精品解析：广东省广州市白云区2023-2024学年高一下学期期末数学试题

2023学年第二学期期末教学质量监测 高一数学（试题） 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将考生号和座位号填涂在答题卡相应位置上. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列的表述中，正确的是（ ） A. 过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直 B. 过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行 C. 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直 D. 过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行 3. 若两个非零向量夹角为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 有一组从小到大排列的样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，，则（ ） A. 数据的标准差不小于数据的标准差 B. 数据的中位数与数据的中位数相等 C. 若数据的方差为m，则数据的方差为 D. 若数据的极差为d，则数据的极差为 5. 为了得到的图象，只需把图象上所有的点（ ） A. 先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变 B. 先向右平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 C. 先向左平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变 D. 先向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 6. 已知的外接圆圆心为O，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 通常以24小时内降水在平地上积水厚度（单位：mm）来判断降雨程度，其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）．小明用一个近似圆台的水桶（如图，计量单位）连续接了24小时的雨水，桶中水的高度约为桶高的，则当天的降雨等级是（ ） A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列说法中正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若向量的夹角为钝角，则m的取值范围是 10. 已知复数，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 在正三棱柱中，已知动点P满足，，且，则下列说法中正确是（ ） A. 若，则三棱锥的体积是定值 B. 若，则三棱锥的体积是定值 C. 若，则三棱锥的体积是三棱柱的体积的 D. 若，则直线AP与平面所成角正弦值的最大值是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数z满足，则__________． 13. 某班有男学生20人、女学生30人，为调查学生的课后阅读情况，现将学生分成男生、女生两个小组对两组学生某个月的课后阅读时长进行统计，情况如下表： 课后阅读时长平均数（小时） 方差 男生组 25 1 女生组 26 1.1 则该班学生这个月的课后阅读时长平均数为___________小时，方差为___________． 14. 已知点在所在平面内，满足，且，，则边BC的长为___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在棱长为2的正方体中，点E，P分别为，的中点． （1）求证：直线平面； （2）求点A到平面的距离． 16. 一家品牌连锁公司旗下共有100所加盟店．公司在年底对所有加盟店本年度营销总额（单位：百万元）进行统计，制作频率分布表如下： 分组 频数 频率 10 0.1 x 0.15 20 0.2 30 y 15 0.15 5 0.05 5 0.05 合计 100 1.00 （1）请求出频率分布表中x，y的值，并画出频率分布直方图； （2）请估计这100所加盟店去年销售总额的平均数（同一组中的数据，用该组区间的中点值作代表）； （3）为了评选本年度优秀加盟店，公司将依据营销总额制定评选标准，按照“不超过的加盟店获评优秀加盟店称号”的要求，请根据频率分布直方图，为该公司提出本年度“评选标准”建议． 17. 已知甲船在A海岛正北方向海里的B处，以7海里/小时的速度沿东偏南的方向航行． （1）甲船航行3小时到达C处，求AC； （2）在A海岛西偏南方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由． 18. 在四棱锥中，侧面底面，侧面为正三角形，底面为矩形，是的中点，且与平面所成角的正弦值为. （1）求证：平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值； （3）求平面与平面所成夹角的正弦值. 19. 如图，E为线段AD的中点，C为DA延长线上的一点，以A为圆心，AE长度为半径作半圆，B为半圆上一点，连接BC，BD． （1）若，以BD为边作正三角形BFD，求四边形ABFD面积的最大值； （2）在中，记的对边分别为a，b，c，且满足 ①求证：； ②求最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期期末教学质量监测 高一数学（试题） 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将考生号和座位号填涂在答题卡相应位置上. