精品解析：广东省珠海市香洲区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

香洲区2023—2024学年度第二学期义务教育阶段质量监测 七年级数学 说明： 1．全卷共6页．满分120分，考试用时120分钟． 2．用黑色字迹钢笔或签字笔按要求写在答题卡上，在试卷上作答无效．不能用铅笔或红色字迹的笔． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，满足，若 a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：A． 2. 下列收集数据的方式适合抽样调查的是（ ） A. 旅客进动车站前的安检 B. 了解某批次汽车的抗撞击能力 C. 了解某班同学的身高情况 D. 选出某班短跑最快的同学参加校运动会 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 【详解】解：A. 旅客进动车站前的安检,适合全面调查，故该选项不符合题意； B. 了解某批次汽车抗撞击能力, 适合抽样调查，故该选项符合题意； C. 了解某班同学的身高情况, 适合全面调查，故该选项不符合题意； D. 选出某班短跑最快的同学参加校运动会, 适合全面调查，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 农户利用“立体大棚种植技术”把毛豆和芹菜进行混种．已知毛豆齐苗后棚温在最适宜，播种芹菜的最适宜温度是．农户在毛豆齐苗后在同一大棚播种了芹菜，这时应该把大棚温度设置在下列哪个范围最适宜（ ） A. B. C. D. 以上 【答案】B 【解析】 【分析】根据毛豆齐苗后棚温在最适宜，播种芹菜的最适宜温度是，即可求解． 【详解】解：∵毛豆齐苗后棚温在最适宜，播种芹菜的最适宜温度是． ∴在毛豆齐苗后在同一大棚播种了芹菜，这时应该把大棚温度设置在最适宜． 故选：B 【点睛】本题主要考查了不等式的应用，明确题意，理解最适宜温度的意义是解题的关键． 4. 2024年香洲区举办了第六届风筝节．如图所示的风筝骨架中，与构成同旁内角的是（　　） 阳江风筝，流传于广东省阳江市的传统手工技艺，已有1400余年的历史．如图所示的风筝骨架中，与∠3构成同旁内角的是（　　）    ∠1 ∠2 ∠4 ∠5 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是同旁内角的定义，关键是知道哪两条直线被第三条直线所截．根据同旁内角的定义解答即可，即两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角． 【详解】解：与构成同旁内角的是． 故选：A． 5. 若，则下列不等式中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A．∵，∴，原变形错误，故该选项不符合题意； B．∵，∴，原变形错误，故该选项不符合题意； C．∵，∴，原变形错误，故该选项不符合题意； D．∵，∴，原变形正确，故该选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，河道1的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂线段最短以及两点之间线段最短，求解即可． 【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是： 故选：A． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 7. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”其可译为：“有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，则1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？”设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒斛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒斛，根据5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，列出方程组即可． 【详解】解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒斛，根据题意得： ， 故选：A． 8. 若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程和二元一次方程的解，由得到是解题的关键．由可得，结合题意可得，求解即可． 【详解】解：， 由，可得， 整理可得， ∵， ∴， 解得． 故选：A． 9. 按如图所示的程序计算，若开始输入的值为1，最后输出的结果是5，则“?”表示的判断条件可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．将开始输入的值1代入计算，知道所得计算结果大于介于时的数，输出即可． 【详解】解：如输入1，则， 输入，则，输出； 故判断条件为大于且小于5的数， 选项中满足， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，B，C为x轴上两点，以点O为圆心画圆（直径小于），交y轴负半轴于点A，过点A作x轴平行线，点P为圆上一个动点，连接，下列说法正确的有（　　） ①当点P运动到第一象限，则 ②当点P运动到第二象限，则 ③当点P运动到第三象限，则 ④当点P运动到第四象限，则 A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，平行线的性质，解题的关键是利用数形结合的思想来求解，画出每一种情况的图形，然后利用平行线的性质求解． 【详解】解：①当点P运动到第一象限，则，故①错误； ②当点P运动到第二象限， 则，故②正确； ③当点P运动到第三象限， 则，故③正确； ④当点P运动到第四象限，则， 则，故④错误， 故正确的为：②③， 故选：D． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 的相反数是_________________； 【答案】2 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答即可． 