精品解析：重庆市主城区七校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

2023—2024学年（下）期末考试 高2025届数学试题 考试说明：1.考试时间：120分钟 2.试题总分：150分 3.试卷页数：共5页 一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙两支队伍进行某项比赛，采用三局两胜制.根据以往的数据，甲队在每一局比赛中获胜的概率均为， 每局比赛相互独立，则在这次比赛中，甲队获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 某种袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，且，若某超市购入2000袋这种大米，则该种袋装大米的质量的袋数约为（ ） A. B. C. D. 5. 班长准备对本班元旦晚会的7个表演节目进行演出排序，则节目甲与乙中间恰好间隔2个节目的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ） A. 300 B. 360 C. 390 D. 420 8. 已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分）. 9. 已知的展开式中，第四项与第七项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 若展开式中各项系数之和为，则 C. 展开式中有理项有6项 D. 若，则展开式中常数项为 10. 某中药材盒中共有包装相同的7袋中药材，其中党参有4袋，黄芪有3袋，从中取出2袋，下列说法正确的是（ ） A. 若有放回抽取，则取出一袋党参一袋黄芪的概率为 B. 若有放回抽取，则在至少取出一袋党参条件下，第2次取到党参的概率为 C. 若不放回抽取，则第2次取到党参的概率为 D. 若不放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概率为 11. 已知函数（为常数），则下列结论正确的是（ ） A. 当时，无极值点 B 当时，恒成立 C. 若有3个零点，则取值范围为 D 当时，有唯一零点，则 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 从5男4女共9名学生中选出3人组成志愿者服务队，要求志愿者服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法_______.（用数字作答） 13. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为________. 14. 现有编号分别为的个盒子，每个盒子中有个大小相同、质地均匀的小球，其中编号为的盒子中含有个红球，其余均为黑球.已知一次试验中事件发生的概率为，若次独立重复试验中事件恰好发生次，那么就在编号为的盒子中任取一球.记“取到红球”为事件.现小明做了一个次独立重复试验，并根据试验结果按上述规定取球，则_______. 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15. 已知函数，且和是的两个极值点. （1）求实数的值； （2）求在区间上的最大值. 16. 随着移动互联网技术的发展，直播带货已经成为热门的销售方式，通过主播的详细介绍，使顾客对商品有更全面的了解.小张统计了某新手主播开启直播带货后从1月份到5月份每个月的销售量(万件)的数据，得到如图所示的散点图. （1）根据散点图判断，模型①与模型②哪一个更适宜作为月销售量关于月份代码的回归方程?（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程(计算结果精确到0.01)； （2）随机调查了220名市民对直播带货的认可程度，得到的部分数据见下表： 认可 不认可 50岁以下市民 70 50 50岁以上市民 40 60 依据小概率值的独立性检验，分析市民对直播带货认可程度是否与年龄有关联. 参考公式与数据:，， ，，，其中.，其中. 0.1 0.05 0.01 0005 0.001 2.706 3.841 6.635 7879 10.828 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）对任意，证明：. 18. 第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办.为了普及全运知识，某大学举办了一次全运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛. （1）初赛从7道题中任选3题作答，3题均答对则进入决赛.已知这7道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为，求的分布列； （2）为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入决赛的参赛学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立. （i）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值； （ii）该校体育系共有18名学生进入了决赛，若这18名大学生获得的总奖金的期望值不小于2240元，求此时的取值范围. 19. 已知函数，. （1）求在处的切线方程； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，，数列满足，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年（下）期末考试 高2025届数学试题 考试说明：1.