吉林省白山市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题

2023—2024学年度（下）白山市高一教学质量监测 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 2.袋内有质地均匀且大小相同的3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用事件表示“第一次摸得白球”，用事件表示“第二次摸得白球”，则事件与是（ ） A.相互独立事件 B.不相互独立事件 C.对立事件 D.互斥事件 3.设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（ ） ①若，，则，为异面直线； ②若，，则； ③若，，，则； ④若，，，则. A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 4.已知复数，，（是的共轭复数），则（ ） A. B. C. D. 5.如图，在梯形中，在线段上，.若，则（ ） A. B. C. D. 6.一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为2，1，3，，4，5，则这6个点数的中位数为3.5的概率为（ ） A. B. C. D. 7.如图，已知，，，，两点分别满足，，其中，，且，则的最小值为（ ） A. B.1 C.2 D. 8.已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个说法中正确的有（ ） ①若，则一定是等边三角形； ②若，则一定是等腰三角形； ③若，则一定是等腰三角形； ④若，则一定是锐角三角形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”，为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训.已知某跳水运动员在一次集训中7位裁判给出的分数分别为9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，则这组数据的（ ） A.平均数为9.6 B.众数为10 C.第80百分位数为9.8 D.方差为 10.已知向量，，，且，则（ ） A. B. C.向量与的夹角为 D.向量在向量上的投影向量的坐标为 11.在三棱锥中，记，其他棱长均为2，三棱锥的所有顶点都在球的球面上，球与三棱锥的所有面都相切.若点在底面内的射影位于内部及其边界，则下列说法正确的是（ ） A.当三棱锥的体积为时， B.当时，球与球的体积之比为8:1 C.当三棱锥的体积最大时，球的半径为 D.当时，球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在复平面内，复数和对应的点分别为，，则__________. 13.国家高度重视青少年视力健康问题，指出要“共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”.某校为了调查学生的视力健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查.若某班有50名学生，将每一名学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第2行第4列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第四个号码为__________. 随机数表如下 0154 3287 6595 4287 5346 7953 2586 5741 3369 8324 4597 7386 5244 3578 6241 14.在四棱锥中，底面，底面为正方形，，一平面经过点且垂直于直线，则该平面截四棱锥所得截面的面积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知，，. （1）求； （2）求向量与的夹角的余弦值. 16.（15分）为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息，解决下列问题. （1）求该班学生周末的学习时间不少于20小时的人数； （2）①估计这40名学生周末学习时间的25%分位数； ②将该班学生周末学习时间从低到高排列，估计第10名学生的学习时长. 17.（15分）如图，已知与关于直线对称，把绕点逆时针旋转，得到.若，，，四点共线，且，. （1）求的长； （2）求的面积. 18.（17分）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为（），且在考试中每人各题的答题结果互不影响.已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为. （1）求和的值； （2）试求两人共答对3道题的概率. 19.（17分）如图，在棱长为的正方体中，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 2023-2024学年度（下）白山市高一教学质量监测数学答案 1.D 【解析】设圆锥的底面圆半径为，由题意得，解得，又侧面展开图是半径为4的半圆，即圆锥的母线长为4，则圆锥的高，所以该圆锥的体积为. 