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量运算法则逐步转换即可. 【详解】. 故选：C 2. 下列的表述中，正确的是（ ） A. 过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直 B. 过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行 C. 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直 D. 过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，根据过平面外一点有且只有1条直线与平面垂直以及线面垂直定义即可判断；对于B，由平面概念即可判断；对于C，由线面垂直定义即可判断；对于D，“由过直线外一点只能作出一条直线与该直线平行”和“过所作直线的平面有无数个即可判断”. 【详解】对于A，因为过平面外一点有且只有1条直线与平面垂直， 而过该垂线的面有无数个，根据面面垂直的判定定理可知这无数个面与该平面垂直，故A错误； 对于B，由平面定义可知过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行，故B正确； 对于C，由线面垂直定义可知，过直线外一点，有且只有一个平面与该直线垂直， 而过垂面内一点在垂面内有无数条直线与该直线垂直， 所以过直线外一点，有无数条直线与这条直线垂直，故C错误； 对于D，过直线外一点，只能作出一条直线与该直线平行，而过所作直线的平面有无数个， 所以过直线外一点，有无数个平面与该直线平行，故D错误. 故选：B. 3. 若两个非零向量夹角为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可得，再根据向量的数量积运算律和夹角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以 故选:A. 4. 有一组从小到大排列的样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，，则（ ） A. 数据的标准差不小于数据的标准差 B. 数据的中位数与数据的中位数相等 C. 若数据的方差为m，则数据的方差为 D. 若数据的极差为d，则数据的极差为 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，根据题意以及标准差的意义即可判断；对于B，根据中位数定义即可判断；对于C，由方差性质即可判断；对于D，根据极差定义直接计算即可得解. 【详解】对于A， 因为， 所以根据标准差的意义可知数据的标准差小于等于数据的标准差， 故A错误； 对于B，根据中位数定义可知，数据的中位数与数据的中位数是相同数据所得， 所以两组数据中位数相等，故B正确； 对于C，若数据的方差为m， 则由方差性质得数据的方差为，故C错误； 对于D，由题意数据的极差为， 所以数据的极差为，故D错误. 故选：B. 5. 为了得到的图象，只需把图象上所有的点（ ） A. 先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变 B. 先向右平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 C. 先向左平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变 D. 先向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移变换知识即可判断. 【详解】根据平移变换知识先向左平移个单位长度可得， 再将所得曲线横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变得. 故选：C. 6. 已知的外接圆圆心为O，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出为的外接圆的直径以及，再根据投影向量的概念直接计算即可得解. 【详解】因为，所以O为BC边中点， 所以为外接圆的直径，且（为外接圆半径）， 又，故， 所以，则在上的投影向量为. 故选：B. 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化切为弦，逆用两角和的正弦公式化简得，根据诱导公式及正弦函数的性质得或，即可得解. 【详解】因为，所以， 即，整理得， 即，所以或， 即或（舍去）. 故选：D 8. 通常以24小时内降水在平地上积水厚度（单位：mm）来判断降雨程度，其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）．小明用一个近似圆台的水桶（如图，计量单位）连续接了24小时的雨水，桶中水的高度约为桶高的，则当天的降雨等级是（ ） A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 【答案】B 【解析】 【分析】计算出水桶桶中水的体积，除以水桶上底面面积即可得24小时内降水在平地上积水厚度，即可得解. 【详解】由题桶的下底面面积为，上底面面积 又桶中水水面与底面距离为， 设水面半径为，如图为桶的轴截面图形， 则，则， 故由得， 故水面半径为， 所以桶中水水面面积为 所以连续24小时的桶中水的体积为， 所以24小时内降水在平地上积水厚度为， 所以当天的降雨等级是中雨. 故选：B. 【点睛】思路点睛：先计算出水面半径，进而得水桶桶中水的体积，再除以水桶上底面面积即可得24小时内降水在平地上积水厚度. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B 若，则 C. 若，则 D. 若向量的夹角为钝角，则m的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，计算出，利用模长公式列出方程，求出，A错误；B选项，根据模长公式列出方程，求出答案；C选项，根据平行关系列出方程，求出；D选项，得到且不反向共线，得到不等式，求出答案. 【详解】A选项，，故，解得，A错误； B选项，，即，解得，B正确； C选项，由题意得，解得，C正确； D选项，若向量的夹角为钝角，则且不反向共线， 故且，解得且，D错误. 故选：BC 10. 已知复数，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由复数几何意义以及向量加法三角形法则结合向量的模的定义即可判断；对于B、C，举反例即可判断；对于D，设，，再根据共轭复数定义、复数的除法以及复数的模的定义直接计算即可判断. 【详解】对于A，设复数、对应的点分别为、， 则由复数几何意义以及向量加法三角形法则结合向量的模的定义得，故A正确； 对于B，当，则，可为任意复数，即与不一定相等，故B错误； 对于C，设复数、， 则，故，但不满足，故C错误； 对于D，若，设，， 故， 则 ， 又，故，故D正确. 故选：AD. 11. 在正三棱柱中，已知动点P满足，，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则三棱锥的体积是定值 B. 若，则三棱锥的体积是定值 C. 若，则三棱锥的体积是三棱柱的体积的 D. 若，则直线AP与平面所成角的正弦值的最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，易得点在上，再根据棱锥的体积公式即可判断；对于B，易得点在上，再根据棱锥的体积公式即可判断；对于C，由题意得点为的中点，再根据棱锥和棱柱的体积公式即可判断；对于D，由题意可得点在上，取的中点，连接，证明平面，则即为直线AP与平面所成角的平面角，再解即可判断. 【详解】对于A，若，则， 所以，所以， 所以点在上， 因为，所以点到平面的距离即为点到平面的距离，为定值， 而为定值， 所以为定值，故A正确； 对于B，若，则， 所以，所以， 所以点在上，所以点到平面的距离不是定值， 因为为定值， 所以不是定值，故B错误； 对于C，若，则点为的中点， 故，故C正确； 对于D，若，则三点共线，即点在上， 取的中点，连接， 则， 因为平面，平面， 所以， 又平面， 所以平面， 所以即为直线AP与平面所成角的平面角， 设正三棱柱的棱长为，则， 而， 要使最大，则要最大， 则最小， 当时，最小，此时， 此时， 所以， 即直线AP与平面所成角的正弦值的最大值是，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数z满足，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出复数z，再根据复数的模的定义直接计算即可得解. 【详解】由题意， 故. 故答案为：. 13. 某班有男学生20人、女学生30人，为调查学生的课后阅读情况，现将学生分成男生、女生两个小组对两组学生某个月的课后阅读时长进行统计，情况如下表： 课后阅读时长平均数（小时） 方差 男生组 25 1 女生组 26 1.1 则该班学生这个月的课后阅读时长平均数为___________小时，方差为___________． 【答案】 ①. 25.6 ②. 1.3 【解析】 【分析】将数据代入平均数公式和分层抽样方差公式进行运算. 【详解】该班学生这个月的课后阅读时长平均数为， 方差为. 故答案为：25.6；1.3 14. 已知点在所在平面内，满足，且，，则边BC的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，先证明点为的重心，易得点为的外心，将用表示，再根据数量积的几何意义结合求出，再根据求出，进而可得出答案. 【详解】取的中点，则， 因为，所以， 所以，又为公共端点，所以三点共线， 所以点在边的中线上，且， 同理点在边的中线上，即点为的重心， 故， 因为， 所以点为的外心，即为为中垂线的交点， 故， 则， 所以， 而，所以， 即， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据数量积的几何意义结合求出，是解决本题的关键. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在棱长为2的正方体中，点E，P分别为，的中点． （1）求证：直线平面； （2）求点A到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，进而得即可得证直线平面； （2）由即可求解. 【小问1详解】 由正方体性质可知，且，故， 又因为点E，P分别为，的中点， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以直线平面. 【小问2详解】 设点A到平面的距离为， 由题， 故, 又由正方体性质平面，平面， 所以，所以， 所以， 又，故，即点A到平面的距离为. 16. 一家品牌连锁公司旗下共有100所加盟店．公司在年底对所有加盟店本年度营销总额（单位：百万元）进行统计，制作频率分布表如下： 分组 频数 频率 10 0.1 x 0.15 20 0.2 30 y 15 0.15 5 0.05 5 0.05 合计 100 1.00 （1）请求出频率分布表中x，y的值，并画出频率分布直方图； （2）请估计这100所加盟店去年销售总额的平均数（同一组中的数据，用该组区间的中点值作代表）； （3）为了评选本年度优秀加盟店，公司将依据营销总额制定评选标准，按照“不超过的加盟店获评优秀加盟店称号”的要求，请根据频率分布直方图，为该公司提出本年度“评选标准”建议． 