考试时间：120分钟 2.试题总分：150分 3.试卷页数：共5页 一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，进而得到的值，得到答案. 【详解】由函数，可得，所以. 故选：A. 2. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的期望公式即可求解. 【详解】由于，故. 故选：C 3. 甲、乙两支队伍进行某项比赛，采用三局两胜制.根据以往的数据，甲队在每一局比赛中获胜的概率均为， 每局比赛相互独立，则在这次比赛中，甲队获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知：甲队获胜有两种可能，结合独立重复性事件的概率公式运算求解. 【详解】由题意可知：甲队获胜的情况有两种可能， 所以甲队获胜的概率为. 故选：D. 4. 某种袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，且，若某超市购入2000袋这种大米，则该种袋装大米的质量的袋数约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正态分布的性质求出，再用此概率乘以2000可得答案. 【详解】因为服从正态分布，且， 所以， 所以该种袋装大米的质量的袋数约为. 故选：B 5. 班长准备对本班元旦晚会的7个表演节目进行演出排序，则节目甲与乙中间恰好间隔2个节目的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用捆绑法和排列数的计算，求得节目甲与乙中间恰好间隔2个节目的种数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，先将除甲乙外的5个节目中选2个节目放在甲乙之间，看成一个整体， 再将这个整体和剩余的3个节目，进行全排列，共有中， 所以节目甲与乙中间恰好间隔2个节目的概率为. 故选：B. 6. 已知，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于，所以构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小即可 【详解】， ， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 因为， 所以，， 因为， 所以， 所以 故选：D 7. 有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ） A. 300 B. 360 C. 390 D. 420 【答案】C 【解析】 【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理及平均分组问题求解. 【详解】(1)当5人中有三人被录取，则不同的录取情况数为; (2)当5人中有四人被录取，则不同的录取情况数为； (3)当5人全部被录取，则不同的录取情况数为； 综上不同的录取情况数共有. 故选：C 8. 已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件将问题转化为，构造函数，化为，求，根据导数判断函数的的单调性，可得在上恒成立，构造函数，求，根据导数判断函数的单调性求出函数的最值即可解题. 【详解】函数定义域为， 由，得，则化为，即， 令，即，对任意且恒成立， 则函数在上单调递减，即，， 而，因此，即， 显然，有，恒成立， 因为，所以，恒成立， 令，则，因为，恒成立，则在上单调递增， 所以不等式化为，即，恒成立， 令，求导得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递增减， 于是当时，取得最大值，，则， 所以正实数取值范围为. 故选：A 【点睛】结论点睛：隐蔽性指对同构，需要补因式，如：，两边同乘以，化为. 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分）. 9. 已知的展开式中，第四项与第七项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 若展开式中各项系数之和为，则 C. 展开式中有理项有6项 D. 若，则展开式中常数项为 【答案】BD 【解析】 【分析】由结合组合数的性质得出；令，解方程得出；利用二项式定理得出展开式的通项，由为整数确定有理项的项数；由结合通项公式得出展开式中常数项. 【详解】第四项与第七项的二项式系数相等，即，则，故A错误； 令，则展开式中各项系数之和为，解得，故B正确； 展开式的通项为 由为整数可得，则展开式中有理项有5项，故C错误； 当时，展开式中常数项为，故D正确； 故选：BD 10. 某中药材盒中共有包装相同的7袋中药材，其中党参有4袋，黄芪有3袋，从中取出2袋，下列说法正确的是（ ） A. 若有放回抽取，则取出一袋党参一袋黄芪的概率为 B. 若有放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，第2次取到党参的概率为 C. 若不放回抽取，则第2次取到党参的概率为 D. 若不放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，利用相互独立事件同时发生的概率公式，即可解决；选项B，根据条件，利用条件概率公式，即可解决；选项C，根据条件，利用古典概率公式，即可解决；选项D，利用条件概率公式，即可解决，从而求出结果. 