预习09 直线与圆、圆与圆的位置关系（八大考点）-2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019）

2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019） 预习09直线与圆、圆与圆的位置关系 一、直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 代数法：由消元得到一元二次方程，判别式为 图形 二、圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判定方法有几何法和代数法两种，如下表： 位置关系 几何法 代数法 图示 外离 外切 相交 内切 内含 考点01 直线与圆的位置关系 【方法点拨】判断直线与圆位置关系的三种方法： （1）几何法：由圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系判断； （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． 【例1】直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【详解】直线恒过定点，将定点代入圆的方程， 发现，则定点在圆内部， 所以直线与圆必相交. 故选:B. 【例2】已知直线，圆，则“与有公共点”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】圆，即，圆心为，半径， 若与有公共点，则，解得， 所以由“与有公共点”推不出“”，故充分性不成立； 由推得出与有公共点，故必要性成立； 所以“与有公共点”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式1-1】圆与直线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与k的取值有关 【答案】D 【详解】直线，即， 令，解得，故直线l经过点. 又，所以点在圆外， 故直线l与圆的交点个数可能为0、1或2，即与k的取值有关. 故选：D 【变式1-2】“”是直线和圆相交的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】圆的圆心，半径为， 若直线和圆相交， 则，解得， 所以“”是直线和圆相交的必要不充分条件. 故选：B. 【变式1-3】在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：相交于点A，B，若，则（    ） A．或 B．－1或－6 C．或 D．－2或－7 【答案】C 【详解】由题意可知，圆C：，标准化后可得圆C： 因为，，过点C作AB的垂线CD，.如图所示， ，在中，. 所以，圆心C到直线 l的距离: 因此，，解得， 故选：C . 考点02 直线与圆的相切问题 【方法点拨】（1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法：先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则切线的斜率不存在或为0，从而可直接得切线方程为或； （2）求过圆外一点的圆的切线方程一般采取几何法：设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出． 【例3】圆在点处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆上， 又因为，可知切线方程的斜率， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 【例4】设过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解法1：如图，圆，即， 则圆心，半径，过点作圆的切线，切点为，连接. 因为，则，得， 则，即为钝角，且为锐角， 所以. 故选：A. 解法2：如图，圆，即，则圆心，半径， 过点作圆的切线，切点为，连接.因为，则， 因为， 且，则， 即，解得， 即为钝角，且为锐角，则. 故选：A. 解法3：圆，即，则圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，则设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离，解得， 所以，又为锐角， 由解得. 故选：A. 【变式2-1】已知圆经过两点，，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）设圆心为，半径为，由， 得，得， 所以点坐标为，圆半径， 所以圆的标准方程为：. （2）由，知点在圆上， 由且，，知， 所以过的圆切线方程为：. 【变式2-2】已知和点，则过点的的所有切线方程为 . 【答案】或 【详解】由圆的方程可得圆心，半径， 由题意可得圆心到切线的距离等于半径， 由点代入圆的方程可得，所以点在圆外， 所以当切线的斜率不存在时，满足题意的直线方程为； 当斜率存在时，设为， 则过点的切线方程为，即 所以，解得， 此时，切线方程为， 综上，过点的的所有切线方程为或. 故答案为：或. 【变式2-3】过点向圆作两条切线，切点分别为，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径，连接， 依题意，，则， 于是，整理得， 所以或. 故选：D 考点03 圆的弦长问题 【方法点拨】一般用几何法：由于半径、弦长距、弦长的一半构成直角三角形，所以利用求解 【例5】直线被圆所截得的弦长为 . 【答案】2 【详解】根据题意，圆的圆心，， 则圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故答案为：2 【例6】过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【详解】将圆化为，圆心，半径， 因为，所以点在圆内， 记圆心到直线的距离为，则， 由图可知，当，即时，取得最小值， 因为， 所以的最小值为. 故选：C. . 【变式3-1】已知直线被圆心为的圆截得的弦长为，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆心到直线的距离为，圆的半径为，易得直线方程为， 而，由勾股定理得，解得， 故圆的方程为，故C正确. 