【详解】2相反数是2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了实数的性质，熟记概念与性质是解题的关键． 12. 一罐饮料净重，罐上标注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量至少为______g． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．关键描述语是：蛋白质含量，则问题可转化为“蛋白质的含量至少应为多少克”，根据题意列出不等式即可． 【详解】解：设蛋白质的含量至少应为克，依题意得： 解得， 故答案为：． 13. 已知，用含x的式子表示______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查等式的性质变形， 根据等式的性质进行变形即可． 【详解】解： ， 故答案：． 14. 已知点在坐标轴上，则点P的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】由在坐标轴上，可知当，解得，，即；当，解得，，即． 【详解】解：∵在坐标轴上， ∴当，解得，，即； 当，解得，，即； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了点坐标的特征，解一元一次方程．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 15. 若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键． 由，可得，由不等式的解集为，则，即且，可求，则，整理得，计算求解即可． 【详解】解：， ∴， ∵不等式的解集为， ∴，即且， 解得，， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 16. 一个微型机器人在第一象限及x，y轴上运动，如图，第1秒钟它由原点到点，并接着按图中箭头方向以相同速度运动，即，，，，那么第120秒时，该机器人所在位置的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的规律探究，正确找出规律是解题的关键．根据已知点的坐标，以及点的移动速度，得到点移动到时，用的时间为秒，且当点移动到时，为奇数时，先向右移动秒，得到，再向下移动秒，得到，为偶数时，向上移动一个单位，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意可知： 当点移动到时，用时2秒， 当点移动到时，用时6秒， 当点移动到时，用时12秒； 点移动到时，用的时间为秒， 当点移动到时，先向右移动1秒，得到，再向下移动1秒得到， 当点移动到时，向上移动1秒，得到， 当点移动到时，先向右移动3秒，得到，再向下移动3秒得到， 当点移动到时，为奇数时，先向右移动秒，得到，再向下移动秒，得到，为偶数时，向上移动1秒，得到， 当点移动到时，用时秒，再向左移动10秒，得到， 即：第120秒时质点所在位置坐标是为； 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题第17题（1）4分，第17题（2）5分，第18、19题各6分，共21分） 17. （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别计算有理数的乘方，立方根，算术平方根，然后进行加减运算即可； （2）先分别求两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集． 【小问1详解】 解：原式； 小问2详解】 解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，立方根，算术平方根，解一元一次不等式组．熟练掌握有理数的乘方，立方根，算术平方根，解一元一次不等式组是解题的关键． 18. 如图，直线，相交于点O，平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的相关计算，角平分线的相关计算，对顶角相等等知识． （1）由对顶角相等可得出，由角平分线的定义可得出 （2）由平角的定义得出，由角平分线的定义可得出，再由对顶角相等可得出． 【小问1详解】 解：∵ ∴ 又∵平分 ∴ 【小问2详解】 ∵， ∴ 又∵平分 ∴ ∴． 19. 为了了解某校学生在一年中的课外阅读量，数学兴趣小组对七年级600名学生采用随机抽样的方式进行了问卷调查，调查的结果有四种情况：A．10本以下；B．10-15本；C．16-20本；D．20本以上，根据调查结果统计整理并绘制了如图所示的统计图及统计表： 课外阅读情况 A B C D 频数 20 x y 40 （1）这次调查中一共抽查了_______名学生； （2）表中______，_______； （3）根据抽样调查结果，请估计该校七年级学生中一年阅读课外书20本以上的学生人数． 【答案】（1）200 （2）60，80 （3）120人 【解析】 【分析】此题主要考查了扇形统计图，以及样本估计总体，关键是正确从扇形统计图和表中得到所用信息． （1）利用部分的人数部分人数所占百分比即可算出本次问卷调查共抽取的学生数； （2）抽查的学生总数部分的学生所占百分比，抽查的学生总数部分的人数部分的人数部分的人数； （3）利用样本估计总体的方法，用600人调查的学生中一年阅读课外书20本以上的学生人数所占百分比． 【小问1详解】 解：（人）， 在这次调查中一共抽查了200名学生， 故答案为：200； 【小问2详解】 解：， ， 故答案为：60，80； 【小问3详解】 解：（人）． 答：七年级600名学生一年阅读课外书20本以上的学生人数为人． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 20. 如图1所示的正方形铁板是由两张大小相同的长方形铁板拼接而成的，已知一个长方形铁板的面积为72平方厘米． （1）求正方形铁板的边长； （2）若将该正方形铁板进行裁剪，然后拼成一个体积为64立方厘米的无盖正方体容器，求剩余的铁板面积； （3）若工人把这个正方形铁板加工成如图2的零件，，，测得，请直接写出这个零件的周长． 