【详解】A，因为是有放回抽取，抽到一袋党参的概率为，抽到一袋黄芪的概率为， 所以取出一袋党参一袋黄芪的概率为，故选项A的错误； B，第二次抽到党参的概率为，至少抽到一袋党参的概率为， 所以所求概率，故选项B正确； C，因为不放回抽取，抽两次有种取法，第二次抽到党参的取法为， 所以第2次取到党参的概率为，故选项C正确； D，至少取出一袋党参的的概率为，取到一袋党参一袋黄芪的概率为， 所以在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概率为概率为，故选项D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数（为常数），则下列结论正确的是（ ） A. 当时，无极值点 B. 当时，恒成立 C. 若有3个零点，则取值范围为 D. 当时，有唯一零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB：将和代入，判断函数单调性，利用单调性求极值最值即可求解；对于C：将问题转化为，构造函数，利用导数求单调性和极值，然后画图求解；对于D：利用零点存在定理求解. 【详解】对于A：当时，，求导可得， 令，求导可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，，所以在上单调递增， 所以无极值点，所以A正确； 对于B：当时，， 求导可得， 令，求导可得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，所以，所以在上单调递增， 又，故B错误； 对于C：令， 当时，显然，则， 记，则， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又，当和时，， 函数的图象如下： 所以若有3个零点，则的范围为， 则的范围为，故C正确； 对于D：当时，，求导可得， 令，求导可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，，所以在上单调递增， 又，， 由零点存在定理可得有唯一零点，且，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 从5男4女共9名学生中选出3人组成志愿者服务队，要求志愿者服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法_______.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】用间接法分析，先求从9名学生中任意选出3人的方法数，减去其中3人全是男生的方法数，即可得解. 【详解】先求从9名学生中任意选出3人，共种， 其中3人全是男生，有种， 所以至少有1名女生，有种. 故答案为： 13. 已知函数在区间上单调递减，则实数取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】求导可得，由题意可得对恒成立，求得上最大值，可求实数的取值范围. 【详解】由， 可得， 因为在区间上单调递减， 所以对恒成立， 所以对恒成立， 所以对恒成立(*). 令， 则 所以在上单调递增， 所以， 所以为使（*）成立，必须且只需， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 现有编号分别为的个盒子，每个盒子中有个大小相同、质地均匀的小球，其中编号为的盒子中含有个红球，其余均为黑球.已知一次试验中事件发生的概率为，若次独立重复试验中事件恰好发生次，那么就在编号为的盒子中任取一球.记“取到红球”为事件.现小明做了一个次独立重复试验，并根据试验结果按上述规定取球，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】由二项分布，条件概率及全概率公式求解. 【详解】若次独立重复试验中事件发生的次数为, ， 编号的盒子红球个数为， 故， 所以. 故答案为： 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15. 已知函数，且和是的两个极值点. （1）求实数的值； （2）求在区间上的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由极值点的导数等于0，列出方程组求解即可； （2）利用导数得出其单调性，进而得出最值. 【小问1详解】 ∵， ∴ ， ∵和是的两个极值点. ∴ ， 经检验满足条件， 所以； 【小问2详解】 由（1）可知， 令得或， 令得或；令得， 所以单调递增区间为，，单调递减区间为.， 作出，随的变化情况表如： 1 2 3 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以在上的最大值只可能在或处取到， ，， 而， 所以在上的最大值为. 16. 随着移动互联网技术的发展，直播带货已经成为热门的销售方式，通过主播的详细介绍，使顾客对商品有更全面的了解.小张统计了某新手主播开启直播带货后从1月份到5月份每个月的销售量(万件)的数据，得到如图所示的散点图. （1）根据散点图判断，模型①与模型②哪一个更适宜作为月销售量关于月份代码的回归方程?（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程(计算结果精确到0.01)； （2）随机调查了220名市民对直播带货的认可程度，得到的部分数据见下表： 认可 不认可 50岁以下市民 70 50 50岁以上市民 40 60 依据小概率值的独立性检验，分析市民对直播带货认可程度是否与年龄有关联. 参考公式与数据:，， ，，，其中.，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）模型②更适宜， （2）认为市民对直播带货认可程度与年龄有关联 【解析】 【分析】（1）由散点图接近于曲线，选择模型②，令，将非线性转化为线性，利用最小二乘法得出关于的回归方程； （2）先假设市民对直播带货认可程度与年龄无关联，再计算卡方，进行独立性检验即可. 