故选：C 【变式3-2】已知直线与圆相交于A，B两点，若，则（　　） A． B．1 C． D．﹣2 【答案】C 【详解】圆与直线与相交于A，B两点，且． 则圆心到直线的距离， 利用垂径定理得，所以，解得． 故选：C． 【变式3-3】过坐标原点O作两条互相垂直的直线OA，OB，点A，B（异于点O）均在圆上，则面积的最大值为（    ） A．26 B． C．13 D． 【答案】C 【详解】圆化成标准方程为，    圆C的半径为，O在圆C上，因为，所以AB是圆C的一条直径． 当时，面积取得最大值， 则最大值为． 故选：C. 考点04 直线与圆的实际应用 【方法点拨】①认真审题，明确题意，从题目中抽象出儿何模型，明确已知量和未知量；②建立平面直角坐标系，求出相关各点的坐标，从而在实际问题中求出直线与圆的方程；③利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；④将运算结果还原到实际问题中 【例7】如图，圆弧形拱桥的跨度米，拱高|米，则拱桥的直径为（　　） A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米 【答案】B 【详解】设圆心为，半径为，连接，如下图所示， ，则由勾股定理得， 即，解得，所以拱桥的直径为13米. 故选：B. 【例8】如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含地界和内部），长为12米，在边上距离B点5米的E处放置一只机器犬，在距离B点2米的F处放置一个机器人，机器人行走的速度为v，机器犬行走的速度为，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点P，则机器犬将被机器人捕获，点P叫成功点． (1)求在这个矩形场地内成功点P的轨迹方程； (2)若N为矩形场地边上的一点，若机器犬在线段上都能逃脱，问N点应在何处？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图，分别以，所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则，， 设成功点，可得，即， 化简得． 因为点P需在矩形场地内，所以， 故所求轨迹方程为． （2）当线段与（1）中的圆相切时，， 所以，所以． 若机器犬在线段上都能逃脱，则N点横坐标的取值范围是． 【变式4-1】（多选）某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台的北偏东方向处设立观测点，在平台的正西方向处设立观测点，已知经过三点的圆为圆，规定圆及其内部区域为安全预警区.以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西方向行驶，则（    ）    A．观测点之间的距离是 B．圆的方程为 C．小汽车行驶路线所在直线的方程为 D．小汽车会进入安全预警区 【答案】BD 【详解】由题意，得，所以， 即观测点之间的距离是，故A错误； 设圆的方程为，因为圆经过三点， 所以，解得， 所以圆的方程为，故B正确； 小汽车行驶路线所在直线的斜率为，又点的坐标是， 所以小汽车行驶路线所在直线的方程为，故C错误； 圆化成标准方程为，圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交，即小汽车会进入安全预警区，故D正确. 故选：BD. 【变式4-2】为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．    (1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据已知条件设且，， 由，有， ， ， ， 整理有，它是以为圆心，8为半径的圆． 所以曲线的方程为：． （2）   ，过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直， 所以直线截距式方程为， 化为一般式方程为， 根据题意，且，解得， 所以综上可知的取值范围为． 【变式4-3】如图，某海面有O，A，B三个小岛（小岛可视为质点，不计大小），A岛在O岛正东方向距O岛20千米处，B岛在O岛北偏东45°方向距O岛千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，10千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．    (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一渔船D在O岛的南偏东30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东30°方向行驶，若不改变方向，试问该渔船是否有触礁的危险？请说明理由． 【答案】(1)； (2)没有触礁危险，理由见解析. 【详解】（1）由已知，，． 法1：设圆C的一般方程为，将O，A，B三点代入得 ，解得， ∴圆C的方程为 法2：设圆C方程为，将O，A，B三点代入得 ，解得， ∴圆C的方程为 （2）由已知该船初始位置为点，且该船航线所在直线l的斜率为． ∴海船行驶路线l:即， 圆心到l的距离， ∵， ∴没有触礁危险． 考点05 圆与圆位置关系的判断 【方法点拨】判断圆与圆的位置关系的一般步骤：①将两圆的方程化为标准方程；②分别求出两圆的圆心坐标和半径；③求两圆的圆心距；④比较与的大小；⑤根据大小关系确定圆与圆的位置关系． 【例9】如果两个圆没有公共点，那么它们一定外离；如果两个圆只有一个公共点，那么它们一定外切，这种说法是否正确？ 【答案】答案见解析 【详解】这种说法不正确．如果两个圆没有公共点，那么它们外离或内含，这两种位置关系统称为相离； 如果两个圆只有一个公共点，那么它们外切或内切，这两种位置关系统称为相切． 【例10】（多选）已知圆，圆，则下列结论正确的是（    ） A．若和外离，则或 B．若和外切，则 C．当时，有且仅有一条直线与和均相切 D．当时，和内含 【答案】ABC 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以， 若和外离，则，解得或，故A正确； 若和外切，则，解得，故B正确； 当时，，则和内切，故仅有一条公切线，故C正确； 当时，，则和相交，故D错误. 故选：ABC． 