专题训练6　利用一元一次方程解决日历、方案设计、按比例分配等问题课件2023-2024学年浙教版数学七年级上册

第1章　有理数 专题训练6　利用一元一次方程解决日历、方案 设计、按比例分配等问题 第5章　一元一次方程 类型1　 日历问题 例1　如图是一张某月份的日历： (1)在该日历中能否找出一些列上相邻的3个数，使它们的和分别为25,60和75? 解   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31       解　设一列上相邻的3个数中间的数为x，则其余两数为(x－7)，(x＋7)， 那么这三个数的和为x＋(x－7)＋(x＋7)＝3x， 当3x＝60时，x＝20，x－7＝13，x＋7＝27，符合题意； 当3x＝75时，x＝25，x－7＝18，x＋7＝32，不合题意，舍去. 故在该日历中不能找出一些列上相邻的3个数，使它们的和分别为25,75；能找出一些列上相邻的3个数，使它们的和为60. (2)阴影所示的方框中，每行数之和有什么规律？每列数之和有什么规律？ 解   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31       解　设阴影所示的方框中，每行的第一个数为a，则其余的3个数为a＋1，a＋2，a＋3， 则这四个数的和为a＋(a＋1)＋(a＋2)＋(a＋3)＝4a＋6， 规律为每行相邻的四个数之和为偶数； 设阴影所示的方框中，每列的第一个数为b，则其余的3个数为b＋7，b＋14，b＋21， 则这四个数的和为b＋(b＋7)＋(b＋14)＋(b＋21)＝4b＋42， 规律为每列相邻的四个数之和为偶数. 归纳总结　对于日历问题可采用设元方法求解，如(1)设一列上相邻的3个数中间的数为x，则其余两数分别为x－7，x＋7，求出这三个数的和为3x，然后令3x分别等于25,60和75，求出x的值，结合实际意义即可求解；(2)设阴影所示的方框中，每行的第一个数为a，用含a的代数式分别表示出其余的3个数，再求出这四个数的和，即可发现规律. 变式训练 1.(2018·长沙)如图是2019年5月的日历表，在此日历表中用阴影十字框选中5个数(如2,8,9,10,16).若这样的阴影十字框上下左右移动选中这张日历表中的5个数，则这5个数的和可能为(　　) D 答案 解析 日 一 二 三 四 五 六       1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31   A.41 B.42 C.81 D.120 解析　设阴影十字框中间的数为x，则十字框中的五个数的和：x＋(x－7)＋(x＋7)＋(x－1)＋(x＋1)＝5x， D.120÷5＝24，符合题意. 故选D. 2.(2018·慈溪)在2019年1月份的日历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数(如图，框出了10,17,24)，则这三个数的和可能的是(　　) B 答案 解析 A.21 B.27 C.50 D.75 解析　设三个数中间的一个数为x，则另外两个数分别为x－7，x＋7， 根据题意得(x－7)＋x＋(x＋7)＝21或(x－7)＋x＋(x＋7)＝27或(x－7)＋x＋(x＋7)＝50或(x－7)＋x＋(x＋7)＝75， ∴这三个数的和只可能是27. 故选B. 3.(2018·织金)如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如7,8,9,14,15,16,21,22,23).若用这样的矩形圈出这张日历表的9个数，则圈出的9个数的和可能为下列数中的(　　) B 答案 解析 A.77 B.99 C.108 D.216 解析　设中间的数为x，则左右两边数为(x－1)，(x＋1)，上行邻数为(x－7)，下行邻数为(x＋7)，左右上角邻数为(x－8)，(x－6)，左右下角邻数为(x＋6)，(x＋8)，根据题意得 x＋x－1＋x＋1＋x－7＋x＋7＋x－8＋x－6＋x＋6＋x＋8＝9x， 如果9x＝99，那么x＝11，符合题意； 如果9x＝108，那么x＝12，不符合题意； 如果9x＝216，那么x＝24，此时最大数x＋8＝32，不是日历表上的数，不符合题意. 故选B. 4.(2018·兴化)在一张挂历上，任意圈出同一列上的三个数的和不可能是(　　) A.14 B.72 C.33 D.69 A 答案 解析 解析　设圈出的第一个数为x，则第二数为x＋7，第三个数为x＋14， ∴三个数的和为x＋(x＋7)＋(x＋14)＝3(x＋7)， ∴三个数的和为3的倍数， 由四个选项可知只有A不是3的倍数， 故选A. 5.2018年12月有5个星期一，它们的日期之和为85，那么这个月的5号是星期(　　) A.一 B.二 C.三 D.四 C 答案 解析 解析　设第一个星期一为x号，依题意得 x＋x＋7＋x＋14＋x＋21＋x＋28＝85， 解得x＝3， 因此这个月的第一个星期一为3号，故这个月的5号是星期三. 