2.2.1 函数概念 课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

北师大版（2019）必修第一册 2.2.1函数概念 探索新知 02 回顾 在初中，我们用函数刻画、分析了具体的“弹力”“匀速运动”等实际问题之后，学习了它们的一般形式----正比例函数。正比例函数舍去了“弹力”“匀速运动”等实际背景，强化了数与数的对应关系，是抽象的函数模型。 初中学习了三个重要的函数类型： 一次函数： 二次函数： 反比例函数： 其中k，a，b，c为常数，且k≠0，a≠0. 对于每一个x的取值，都有唯一确定的y值和它对应，这是函数的基本特征. 思考，如何从集合角度给函数下定义呢？ 探索新知 02 函数定义：给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f（x），x∈A． 知识点1 函数的概念 其中x叫做自变量，x的取值范围集合A叫做函数的定义域； 与x的值相对应的f(x)叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 对符号y＝f(x)的理解：函数是建立在数与数之间的对应关系；对应关系指对应的结果，而不是对应过程，“y＝f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y＝g(x)”；函数符号“y＝f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值． 探索新知 02 函数的四个特征 知识点1 函数的概念 非空性 集合A，B必须是非空的 任意性 定义域中的任意一个元素都有函数值 唯一性 每一个元素都有唯一的函数值与之对应 方向性 函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应关系就不一定是函数关系 思考：如果y＝f(x)表示从集合A到集合B的函数，那么f(x)的定义域是非空数集A，值域是非空数集B吗？ 函数的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，而是非空数集B的子集. 例如，对于集合A＝R到集合B＝R的函数y＝x2，值域是{y|y≥0}，而不是R. 探索新知 02 定义域：是自变量的取值范围，它是函数的一个不可或缺的组成部分. 知识剖析： (1)一般地，当没有指明函数的定义域时，就认为它的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围 (2)对于实际问题中的函数关系，它的定义域还必须使实际问题有意义 知识点2 函数的三要素 由函数的概念知，一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域，它们被称为函数的三要素 探索新知 02 对应关系：对应关系f是函数的核心，它是自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”.按照这一“程序”，从定义域A中任取一个x，可得到值域{y|y＝f(x)，x∈A}中唯一的y值与之对应.用f(a)表示函数f(x)当x＝a时的函数值.同一“f”可以“操作”不同形式的变量. 知识剖析：如何理解对应关系f的含义 对应关系是函数的本质特征，它可以看作是对“x”施加的某种法则(或运算)，如f(x)=x2－2x+3，当x=4时，可看作是对“4”施加了这样的运算：首先平方，然后减去它与2的积，最后加上3.当x为某一代数式(或某一个函数记号)时，等号左右两边的所有x都用同一个代数式(或函数记号)代替，如f(2x－1)=(2x－1)2－2(2x－1)+3，f(g(x))=[g(x)]2－2g(x)+3等. 知识点2 函数的三要素 探索新知 02 值域：所有函数{f(x)|x∈A}称为函数的值域，通常一个函数的定义域和对应关系确定了，那么它的值域也就随之确定了. 一些常见函数的定义域和值域： 知识点2 函数的三要素 ①一次函数f(x)=kx+b(k≠0)的定义域是R，值域是R. ②反比例函数f(x)=(k≠0)的定义域是(－∞,0)⋃(0,+∞)，值域是(－∞,0)⋃(0,+∞). ③二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域是R. 当a＞0时，值域是；当a＜0时，值域是(－∞,] 探索新知 02 同一函数：确定一个函数就只需确定两个要素：定义域和对应关系，即定义域和对应关系为确定“y是x的函数”的两个基本条件，缺一不可.也就是说当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一函数. (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同，两个函数就不是同一个函数； 定义域和值域分别相同的两个函数也不一定相同，如函数f(x)＝2x与g(x)＝3x的定义域和值域均为R，但是它们的对应关系不同，所以两个函数不是同一个函数 知识点3 同一函数的概念 (2)对应关系指的是对应的结果，而不是对应的过程. 比如与是同一个函数 探索新知 02 同一函数：确定一个函数就只需确定两个要素：定义域和对应关系，即定义域和对应关系为确定“y是x的函数”的两个基本条件，缺一不可.也就是说当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一函数. (3)因为函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量和对应关系是无关紧要的.例如：f(x)＝3x+5与g(t)＝3t+5就是同一个函数. 知识点3 同一函数的概念 (4)对中x的理解：虽然f(x)＝x2和f(x－1)＝x2从等号右边的表达式上看是一样的，但f施加关系的对象不同(一个为x，另一个为x－1).令t＝x－1，则x＝t+1，代入f(x－1)＝x2得f(t)＝(t+1)2，故函数f(x－1)＝x2对应f(t)＝(t+1)2.因此函数f(x)＝x2与f(x－1)＝x2表示的不是同一个函数. 探索新知 02 例1 下列各组中的两个函数是否为同一个函数？ 