【变式5-1】已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 则，故，所以两圆内含； 故选：A 【变式5-2】（多选）已知圆，若圆上仅存在一点使，则正实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】BD 【详解】若圆上仅存在一点使，则以为直径的圆与圆相内切或外切， 由，则以为直径的圆的圆心为，半径为， 则有或， 分别解得或，故或， 故B、D正确，A、C错误. 故选：BD. 【变式5-3】已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得弦长为. （2）设， 则，解得，； 因为圆与圆相切于原点，且圆过点， 所以，， 两边平方整理可得，平方可求， 代入可得，所以圆的方程为. 考点06 两圆相切问题 【方法点拨】将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外切时） 【例11】已知圆和圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心，半径， 则，故两圆外切，则两圆公切线的条数为. 故选：C. 【例12】曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 所以曲线是圆心为原点，半径为1的圆在x轴上方的部分， 又与的图形关于直线对称， 设上一点，该点关于直线对称的对称点为， 则的中点在直线上，且直线的斜率与直线的斜率之积为， 所以，解得，即， 代入方程，得，即（只是该圆的一部分），如图， 易知与的公切线，所以，结合图，设， 所以点到直线的距离为，解得， 所以与的公切线为. 故选：B 【变式6-1】圆与圆的公切线长为 . 【答案】4 【详解】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：.    【变式6-2】平面上有两个圆，它们的方程分别是和，求这两个圆的内公切线方程． 【答案】 【详解】圆，圆心，半径， 圆， 其圆心，半径， ，∴这两圆外切， ∴， 可得， ∴所求的两圆内公切线的方程为：． 【变式6-3】已知圆和，则圆与圆的所有公切线中斜率的最大值为 . 【答案】 【详解】的圆心和半径分别为，的圆心和半径分别为， 由于，因此两圆外切，有3条公切线， 作出两圆的位置关系图如下： 由图可知：外公切线一条平行于轴，斜率为0，一条斜率为负， 而内公切线的斜率为正，故斜率最大， 由于,故内公切线的斜率为, 故答案为： 考点07 两圆公共弦长问题 【方法点拨】方法一，联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解； 方法二，先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解． 【例13】圆与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，作差 得两圆的公共弦所在直线的方程为． 由，得． 所以圆心，半径， 则圆心到公共弦的距离． 所以两圆的公共弦长为． 故选：D． 【例14】已知是圆与圆的公共点，则的面积为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，联立，两方程相减可得直线的方程为， 圆标准方程为，得，半径为， 所以到直线的距离为，线段的长度为， 所以的面积为． 故选：B. 【变式7-1】圆和圆的公共弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】两个圆的方程相减，得， 故选：C 【变式7-2】古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，动点满足，则点的轨迹与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，化简得，其圆心为，半径， 又圆的圆心为，半径， 所以，且，所以两圆相交， 其公共弦所在的直线方程为， 圆心到公共弦所在直线的距离， 故公共弦长为. 故选：C 【变式7-3】圆与圆的公共弦长为，则过点且与圆相切的直线方程为 ． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径， 将圆与圆的方程作差可得， 即公共弦所在直线方程为， 则到直线的距离为， 由题意可得：，解得， 且，可得， 若，则圆即为， 可知圆的圆心为，半径， 则，可知， 即圆与圆相交，符合题意， 又因为，即点在圆上， 可得，则切线的斜率， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 考点08 过两圆的交点的圆问题 【方法点拨】已知圆与圆相交，则过两圆交点的圆的方程可设为 注意：此方程不包括圆的方程 【例15】已知圆，圆，则过圆与圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为 . 【答案】 【详解】设圆与圆的交点分别为，联立方程组，解得或，则， 设所求圆的圆心为，因为圆心在直线上，可得， 则，解得， 所以圆心为，半径， 所以，所求圆的方程为. 故答案为：. 【例16】已知点M到点的距离与点M到点的距离之比为. (1)求M点的轨迹C的方程； (2)求过轨迹C和的交点，且与直线相切的圆的方程； 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）依题意，得，不妨设， 因为，， 所以，即， 整理得，配方得， 所以点的轨迹的方程为. （2）联立得，解得或， 设，，该圆的圆心为， 显然圆心位于线段的垂直平分线上，即轴上，则设， 则，解得或， 当时，此时圆心坐标为，，则此时圆的方程为， 当当时，此时圆心坐标为，，则此时圆的方程为. 故满足题意的圆的方程为或.    【变式8-1】圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程为 . 【答案】（或） 【详解】法一：由， 解得或者， 所以圆与圆的交点分别为， 则线段AB的垂直平分线的方程为. 由，解得， 所以所求圆的圆心坐标为，半径为， 所以所求圆的方程为. 法二：同法一求得， 设所求圆的方程为， 由，解得， 所以所求圆的方程为. 法三：设所求圆的方程为，其中， 化简可得，圆心坐标为. 又圆心在直线上， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故答案为：（或） 【变式8-2】已知圆C：． (1)求过点且与圆C相切的直线方程； (2)求圆心在直线上，并且经过圆C与圆Q：的交点的圆的方程． 