故选C. 6.如图，用“十字形”方框从日历表中框出5个数，已知这5个数的和为5a－5，若a是方框内①、②、③、④中的一个数，则数a所在的位置是(　　) B 答案 解析 日 一 二 三 四 五 六                   ③           ①   ②           ④                       A.① B.② C.③ D.④ 解析　设中间的数为x，则另外4个数分别为x－7，x－1，x＋1，x＋7， 根据题意得x＋(x－7)＋(x－1)＋(x＋1)＋(x＋7)＝5a－5， 解得x＝a－1， ∴a在②上. 故选B. 例2　(2018·上杭)某县中小学统一组织文艺汇演.甲、乙两校共92名学生甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不到90名.现甲乙两校准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表： 类型2　 方案设计问题 解答 购买服装的套数 1套～45套 46套～90套 91套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5 000元. (1)若甲、乙两校联合起来购买服装，则比各自购买服装共可以节省多少元？ 解　由题意得：5 000－92×40＝1 320(元). 答　两所学校联合起来购买服装比各自购买服装共可以节省1 320元. (2)甲、乙两所学校各有多少名学生准备参加演出？ 解答 解　设甲校有x名学生准备参加演出，则乙校有(92－x)名学生准备参加演出. 由题意，得 50x＋60(92－x)＝5 000， 解得x＝52. 则92－x＝40， 答　甲校有52名学生准备参加演出，乙校有40名学生准备参加演出. (3)如果甲校有10名同学被调去参加.书法绘画比赛，不能参加演出，请你为这两所学校设计一种最省钱的购买服装方案. 解答 解　∵甲校有10人不能参加演出， ∴甲校有52－10＝42(人)参加演出. 若两校联合购买服装，则需要50×(42＋40)＝4 100(元)， 此时比各自购买服装可以节约(42＋40)×60－4 100＝820(元)， 但如果两校联合购买91套服装，只需40×91＝3 640(元)， 此时又比联合购买每套50元可节约4 100－3 640＝460(元)， 答　最省钱的购买服装方案是两校联合购买91套服装(即比实际人数多购9套). 归纳总结　方案设计问题的处理方法：先分别表示出各种方案的关系式，结合具体数值代入计算比较，或根据题目的具体要求进行方案优化设计等，最后得出比较合理的设计方案. 变式训练 7.芳芳购买手机卡，可选择“全球通”卡和“神州行”卡.使用“全球通”卡则每月需交固定费用50元，免费通话时间为150分钟，超过150分钟的部分按0.50元/分钟计费；使用“神州行”卡不收固定费用，但通话每分钟收话费0.30元.如果芳芳每月手机费预算为100元，那么她最合算的选择是(　　) A.“全球通”卡 B.“神州行”卡 C.“全球通”卡、“神州行”卡一样 D.无法确定 B 答案 解析 ∴购买“神州行”卡较合算. 故选B. 8.列方程解应用题： 在元旦放假期间，小张、小王等同学跟随家长一起到公园游玩，下面是购买门票时小张和爸爸的对话： 解答 请根据图中的信息解答问题： (1)他们中一共有成年人多少人？学生多少人？ 解　设他们中一共有成年人x人，那么学生为(18－x)人.根据题意列方程，得 40x＋40×0.5×(18－x)＝560， 解得x＝10， ∴18－x＝18－10＝8. 答　他们中一共有成年人10人，学生8人. (2)请你帮助小张算一算，用哪种方式购票更省钱并说明理由. 解 解　按照团体票的优惠方案购20张门票需要的费用为 40×0.6×20＝480(元)， ∵480＜560， ∴按照团体票的优惠方案购买20张门票更省钱，能节省80元钱. 9.某景点的门票价格如下表： 某校七年级一、二两班共82人去游览该景点，其中一班人数少于40人，二班人数多于40人少于80人.现有两种购票方案，方案一：两班以班为单位分别购票；方案二：两班联合起来作为一个团体购票.若按方案一购票，则共支付1 825元. (1)两班各有多少名学生？ 解答 购票人数 1～40 40～80 80以上 每人门票价 25 20 15 解　设一班x人，则二班(82－x)人.依题意可列方程： 25x＋20(82－x)＝1 825， 25x＋1 640－20x＝1 825， 5x＝185， x＝37， 82－x＝82－37＝45. 答　一班37人，二班45人. (2)若按方案二购票，则共可节省多少元？ 解　1 825－82×15＝595(元)， 答　若按方案二购票，则两班共省595元. 解答 10.为了准备“迎新”汇演，七(1)班学生分成甲、乙两队进行几天排练.其中甲队队长对乙队队长说：你们调5人来我们队，则我们的人数和你们的人数相同；乙队队长跟甲队队长说：你们调5人来我们队，则我们的人数是你们的人数的3倍. (1)请根据上述两位队长的交谈，求出七(1)班的学生人数. 