰三角形，理由： 解：∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴是等腰三角形． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用分式的运算法则对分式进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 20. 如图，在四边形中，点E、F分别为对角线上的两点，且，连接、，若，，求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，先证明，再根据证明，可得，然后证明，可得答案． 【详解】∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 21. 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）． （1）画出关于y轴对称的； （2）将绕点逆时针旋转得到，画出； （3）的面积是__________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换，掌握轴对称和旋转的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出； （2）根据旋转的性质，画出即可； （3）分割法求出的面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求： 【小问3详解】 的面积为：． 22. 中，分别为的中点，为的中点， 的延长线交于点． （1）求证：； （2）猜想线段与线段的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查了中位线，全等三角形的判定与性质．熟练掌握中位线，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由分别为的中点，为的中点，可得，，则，进而可证； （2）由（1）知，，，则，进而可得． 【小问1详解】 证明：∵分别为的中点，为的中点， ∴，， ∴， 又∵，， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下； 由（1）知，，， ∴，即． 23. 习近平总书记说，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．某校为提高学生的阅读品味，决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书．已知每本甲种书比每本乙种书多元，若购买相同数量的甲、乙两种书分别需花费元和元． （1）求甲、乙两种书的单价． （2）如果学校决定再次购买甲、乙两种书共本，总费用不超过元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 【答案】（1）甲、乙两种书的单价分别为元、元 （2）该校最多购买本甲种书 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程及不等式的应用，读懂题意，正确找出相等关系和不等关系是解题的关键． 设甲种书的单价为元，则乙种书的单价为元，根据购买相同数量的甲、乙两种书分别需花费元和元求解即可； 设该校购买了甲种书本，则购买了乙种书本，根据购买甲、乙两种书共本，总费用不超过元，列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种书的单价为元，则乙种书的单价为元，由题意得 ， 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合实际． ∴ 答：甲、乙两种书的单价分别为元、元． 【小问2详解】 解：设该校购买了甲种书本，则购买了乙种书本， 则， 解得∶ ∴该校最多购买本甲种书． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 24. 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题： （1）若可配方成（m、n为常数），则 ； 探究问题： （2）已知，求的值； （3）已知（x、y都是整数，k是常数），要使S的最小值为3，试求出k的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了分解因式的运用，完全平方公式， （1）运用完全平方公式得，即可得m、n的值，即可得； （2）将拆分成，把1分给含有x的项，9分给含有y的项，进行因式分解，根据偶次方的非负性，求出x、y，从而求出答案即可； （3）因式分解得，根据，，S的最小值为3得，即可得； 掌握因式分解，完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴，， 即， 故答案为：； （2） ∵，， ∴，， ，， 解得， ∴； （3）， ， ， ∵，，S的最小值为3， ∴， ． 25. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向匀速运动，速度为．连接并延长交于点，设运动时间为（）． （1）当为何值时，四边形是平行四边形？ （2）设四边形的面积为（），求与之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，． 【解析】 【分析】（）证明得，由时，四边形是平行四边形，得到，解方程即可求解； （）由勾股定理得，进而得，得到，又可得，即可由求解； （）过点作于，取中点，连接，则，，由等腰三角形的性质可得，由三角形中位线可得，由可得，进而得，即可得到为的中位线，即得，据此即可求解； 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形中位线的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 过点作于，取中点，连接，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴， ∵，， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$