【答案】(1)或 (2)． 【详解】（1）当直线有斜率时，设切线的斜率为k，则切线方程为， 即 ∵圆心到切线的距离等于半径2， ∴ 解得或． 因此，所求切线方程为，或． 当直线无斜率时，则，此时直线与圆不相切，不满足题意， 故切线方程为，或． （2）法一： 联立，解得或． ∴圆C与圆Q的交点为，， 线段AB的垂直平分线为，设所求圆的圆心为，半径为r． 由，解得，所以圆心为，． 因此，所求圆的方程为 法二：设经过圆C与圆Q交点的圆为：．（） 即 即 圆心代入直线，得． 因此，所求圆的方程为． 【变式8-3】已知圆与圆的相交于两点. (1)求线段的长度； (2)若圆经过圆与圆的交点，且圆心在直线上，求圆的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）联立两圆的方程可得， 将与联立可得， 解得或， 不妨设，则 （2）设圆的方程为， 由题意可得，解得， 所以圆的方程为 一、单选题 1．已知点，圆，若圆上存在点使得，则实数的最小值是（    ） A．－1 B．1 C．0 D．2 【答案】C 【详解】根据题意，点，若，则点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆，设该圆为圆， 圆，若圆上存在点使得，则圆与圆有公共点， 则，解得，即的取值范围为， 故的最小值为0． 故选：C． 2．已知直线被圆截得的弦长为整数，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【详解】圆的圆心、半径分别为， 圆心到直线的距离为， 设直线被圆截得的弦长为， 由于直线被圆所截得的弦长不超过直径长度，故分以下情形讨论： 当时，，解得， 当时，，化简得，解得， 当时，，化简得，该方程无解， 当时，，化简得，该方程无解， 而直线是斜率为且过定点的直线，直线由唯一决定， 综上所述，满足条件的直线共有3条. 故选：C. 3．过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则原点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可知，，， 则四点共圆，圆的直径是，点，， ，的中点坐标为， 所以四边形的外接圆的方程为， 即，圆， 两式相减得直线的方程， 则原点到直线的距离. 故选：A 4．已知圆和圆相交于两点，点是圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆，即，其圆心，半径， 圆，即，其圆心，半径， 取线段的中点，连接， 则， 将圆与圆的方程做差可得公共弦的方程为， 则， 则， 所以. 故选：B.    5．已知动点到原点与到点的距离之比为，记的轨迹为，直线，则（    ） A．是一个半径为的圆 B．上的点到的距离的取值范围为 C．被截得的弦长为 D．上存在四个点到的距离为 【答案】C 【详解】对于，设，则， 整理得， 所以是一个圆心为，半径为的圆，故错误； 对于，因为圆心到直线的距离为， 所以上的点到直线的距离的取值范围为，，即，，故错误； 对于，圆心到直线的距离为2， 所以被截得的弦长为，故正确； 对于，因为，所以上存在三个点到的距离为，故错误． 故选：． 二、多选题 6．已知直线与圆交于A，B两点，则的值可以为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】AB 【详解】解：因为直线与圆相交于不同的两点、， 所以圆心到直线的距离，解得， 选项中只有3,4满足， 故选：AB． 7．已知直线与圆相交于两点，下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则 B．的最小值为 C．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点 D．若（为坐标原点）四点共圆，则 【答案】BCD 【详解】A.若圆关于直线对称，则直线过圆的圆心，即，得，故A错误； B. ，整理为，不管为何值，直线始终过点，当是线段的中点时，此时弦长最短， 圆，圆心是，半径， 圆心和点的距离是，所以最短弦长，故B正确； C. 当时，直线， 曲线，即， 所以曲线为过直线与圆交点的曲线方程，故C正确； D.若四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心， 的中点为，所以的垂直平分线方程为，所以， 圆的方程为，整理为， 直线是圆与圆的交线，圆与圆的方程相减得 所以直线的方程是， 将直线所过的定点坐标代入上式得，得， 所以直线，即直线的斜率为，即，则，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 8．已知圆，圆，若两圆相交，则正实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】圆化为标准方程得， 则圆心，半径， 圆化为标准方程为， 则圆心，半径， 因为两圆相交，所以，即，解得. 故答案为：. 9．已知圆以点为圆心，且与直线相切，则满足以上条件的圆的半径最大时，圆的标准方程为 ． 【答案】 【详解】直线，可化为， 所以，解得，所以直线过定点， 当与直线垂直时，圆的半径最大，半径为， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 四、解答题 10．求满足下列条件的曲线方程： (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）据点可设直线方程为. 圆的方程可化为，故点到所求直线的距离为， 从而. 所以， 得. 这就说明或，所以所求直线的方程为或. （2）设所求圆的圆心坐标为，由于该圆与轴相切，故该圆的半径为， 所以该圆的方程是，即. 而该圆被直线截得的弦长为，故该圆圆心到直线的距离为. 所以，解得. 故所求的圆的方程为或. 11．已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设圆的方程为， 因为在圆上， 所以，解得，满足， 所以圆的方程为； （2）直线，对于， 可得，解得，所以直线过定点， 因为，所以点在圆内， 所以不论为何值，直线与圆总相交. 12．