【答案】（1）12厘米 （2）64平方厘米 （3）58.8厘米 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积公式进行解答； （2）由正方体的体积公式求得正方体的棱长，然后由正方形的面积公式进行解答； （3）利用平行线的性质及平移的性质，找到即可求解． 【小问1详解】 解：依题意得：厘米， 答：正方形纸板的边长为12厘米； 【小问2详解】 解：依题意得：厘米， 则剪切纸板的面积平方厘米， 剩余纸板的面积平方厘米， 即剩余的正方形纸板的面积为64平方厘米． 【小问3详解】 解：由图及条件可知：， 故零件的周长为： 21. 如图，的顶点都在格点上，若点A，点B的坐标分别为，． （1）在同一直角坐标系中，点C的坐标是_______； （2）把先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，请在网格中画出平移后的三角形； （3）在（2）的条件下，连接，交于点D，求的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】此题考查坐标与图形，画平移图形，网格与图形面积， （1）根据点A，点B的坐标建立直角坐标系，得到点C的坐标； （2）根据平移的规律确定点，顺次连线即可得到； （3）根据网格求出，利用面积法求出的长． 【小问1详解】 解：∵点A，点B的坐标分别为，． ∴建立如图所示的直角坐标系， ∴ 故答案为； 【小问2详解】 如图所示，即为所求； 【小问3详解】 ∵ ∴ ∴ ∴ 22. 如图1为北斗七星的位置图，将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，大致位置如图2所示，将A，B，C，D，E，F首尾顺次连接，若恰好经过点G，且B，G，C在一条直线上，若，，． （1）求的度数； （2）连接，若，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线．添加平行线，熟练掌握平行线的判定和性质，是解题的关键． （1）过点C作，根据平行线性质得到，，得到，结合，即得； （2）根据，，，得到，得到，即得． 【小问1详解】 解：如图：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明： ∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 23. 综合与实践：如图1是一架自制天平，支点O固定不变，右侧托盘固定在点B处，左侧托盘的点P可以在横梁AC段滑动．已知，，m，n分别表示1个M物体和1个N物体的质量．已知平衡时，左盘物体质量右盘物体质量．（不计托盘与横梁质量） （1）若左侧托盘固定在点C处，如图2所示天平平衡，，则______g； （2）若右侧托盘放置1个的砝码，左侧托盘放9个M物体和30个N物体，滑动点P到时，天平平衡，已知m，n为整数，求的值； （3）测量小球的质量：如图1右侧托盘放置2个砝码，左侧托盘放入一个小球和若干个物体N，滑动点P至点A天平恰好平衡，若再次向左侧托盘中加入相同数量的物体N，发现点P移动到时，天平平衡．求这个小球的质量． 【答案】（1） （2） （3）20克 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程和二元一次方程组的应用： （1）根据“左盘物体质量右盘物体质量”进行计算即可得出结论； （2）根据题意得，结合m，n为整数可求出m，n的值，即可得出的值； （3）设一个小球的质量为x克，若干个物体N的质量为y克，根据右侧托盘放置2个砝码，左侧托盘放入一个小球和若干个物体n，滑动点P至点A天平恰好平衡，若再次向左侧托盘中加入相同数量的物体n，发现点P移动到时，天平平衡可列出方程组，求出方程组的解即可 【小问1详解】 解：根据题意得：， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：根据题意得，， ， ∵m，n为整数， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：设一个小球的质量为x克，若干个物体N的质量为y克， 化简得： 解得： 答：一个小球的质量为20克. 24. 如图1，纸条沿折痕折叠，点落到点处，交于点． （1）若，求证：． （2）在（1）的条件下，如图2，点为射线上的一个动点，，垂足为，平分交射线于点． ①当点与点重合时，，求的度数； ②在点运动中，求出与的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2）①或或；②或 【解析】 【分析】（1）首先结合折叠的性质证明，然后根据“内错角相等，两直线平行”证明结论即可； （2）①设度，则，，根据题意建立关于的方程并求解，即可获得答案；②分点在线段上和点在线段延长线上两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 证明：由折叠可得，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①如图，当点P在线段上，点P在上 设，则，， ∵分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 当点P在线段上，点P在上，同理可求； 当点P在线段延长线上，同理可求； 综上：或或； ②当点在线段上时， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵分， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在线段延长线上时， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定、角平分线的定义、三角形内角和定理、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 香洲区2023—2024学年度第二学期义务教育阶段质量监测 七年级数学 说明： 1．全卷共6页．满分120分，考试用时120分钟． 2．用黑色字迹钢笔或签字笔按要求写在答题卡上，在试卷上作答无效．不能用铅笔或红色字迹的笔． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 下列收集数据的方式适合抽样调查的是（ ） A. 旅客进动车站前安检 B. 