【答案】（1），频率分布直方图见解析. （2） （3）选取本年度营销总额大于百万元的加盟店获评优秀加盟店称号. 【解析】 【分析】（1）根据频率与频数的关系，即可求解，再把频率除以组距即可画出频率分布直方图. （2）根据平均数计算公式即可求解. （3）根据百分位数公式即可求解. 【小问1详解】 ,频率分布直方图如图所示， 【小问2详解】 ， 故这100所加盟店去年销售总额的平均数为18.2. 【小问3详解】 第40百分位数为，故应选取本年度营销总额大于百万元的加盟店获评优秀加盟店称号. 17. 已知甲船在A海岛正北方向海里的B处，以7海里/小时的速度沿东偏南的方向航行． （1）甲船航行3小时到达C处，求AC； （2）在A海岛西偏南方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由． 【答案】（1）海里； （2）甲船能沿DE方向航行前往救援，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）中使用余弦定理即可求得答案. （2）先根据题目所给的条件作图，在中，由求得长度，在中，先根据余弦定理求得长度，再利用等面积法求得长度，即可判断. 【小问1详解】 由题意得，海里，海里，， 在中，由余弦定理得 ， 所以，(海里). 小问2详解】 甲船能沿DE方向航行前往救援，理由如下： 如图所示，延长，过点A向正东方向作交的延长线于点D，连接，过点A作 交于点F， 在中，(海里)， 在中， (海里)， ， 由余弦定理得 ， 所以(海里)， 所以， 因此甲船能沿方向航行前往救援. 18. 在四棱锥中，侧面底面，侧面为正三角形，底面为矩形，是的中点，且与平面所成角的正弦值为. （1）求证：平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值； （3）求平面与平面所成夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析． （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面，从而得，然后由线面垂直的判定定理证明线面垂直； （2）法一：取中点，证明平面，以为原点，过平行于的直线为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求线面角求得的长，然后线线角的空间向量法求解；法二：找出在平面的投影，即可结合与平面所成角的正弦值计算得到与长度关系，再借助等角定理找到与相交且与平行的直线，最后利用余弦定理的推论计算即可得； （3）法一：由二面角的空间向量法求得余弦值再转化为正弦值；法二：先找到平面与平面交线，再作出相应二面角的平面角，再通过计算得到该平面角的正弦值即可得解． 【小问1详解】 底面为矩形，则， 又因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面，而平面，所以， 又侧面为正三角形，是的中点，所以， 又，平面， 所以平面； 【小问2详解】 法一：取中点，连接，则， 又因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 以为原点，过平行于的直线为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，则，，，， 则， ，平面的一个法向量是， 因为与平面所成角的正弦值为.， 所以，解得（负值舍去）， ， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为； 法二：取中点，连接，，连接，取中点，连接、， 由为正三角形，则， 由侧面底面，侧面底面，平面， 故平面，则在平面上的投影为， 故即为直线与平面所成角， 则有，则， 则，， 则四边形为正方形，故， 连接，取中点，连接、， 由是的中点，则，且， 故直线与直线所成角与直线与直线所成角相等， 则， 故直线与直线所成角的余弦值为； 【小问3详解】 法一：由（2）知，设平面的一个法向量是， 则， 取，则，， 所以为平面的一个法向量， ，，， 设平面的一个法向量是， 则， 取，则，， 所以为平面的一个法向量， ， 设平面与平面所成夹角为， 则，从而． 所以平面与平面所成夹角的正弦值为． 法二：取中点，中点，连接、、， 过点作于点，过点作于点， 由、分别为、中点，则，， 由四边形为正方形，故且， 故，故平面与平面为同一平面， 则平面与平面所成夹角即为或其补角， 又，故，由为中点，故， 故四边形为矩形，则， 则，故，则， ， 则， 故，则， ， 故， 则， 即平面与平面所成夹角的正弦值为. 19. 如图，E为线段AD的中点，C为DA延长线上的一点，以A为圆心，AE长度为半径作半圆，B为半圆上一点，连接BC，BD． （1）若，以BD为边作正三角形BFD，求四边形ABFD面积的最大值； （2）在中，记的对边分别为a，b，c，且满足 ①求证：； ②求的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析；. 【解析】 【分析】（1）设边长及角，应用余弦定理把面积转化为函数，再应用辅助角求出最值即可； （2）①应用已知结合余弦定理求出边的关系得出角的关系；应用正弦定理边化角把分式化简最后应用基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 设, 在中，由余弦定理得, ， 当时，. 【小问2详解】 ①在中，由余弦定理, 所以， 再由正弦定理得, , , , , 所以，. ②设，则 由正弦定理可得,所以, 所以 . 当时，的最小值为. 【点睛】方法点睛：最值问题可以通过转化未知量转化为函数，结合三角函数的值域或者基本不等式求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$