已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知为圆C上一点，求与圆C外切于点A，且半径为6的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 故弦长为， （2）由题意可知在直线上，由于，, 所以直线方程为， 设，则， 化简可得，解得或， 由于两圆外切，且点为切点，所以不符合，舍去， 故，圆心为则圆的方程为 13．已知以为圆心的圆，过直线上一点作圆的切线，切线段（为切点）长的最小值为. (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆相交于，两点，求两个圆公共弦AB的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为圆心到直线的距离， 设圆的半径为， 又过直线上一点作圆的切线，切线段（为切点）长的最小值为， 所以，则圆的标准方程为.    （2）圆：的圆心，半径， 圆的圆心为，半径， 所以，则，所以两圆相交， 则相交弦：， 则圆心到 距离， 所以.    2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019） 预习09直线与圆、圆与圆的位置关系 一、直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 代数法：由消元得到一元二次方程，判别式为 图形 二、圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判定方法有几何法和代数法两种，如下表： 位置关系 几何法 代数法 图示 外离 外切 相交 内切 内含 考点01 直线与圆的位置关系 【方法点拨】判断直线与圆位置关系的三种方法： （1）几何法：由圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系判断； （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． 【例1】直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【例2】已知直线，圆，则“与有公共点”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】圆与直线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与k的取值有关 【变式1-2】“”是直线和圆相交的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：相交于点A，B，若，则（    ） A．或 B．－1或－6 C．或 D．－2或－7 考点02 直线与圆的相切问题 【方法点拨】（1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法：先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则切线的斜率不存在或为0，从而可直接得切线方程为或； （2）求过圆外一点的圆的切线方程一般采取几何法：设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出． 【例3】圆在点处的切线方程为 ． 【例4】设过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知圆经过两点，，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 【变式2-2】已知和点，则过点的的所有切线方程为 . 【变式2-3】过点向圆作两条切线，切点分别为，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 考点03 圆的弦长问题 【方法点拨】一般用几何法：由于半径、弦长距、弦长的一半构成直角三角形，所以利用求解 【例5】直线被圆所截得的弦长为 . 【例6】过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【变式3-1】已知直线被圆心为的圆截得的弦长为，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知直线与圆相交于A，B两点，若，则（　　） A． B．1 C． D．﹣2 【变式3-3】过坐标原点O作两条互相垂直的直线OA，OB，点A，B（异于点O）均在圆上，则面积的最大值为（    ） A．26 B． C．13 D． 考点04 直线与圆的实际应用 【方法点拨】①认真审题，明确题意，从题目中抽象出儿何模型，明确已知量和未知量；②建立平面直角坐标系，求出相关各点的坐标，从而在实际问题中求出直线与圆的方程；③利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；④将运算结果还原到实际问题中 【例7】如图，圆弧形拱桥的跨度米，拱高|米，则拱桥的直径为（　　） A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米 【例8】如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含地界和内部），长为12米，在边上距离B点5米的E处放置一只机器犬，在距离B点2米的F处放置一个机器人，机器人行走的速度为v，机器犬行走的速度为，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点P，则机器犬将被机器人捕获，点P叫成功点． (1)求在这个矩形场地内成功点P的轨迹方程； (2)若N为矩形场地边上的一点，若机器犬在线段上都能逃脱，问N点应在何处？ 【变式4-1】（多选）某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台的北偏东方向处设立观测点，在平台的正西方向处设立观测点，已知经过三点的圆为圆，规定圆及其内部区域为安全预警区.以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西方向行驶，则（    ）    A．观测点之间的距离是 B．圆的方程为 C．小汽车行驶路线所在直线的方程为 D．小汽车会进入安全预警区 【变式4-2】为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．    (1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围． 