了解某批次汽车的抗撞击能力 C. 了解某班同学的身高情况 D. 选出某班短跑最快的同学参加校运动会 3. 农户利用“立体大棚种植技术”把毛豆和芹菜进行混种．已知毛豆齐苗后棚温在最适宜，播种芹菜的最适宜温度是．农户在毛豆齐苗后在同一大棚播种了芹菜，这时应该把大棚温度设置在下列哪个范围最适宜（ ） A. B. C. D. 以上 4. 2024年香洲区举办了第六届风筝节．如图所示的风筝骨架中，与构成同旁内角的是（　　） 阳江风筝，流传于广东省阳江市的传统手工技艺，已有1400余年的历史．如图所示的风筝骨架中，与∠3构成同旁内角的是（　　）    ∠1 ∠2 ∠4 ∠5 A. B. C. D. 5. 若，则下列不等式中正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，河道1的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（ ） A B. C. D. 7. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”其可译为：“有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，则1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？”设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒斛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 按如图所示的程序计算，若开始输入的值为1，最后输出的结果是5，则“?”表示的判断条件可能是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，B，C为x轴上两点，以点O为圆心画圆（直径小于），交y轴负半轴于点A，过点A作x轴平行线，点P为圆上一个动点，连接，下列说法正确的有（　　） ①当点P运动到第一象限，则 ②当点P运动到第二象限，则 ③当点P运动到第三象限，则 ④当点P运动到第四象限，则 A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③ 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 的相反数是_________________； 12. 一罐饮料净重，罐上标注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量至少为______g． 13. 已知，用含x的式子表示______． 14. 已知点在坐标轴上，则点P坐标为________． 15. 若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是_____． 16. 一个微型机器人在第一象限及x，y轴上运动，如图，第1秒钟它由原点到点，并接着按图中箭头方向以相同速度运动，即，，，，那么第120秒时，该机器人所在位置的坐标是_____． 三、解答题（一）（本大题第17题（1）4分，第17题（2）5分，第18、19题各6分，共21分） 17. （1）计算：； （2）解不等式组： 18. 如图，直线，相交于点O，平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 19. 为了了解某校学生在一年中的课外阅读量，数学兴趣小组对七年级600名学生采用随机抽样的方式进行了问卷调查，调查的结果有四种情况：A．10本以下；B．10-15本；C．16-20本；D．20本以上，根据调查结果统计整理并绘制了如图所示的统计图及统计表： 课外阅读情况 A B C D 频数 20 x y 40 （1）这次调查中一共抽查了_______名学生； （2）表中______，_______； （3）根据抽样调查结果，请估计该校七年级学生中一年阅读课外书20本以上的学生人数． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 20. 如图1所示的正方形铁板是由两张大小相同的长方形铁板拼接而成的，已知一个长方形铁板的面积为72平方厘米． （1）求正方形铁板的边长； （2）若将该正方形铁板进行裁剪，然后拼成一个体积为64立方厘米的无盖正方体容器，求剩余的铁板面积； （3）若工人把这个正方形铁板加工成如图2的零件，，，测得，请直接写出这个零件的周长． 21. 如图，的顶点都在格点上，若点A，点B的坐标分别为，． （1）在同一直角坐标系中，点C的坐标是_______； （2）把先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，请在网格中画出平移后的三角形； （3）在（2）的条件下，连接，交于点D，求的长． 22. 如图1为北斗七星的位置图，将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，大致位置如图2所示，将A，B，C，D，E，F首尾顺次连接，若恰好经过点G，且B，G，C在一条直线上，若，，． （1）求的度数； （2）连接，若，求证：． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 23. 综合与实践：如图1是一架自制天平，支点O固定不变，右侧托盘固定在点B处，左侧托盘的点P可以在横梁AC段滑动．已知，，m，n分别表示1个M物体和1个N物体的质量．已知平衡时，左盘物体质量右盘物体质量．（不计托盘与横梁质量） （1）若左侧托盘固定在点C处，如图2所示天平平衡，，则______g； （2）若右侧托盘放置1个砝码，左侧托盘放9个M物体和30个N物体，滑动点P到时，天平平衡，已知m，n为整数，求的值； （3）测量小球质量：如图1右侧托盘放置2个砝码，左侧托盘放入一个小球和若干个物体N，滑动点P至点A天平恰好平衡，若再次向左侧托盘中加入相同数量的物体N，发现点P移动到时，天平平衡．求这个小球的质量． 24. 如图1，纸条沿折痕折叠，点落到点处，交于点． （1）若，求证：． （2）在（1）的条件下，如图2，点为射线上的一个动点，，垂足为，平分交射线于点． ①当点与点重合时，，求的度数； ②在点运动中，求出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$