精品解析：广东省大湾区2023-2024学年高一下学期期末联合考试数学试题

大湾区2023—2024学年第二学期期末联合考试 高一数学 本卷共6页，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校､班级､姓名､考场号､座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则的模为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合复数模的运算公式，即可求解. 【详解】由复数，所以. 故选：D. 2 已知向量与向量平行，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量与向量平行，所以，解得. 故选：A 3. 设的内角所对的边分别为，若，，，则等于（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理结合特殊角三角函数值即可求得的值. 【详解】由正弦定理可得 由，，可得，则，故, 又，则 故选：A 4. 已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面，，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行的性质确定D正确，根据直线和平面的位置关系确定ABC错误，得到答案. 【详解】对选项A：若，，则或为异面直线，错误； 对选项B：若，，则和可以是任何位置关系，错误； 对选项C：若，，则和可以是任何位置关系，错误； 对选项D：若，，，则，正确； 故选：D. 5. 如图1，在高为的直三棱柱容器中，现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则容器的高为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用两个几何体中的装水的体积相等，列出方程，即可求解. 【详解】解：在图（1）中的几何体中，水的体积为, 在图（2）的几何体中，水的体积为：， 因为，可得，解得. 故选：B. 6. 已知扇形的半径为13，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，弧的中点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，利用半角公式得到，从而得到，得到答案. 【详解】因为， 故， 故， 故，故. 故选：B 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简，再得到平移后的解析式，即可得到，逐个检验即可得出答案. 【详解】因为. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象， 所以有，所以， 所以有，. 对于A项，令，即，解得，A项错误； 对于B项，令，即，解得，B项正确； 对于C项，令，即，解得，C项错误； 对于D项，令，即，解得，D项错误. 故选：B. 8. 如图：正方体的棱长为2，E为的中点，过点D作正方体截面使其与平面平行，则该截面的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知，过点D作正方体截面使其与平面平行的截面即为菱形，利用菱形面积公式即可求得结果为. 【详解】根据题意，取的中点分别为，连接，如下图所示： 易知，且，所以四边形是平行四边形； 即，又平面，平面， 所以平面； 同理可得平面； ，平面， 所以平面平面平行， 即过点D作正方体截面使其与平面平行的截面即为平面； 显然，，且，； 所以四边形是边长为的菱形，即所求截面面积即为菱形的面积； 易知，所以其面积为. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为复数，则（ ） A. 存在唯一的，使 B. 存在唯一的，使 C. 存在唯一的，使 D. 存在唯一的，使 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数模的性质判断A，再根据复数代数形式的运算法则计算，即可判断B、C、D； 【详解】解：对于A：因为，所以， 又，所以，此时复数有无数多个，故A错误； 对于B：且，所以，故B正确； 对于C：且，所以，故C正确； 对于D：且，所以，故D正确； 故选：BCD 10. 如图，是底面直径为高为的圆柱的轴截面，四边形绕逆时针旋转到，则（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 当时， C. 当时，异面直线与所成的角为 D. 面积的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由圆柱的侧面积公式可得； 对于B，由线面垂直的判定定理和性质定理可得； 对于C，由题知，为正三角形，根据异面直线所成的角的定义计算得解； 对于D，作，由线面垂直的判定定理和性质定理得.在中，，代三角形面积公式得解. 【详解】对于A，圆柱的侧面积为，A错误； 对于B，因为，所以，又， 所以平面，所以，B正确； 对于C，因为，所以就是异面直线与 所成的角，因为，所以为正三角形， 所以，因为，所以，C正确； 对于D，作，垂足为，连接，所以平面，所以. 在中，， ，所以，D错误. 故选：BC. 11. 直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（ ） A. 的取值范围是 B. 点经过的外心 C. 点所在轨迹的长度为2 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由向量数量积的几何意义有，结合已知即可判断A；若为中点，根据已知有共线，即可判断B、C；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得，结合基本不等式求范围判断D. 【详解】由，又斜边，则，则，A正确； 若为中点，则，故，又， 所以共线，故在线段上，轨迹长为1，又是的外心，B正确，C错误； 由上，则， 又，则，当且仅当等号成立， 所以，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：若为中点，应用数形结合法，及向量线性运算的几何意义、数量积的几何意义和运算律判断轨迹，求、. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则此圆锥的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】由轴截面可确定圆锥底面半径和母线长，代入圆锥表面积公式即可. 【详解】圆锥轴截面是边长为的等边三角形，圆锥底面半径，圆锥母线长， 圆锥的表面积. 故答案为：. 13. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式及特殊角的三角函数值化简即可. 【详解】 ． 故答案为：. 14. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，则点的坐标_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用新定义，根据两个向量坐标形式的运算法则，即可求解. 详解】由题意可得， 因为点绕点沿逆时针方向旋转角得到点， 所以， 设点坐标为，则， 解得，， 即点的坐标为， 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，分别为线段，的中点，底面，. （1）作出平面与平面的交线，并证明； （2）求点到平面距离. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用线面平行的判定定理可证得面，再由线面平行的性质定理可证得结论， （2）利用等体积求解即可 【小问1详解】 在图形中作出交线 ∵，且为中点， ∴且 ∴四边形为平行四边形 ∴，∵面，面， ∴面 又面，面面， ∴ 【小问2详解】 设点到平面的距离为，，连接， ∵为PC中点，∴G为PD中点，∴ ∵，，∴， ∵平面，∴ ∵，∴平面，∴. ∵ ∴ ∴ ∴. 16. 如图，是等边三角形，是边上的动点，记. （1）求的最大值； （2）若，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据代入计算，利用三角公式变形后利用正弦函数的性质求最值； （2）先求出，再利用正弦定理求，利用余弦定理求，进而周长可求. 【小问1详解】 由是等边三角形得，， 所以 当时，即为中点时，原式取最大值； 【小问2详解】 由，可得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 所以, 则的周长为. 17. 人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为 （1）若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）已知，，，若，，求的值 （3）已知，、，，若，，求、之间的曼哈顿距离. 【答案】（1），余弦距离等于 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据公式直接计算即可. （2）根据公式得到，，计算得到答案. （3）利用两角和与差的正弦、余弦公式可求出点、的坐标，结合题中定义可求得、之间的曼哈顿距离. 【小问1详解】 ， ，故余弦距离等于； 【小问2详解】 ； 故，，则. 【小问3详解】 因为，， 所以. 因为，所以. 因为， 所以. 因为，则， 所以. 因为， ，所以. 因为， ， 所以. 因为， 所以、之间的曼哈顿距离是. 18. 已知平行四边形中，，，和交于点． （1）用，表示向量． （2）若的面积为，的面积为，求的值． （3）若，，求的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量共线定理的推论得到，再由且，即可得到方程，求出，即可得解； （2）由（1）得到线段的比，即可得到面积之比； （3）依题意可得平行四边形是正方形，建立平面直角坐标系，利用坐标法求出两向量夹角的余弦值，即可得解. 【小问1详解】 因为点在上，则， 又因为，，可知，解得， 所以． 【小问2详解】 由可得，则，即， 因为，则， 即，可知，即， 所以． 【小问3详解】 由，即， 则， 所以，即，又， 所以平行四边形是正方形，如图所示的建系， 不妨设，则，可得，， 可得， 因为是向量和的夹角，所以的余弦值是． 19. 如图，三棱台中，，，，点A在平面上的射影在的平分线上. （1）求证：； （2）若A到平面的距离为4，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直证线线垂直即可；（2）利用棱台特征补全棱锥，结合等体积法求点面距离，计算即可. 【小问1详解】 如图所示，补全棱台，延长三条侧棱交于O点，得到棱锥， 由题意可知分别是三条侧棱的中点， 取的中点，连接，设A在底面的投影为M，连接， 根据题意可知底面，且M在上， 因为面，所以 又，所以, 而平面, 所以面, 因为面，所以； 【小问2详解】 过作底面，结合（1）可知N在上，且， 在上，， 结合题意可知：，则 在中，， 所以， 设到平面的距离为，与平面的夹角为， 所以， 解之得：， 所以， 因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大湾区2023—2024学年第二学期期末联合考试 高一数学 本卷共6页，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校､班级､姓名､考场号､座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则的模为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 2. 已知向量与向量平行，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 3. 设的内角所对的边分别为，若，，，则等于（ ） A. B. 或 C. D. 4. 已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面，，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 5. 如图1，在高为的直三棱柱容器中，现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则容器的高为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 6. 已知扇形的半径为13，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，弧的中点为，则（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 8. 如图：正方体的棱长为2，E为的中点，过点D作正方体截面使其与平面平行，则该截面的面积为（　　） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为复数，则（ ） A. 存在唯一的，使 B. 存在唯一的，使 C. 存在唯一的，使 D. 存在唯一的，使 10. 如图，是底面直径为高为的圆柱的轴截面，四边形绕逆时针旋转到，则（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 当时， C. 当时，异面直线与所成的角为 D. 面积最大值为 11. 直角中，斜边，所在平面内一点，（其中），则（ ） A. 的取值范围是 B. 点经过外心 C. 点所在轨迹的长度为2 D. 的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则此圆锥的表面积为________. 13. 计算：________． 14. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，则点的坐标_____. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，分别为线段，的中点，底面，. （1）作出平面与平面的交线，并证明； （2）求点到平面的距离. 16. 如图，是等边三角形，是边上的动点，记. （1）求最大值； （2）若，求的周长. 17. 人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为 （1）若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）已知，，，若，，求的值 （3）已知，、，，若，，求、之间的曼哈顿距离. 18. 已知平行四边形中，，，和交于点． （1）用，表示向量． （2）若面积为，的面积为，求的值． （3）若，，求的余弦值． 19. 如图，三棱台中，，，，点A在平面上的射影在的平分线上. （1）求证：； （2）若A到平面的距离为4，求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$