【变式4-3】如图，某海面有O，A，B三个小岛（小岛可视为质点，不计大小），A岛在O岛正东方向距O岛20千米处，B岛在O岛北偏东45°方向距O岛千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，10千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．    (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一渔船D在O岛的南偏东30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东30°方向行驶，若不改变方向，试问该渔船是否有触礁的危险？请说明理由． 考点05 圆与圆位置关系的判断 【方法点拨】判断圆与圆的位置关系的一般步骤：①将两圆的方程化为标准方程；②分别求出两圆的圆心坐标和半径；③求两圆的圆心距；④比较与的大小；⑤根据大小关系确定圆与圆的位置关系． 【例9】如果两个圆没有公共点，那么它们一定外离；如果两个圆只有一个公共点，那么它们一定外切，这种说法是否正确？ 【例10】（多选）已知圆，圆，则下列结论正确的是（    ） A．若和外离，则或 B．若和外切，则 C．当时，有且仅有一条直线与和均相切 D．当时，和内含 【变式5-1】已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【变式5-2】（多选）已知圆，若圆上仅存在一点使，则正实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-3】已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 考点06 两圆相切问题 【方法点拨】将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外切时） 【例11】已知圆和圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例12】曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】圆与圆的公切线长为 . 【变式6-2】平面上有两个圆，它们的方程分别是和，求这两个圆的内公切线方程． 【变式6-3】已知圆和，则圆与圆的所有公切线中斜率的最大值为 . 考点07 两圆公共弦长问题 【方法点拨】方法一，联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解； 方法二，先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解． 【例13】圆与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【例14】已知是圆与圆的公共点，则的面积为（    ） A．3 B． C． D． 【变式7-1】圆和圆的公共弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，动点满足，则点的轨迹与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】圆与圆的公共弦长为，则过点且与圆相切的直线方程为 ． 考点08 过两圆的交点的圆问题 【方法点拨】已知圆与圆相交，则过两圆交点的圆的方程可设为 注意：此方程不包括圆的方程 【例15】已知圆，圆，则过圆与圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为 . 【例16】已知点M到点的距离与点M到点的距离之比为. (1)求M点的轨迹C的方程； (2)求过轨迹C和的交点，且与直线相切的圆的方程； 【变式8-1】圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程为 . 【变式8-2】已知圆C：． (1)求过点且与圆C相切的直线方程； (2)求圆心在直线上，并且经过圆C与圆Q：的交点的圆的方程． 【变式8-3】已知圆与圆的相交于两点. (1)求线段的长度； (2)若圆经过圆与圆的交点，且圆心在直线上，求圆的方程. 一、单选题 1．已知点，圆，若圆上存在点使得，则实数的最小值是（    ） A．－1 B．1 C．0 D．2 2．已知直线被圆截得的弦长为整数，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则原点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆和圆相交于两点，点是圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知动点到原点与到点的距离之比为，记的轨迹为，直线，则（    ） A．是一个半径为的圆 B．上的点到的距离的取值范围为 C．被截得的弦长为 D．上存在四个点到的距离为 二、多选题 6．已知直线与圆交于A，B两点，则的值可以为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．已知直线与圆相交于两点，下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则 B．的最小值为 C．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点 D．若（为坐标原点）四点共圆，则 三、填空题 8．已知圆，圆，若两圆相交，则正实数的取值范围是 . 9．已知圆以点为圆心，且与直线相切，则满足以上条件的圆的半径最大时，圆的标准方程为 ． 四、解答题 10．求满足下列条件的曲线方程： (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程. 11．已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 12．已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知为圆C上一点，求与圆C外切于点A，且半径为6的圆的方程． 13．已知以为圆心的圆，过直线上一点作圆的切线，切线段（为切点）长的最小值为. (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆相交于，两点，求两个圆公共弦AB的长. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$