解　设甲队有y人，则乙队有y＋10人， 由题知y＋10＋5＝3(y－5)，解得y＝15， ∴甲队有15人，乙队有25人. 15＋25＝40(人). 答　七(1)班共有40人. 解答 (2)为了增强演出的舞台效果，全部学生需要租赁演出服装.班主任到某服装租赁店了解到：多于20套，少于50套服装的，可供选择的收费方式如下： 方式一：一套服装一天收取20元，另收总计80元的服装清洗费； 方式二：在一套服装一天收取20元的基础上打九折，一套服装每天收取服装清洗费1元，另收每套服装磨损费5元(不按天计算). 设租赁服装x天(x为整数)，请你帮班主任参谋一下，选择哪种付费方式节省一些，并说明理由. 解 解　方式一：40×20x＋80＝800x＋80； 方式二：(20×0.9＋1)×40x＋40×5＝760x＋200. 当800x＋80＝760x＋200，可得x＝3. ∴若x＝3，选方式一，方式二均可； 若0＜x＜3选方式一； 若x>3时，选方式二. 11.电信公司推出两种移动电话计费方法： 方法A：免收月租费，按每分钟0.5元收通话费； 方法B：每月收取月租费30元，再按每分钟0.2元收通话费. 现在设通话时间是x分钟. (1)请分别用含x的代数式表示计费方法A，B一个月的通话费用. 解　方法A：0.5x，方法B：30＋0.2x. 解 (2)用计费方法A的用户一个月累计通话150分钟所需的话费，若改用计费方法B，则可通话多少分钟？ 解　方法A通话150分钟所需的话费＝0.5×150， 可得：30＋0.2x＝0.5×150， 解得x＝225， 答　改用计费方法B，则可通话225分钟. 解答 (3)当通话时间超过多少分钟时采用计费方法B合算？ 解　当用x分钟时，两种计费方式所需费用一样，得0.5x＝0.2x＋30， 解得：x＝100， 答　当通话时间超过100分钟采用计费方法B合算. 解 12.某班准备买一些乒乓球和乒乓球拍，了解的情况如下：甲、乙两家商店出售有同一品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副30元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店每卖一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的九折优惠，该班需球拍5副，乒乓球若干盒(不少于5盒). (1)当购买多少盒乒乓球时，两种优惠办法付款一样？ 解　设购买x盒乒乓球时，两种优惠办法付款一样， 30×5＋(x－5)×5＝(30×5＋5x)×0.9， 解得，x＝20， 答　购买20盒乒乓球时，两种优惠办法付款一样. 解 (2)当购买30盒乒乓球时，去哪家商店购买更划算？ 解　购买30盒乒乓球： ①去甲店购买，需付款30×5＋(30－5)×5＝275元， ②去乙店购买，需付款(30×5＋30×5)×0.9＝270元. 答　当购买30盒乒乓球时，去乙商店购买更划算. 解 (3)当购买30盒乒乓球时，你有其他的更好的省钱方案吗？计算费用. 解　可以在甲商店购买5副乒乓球拍，然后再去乙商店购买乒乓球， 所需费用为30×5＋(30－5)×5×0.9＝262.5(元)， 答　在甲商店购买5副乒乓球拍，然后再去乙商店购买乒乓球可以更省钱，费用为262.5元. 解答 13.今年某网上购物商城在“双11购物节”期间搞促销活动，活动规则如下： ①购物不超过100元不给优惠；②购物超过100元但不足500元的，全部打九折；③购物超过500元的，其中500元部分打九折，超过500元部分打八折. (1)小丽第1次购得商品的总价(标价和)为200元，按活动规则实际付款多少元？ 解　200×0.9＝180(元). 答　按活动规则实际付款180元. 解 (2)小丽第2次购物花费490元，与没有促销相比，第2次购物节约了多少钱？(请利用一元一次方程解答) 解　∵500×0.9＝450(元)， 490>450， ∴第2次购物超过500元， 设第2次购物商品的总价是x元，依题意有 500×0.9＋(x－500)×0.8＝490， 解得x＝550， 550－490＝60(元). 答　第2次购物节约了60元钱. 解答 (3)若小丽将这两次购得的商品合为一次购买，是否更省钱？为什么？ 解　200＋550＝750(元)， 500×0.9＋(750－500)×0.8 ＝450＋200 ＝650(元)， ∵180＋490＝670>650， ∴小丽将这两次购得的商品合为一次购买更省钱. 解 本课结束 当3x＝25时，x＝，不合题意，舍去； A.41÷5＝，不符合题意； B.42÷5＝，不符合题意； C.81÷5＝，不符合题意； 解得x＝7或x＝9或x＝或x＝25， 又∵x＝7或x＝或x＝25不符合题意， 如果9x＝77，那么x＝，不符合题意； 解析　购买“全球通”卡100元能打的分钟数为＋150＝250(分钟)， 购买“神州行”卡100元能打的分钟数为＝(分钟)， ∵250＜， $$