2.A 【解析】依题意，有放回地摸球，事件与可以同时发生，因此事件与不互斥，更不对立，CD错误；显然，，因此与是相互独立事件，A正确，B错误. 3.B 【解析】对于①：因为平面的平行线和平面内的直线可以平行，也可以异面，故①错误；对于②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确；对于③：先根据垂直于同一条直线的两个平面平行得，再根据，可得，故③正确；对于④：两直线平行，和这两条直线分别垂直的平面也平行，故④错误. 4.B 【解析】因为复数，，，所以，，所以. 5.D 【解析】依题意设，则，又，且，不共线，所以，即，所以，即. 6.C 【解析】显然的可能取值有1，2，3，4，5，6，共有6种可能，除去将数据按升序排列可得1，2，3，4，5，可知这6个点数的中间两数必有3，若这6个点数的中位数为3.5，则中间两数应为3，4，可得，共有3种可能，所以这6个点数的中位数为3.5的概率为. 7.B 【解析】因为，，，所以，，所以，即.又，，所以，当且仅当，时取等号，即的最小值为1. 8.B 【解析】对于①，，由正弦定理可得，即，所以，所以是等边三角形，故①正确；对于②，由正弦定理可得，可得，所以或，所以或，所以是等腰或直角三角形，故②不正确；对于③，因为，由正弦定理可得，即，由正弦定理可得，所以为等腰三角形，故③正确；对于④，由余弦定理可得，所以为锐角，而，不一定是锐角，故④不正确. 9.ABD 【解析】对于A，平均数，故A正确；对于B，出现次数最多的数为10，故B正确；对于C，，第80百分位数为第6位，即10，故C错误；对于D，方差为，故D正确. 10.BC 【解析】因为，所以，所以，解得，所以，，，所以；，所以；设与的夹角为，则，又，所以；向量在向量上的投影向量的坐标为. 11.CD 【解析】设球、球的半径分别为，，取的中点，连接，，因为与均为等边三角形，所以，，所以平面，所以三棱锥的体积，解得，所以，故A错误；当时，三棱锥为正三棱锥，此时球与球的球心重合，且在三棱锥的高上.在线段上取点，使得，连接，则是的中心，所以底面，此时球与的球心在线段上，且在的平分线上，可得，所以球与球的体积之比为27:1，故B错误；当三棱锥的体积最大时，平面平面，则底面，所以，，所以三棱锥的体积为.由题可知，与的面积均为，由等积法可得，解得，故C正确；取的中点，连接，连接，.因为，所以在平面上.又，且，所以在线段上，且.在中，由勾股定理得①，同理在中，由勾股定理得②，②-①得，所以，与联立得，所以，所以球的表面积，故D正确. 12. 【解析】由题意可知，，，则. 13.44 【解析】根据随机数表的读取方法，第2行第4列的数为3，每次从左向右选取两个数字，如下：32，58，65，74，13，36，98，32，44；其中58，65，74，98不在编号范围内，舍去，再去除重复的，剩下的号码为32，13，36，44，所以选取的第四个号码为44. 14. 【解析】如图，设在，上的射影分别为，，连接，因为底面，所以平面底面.又平面底面，，所以平面，所以.又，，所以平面.因为，平面，所以，，又，，所以平面.在中，，所以.连接，在中，，，得，，所以的面积.设平面与棱的交点为，由对称性可知为点在上的射影，与全等，所以该平面截四棱锥所得截面的面积为. 15.解：（1）由，，， 可得，所以， 所以. （2）由（1）得， 设向量与的夹角为，则. 16.解：（1）由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为， 则40名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为. （2）①学习时间在5小时以下的频率为， 学习时间在10小时以下的频率为， 所以25%分位数在区间内，则， 所以这40名学生周末学习时间的25%分位数为8.75. ②第10名是40名学生的25%，因而问题相当于求25%分位数，也就是估计第10名学生的学习时长，为8.75小时. 17.解：（1）由题意可得，， 所以为等边三角形，则， 在中，，，设， 则由余弦定理可得， 即， 整理得，得（负值舍去），所以. （2）在中，由正弦定理可得，即，得，所以， 所以. 在中，，， 所以的面积. 18.解：（1）由题意可得 即，解得或. 由于，所以，. （2）设“甲同学答对了道题”，“乙同学答对了道题”，. 由题意得，，，，. 设“甲、乙两人共答对3道题”，则. 由于和相互独立，与互斥， 所以. 所以甲、乙两人共答对3道题的概率为. 19.（1）证明：因为平面，平面，所以. 又四边形为正方形，所以. 又，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）解：如图，连接，取的中点，连接交于点，连接，设交于点，连接，， 因为为的中点，所以. 因为，，所以四边形是平行四边形，所以， 所以，所以平面即为平面，且为中点. 由（1）知平面，又平面，所以. 又，为的中点， 所以，所以为平面与平面的夹角. 在中，可得，，， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$