【小问1详解】 由散点图可知增加幅度不一致，且散点图接近于曲线，非线性， 结合图象故选模型② 令得 可得， ， 则， ， 所以关于的回归方程为， 即关于的回归方程 ； 【小问2详解】 零假设：市民对直播带货认可程度与年龄无关联； 因为， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以认为市民对直播带货认可程度与年龄有关联. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）对任意，证明：. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论和时，可求函数的单调性； （2）首先将不等式变形，转化为证明，构造函数，然后利用导数求函数的最小值，得到最小值大于0即可证明. 【小问1详解】 . ①当时，令在恒成立，在上单调递增；. ②当时，令，得，令，得 令，得， ∴在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 要证，需证， 令， 则转化成证明：在上恒成立， ， 令，则，所以上单调递增， 又因为，, 则存在，使即，所以， 所以 ， 当时，， 则；当时，，则； ∴在上单调递减，在上单调递增. ∴在处取得极小值，也是最小值 ， ， ∴ 在上恒成立， ∴ 对于任意的，都有成立. 18. 第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办.为了普及全运知识，某大学举办了一次全运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛. （1）初赛从7道题中任选3题作答，3题均答对则进入决赛.已知这7道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为，求的分布列； （2）为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入决赛的参赛学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立. （i）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值； （ii）该校体育系共有18名学生进入了决赛，若这18名大学生获得的总奖金的期望值不小于2240元，求此时的取值范围. 【答案】（1）分布列见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布求解概率即可. （2）（i）利用二项分布求解，利用导数研究其单调性进而可得极大值； （ii）设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量，利用离散型随机变量的求解方法求出分布列，再计算数学期望，解不等式即可. 【小问1详解】 由题意，小王答对题目个数. ，， ， ， 故的分布列为 0 1 2 3 【小问2详解】 （i）由题意知， 题意知 令得或（舍）， 令得， 令得 ∴令在内单调递增，在内单调递减. ∴当时，取得极大值，极大值为. （ii）由题可设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量， 则可能得取值为目个数. ， ， ，， ∴， ∴ 即 整理得 经观察可知 是方程的根.. 故， 因为恒成立. 所以由，可得，解得， 又因为，所以的取值范围为. 【点睛】关键点睛：由二项分布得出，利用导数研究其单调性，可得极大值；每名进入决赛的大学生获得的奖金为的期望，解不等式得到所要求. 19. 已知函数，. （1）求在处的切线方程； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，，数列满足，且，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可求出切线方程的斜率，进而可求出切线方程； （2）构造函数，将问题转化为当时，等价于恒成立问题，再利用导数对参数进行分类讨论，分析函数在上的单调性，即可求解； （3）首先利用分析函数的单调性，要证，即证， ，构造函数，在上为减函数，利用单调性即可求解. 【小问1详解】 ∵，∴. 而，. ∴函数在处的切线方程为. 【小问2详解】 ∵恒成立，， 令，则， 所以当时，等价于恒成立. 由于，， （i）当时，，函数在上单调递增， 所以，在区间上恒成立，符合题意； （ii）当时，在上单调递增，. ①当，即时，， 函数在上单调递增， 所以在上恒成立，符合题意； ②当，即时，，， 若，即时，在上恒小于0， 则上单调递减，，不符合题意； 若，即时，存在，使得， 所以当时，，则在上单调递减， 则，不符合题意. 综上所述，的取值范围是. 【小问3详解】 当时，， 所以，则， 令，得；令，得； ∴在上单调递减，在上单调递增，∴， ∵， 要证，即证， 又，，即证， 令，则， ∴在上为减函数，且， 因为， 又，∴， ∴，则， ∴，即， ∴成立，原式得证. 【点睛】利用导数证明和判断不等式问题， （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数求最值问题，从而判定不等关系； （3）适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩，或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； （4）构造“形似”函数，变形在构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$