解答：（1）因为f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是[0，＋∞）， 两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数； （2）因为两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数； （2）f（x）＝x2，g（x）＝（x＋1）2； （3）f（x）＝　　　 ，g（x）＝x－1； （4）f（x）＝x＋ ，g（t）＝t＋ ． （1）f（x）＝，g（x）＝（）2； 探索新知 02 例1 下列各组中的两个函数是否为同一个函数？ （2）f（x）＝x2，g（x）＝（x＋1）2； （3）f（x）＝　　　 ，g（x）＝x－1； （4）f（x）＝x＋ ，g（t）＝t＋ ． （1）f（x）＝，g（x）＝（）2； （3）因为f（x）的定义域是｛x｜x≠－1｝，g（x）的定义域是R， 两个函数的定义域不同，所不是同一个函数； （4）f（x）和g（t）虽然表示自变量的字母不同， 但它们的定义域及对应关系都相同，所以是同一个函数． 探索新知 02 例2 求下列函数的定义域 （2）y＝ ； （1）y＝2x＋3＋ ； （3）y＝． 解答：（1）为使函数有意义，只需解析式中分式的分母不为零， （2）为使函数有意义，只需解析式中的被开方数非负，且分式的分母不为0， 即， 所以函数y＝2x＋3＋ 的定义域｛x｜x≠1｝． 所以y＝ 的定义域是｛x｜x≥－3且x≠0｝． 探索新知 02 例2 求下列函数的定义域 （2）y＝ ； （1）y＝2x＋3＋ ； （3）y＝． （3）为使函数有意义，只需解析式中的被开方数非负，即， 所以函数y＝的定义域｛x｜x＝－3｝＝｛－3｝． 探索新知 02 拓展 1.抽象函数的概念：把没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数 说明：由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的真子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域. 知识点4 抽象函数及复合函数的定义域 2.复合函数的概念：若函数y＝f(t)的定义域为A，函数t＝g(x)的定义域为D，值域为C，则当C⊆A时，称函数y＝f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫作中间变量，t＝g(x)叫作内层函数，y＝f(t)叫作外层函数. 探索新知 02 拓展：3 抽象函数或复合函数的定义域 求抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点. 知识点4 抽象函数及复合函数的定义域 (1)函数f(x)的定义域是指x的取值集合. (2)函数f((x))的定义域还是指x的取值范围，而不是(x)的范围. (3)若f(x)的定义域为D，则f(g(x))的定义域是使g(x)∈D有意义的x的取值集合.若f(g(x))的定义域为D，则g(x)在D上的取值集合即为f(x)的定义域. (4)在同一个对应关系f下的变量的范围相同，即f(t)，f((x))，f(h(x))三个函数中的t，(x)，h(x)的范围相同. 题型突破 03 解题通法 判断对应关系是否为函数的方法 题型1 函数关系的判断 不是函数 否 A中的任意一个元素x，在B中都有唯一确定的元 素y与之对应 A，B为非空数集 是 是 是函数 否 题型突破 03 题型2 函数定义域的求解 例2. 求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4) (2)当且仅当即且时，函数有意义， 所以这个函数的定义域为且. 【解析】(1)当且仅当，即时，函数有意义， 所以这个函数的定义域为. 题型突破 03 题型2 函数定义域的求解 例2. 求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4) 【解析】(3)当且仅当即时，函数有意义， 所以这个函数的定义域为 (4)要使函数有意义，自变量的取值必须满足 解得且，即函数的定义域为且 题型突破 03 解题通法 确定函数定义域的思路 (1)若f(x)为整式，则其定义域为实数集R. (2)若f(x)是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合. (3)若f(x)为偶次根式，则其定义域是使被开方式大于或等于0的实数的集合. (4)若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合. 注意：在实际问题中，定义域还要受到实际意义的制约. 题型2 函数定义域的求解 题型突破 03 题型2 函数定义域的求解 题型突破 03 题型2 函数定义域的求解 题型突破 03 解题通法 复合函数和抽象函数定义域的求法 1.若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))中g(x)∈[a，b]，从中解得x的取值范围即f(g(x))的定义域. 2.若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由x∈[m，n]可确定g(x)的范围，设u＝g(x)，则f(g(x))＝f(u)，又f(u)与f(x)是同一函数，所以g(x)的范围即f(x)的定义域. 3.已知f((x))的定义域，求f(h(x))的定义域.先由x的取值范围，求出(x)的取值范围，即f(x)中的x的取值范围，即h(x)的取值范围，再根据h(x)的取值范围求出x的取值范围，即f(h(x))的定义域. 4.求运算型抽象函数(由有限个抽象函数经四则运算得到的函数)的定义域，先求出各个函数的定义域，再求交集. 题型2 函数定义域的求解 题型突破 03 题型3 函数的求值问题 例5. 已知 (1)求及的值； (2)求及； (3)若，求的值. 【解析】(1).∵，∴. (2) (3)由，得，∴，解得. 题型突破 03 解题通法 函数求值问题的解题思路 1.已知函数的解析式求函数值，只需将自变量的值代入解析式即可求出相应的函数值.当自变量的值为包含字母的代数式时，要将代数式作为一个整体代入解析式. 2.已知函数解析式，求对应函数值的自变量的值(或解析式中的参数的值)，只需将函数值代入解析式，建立关于自变量(或参数)的方程即可求解，注意函数定义域对自变量(或参数)取值的限制. 3.已知抽象函数求函数值，常利用赋值法求解，赋值法就是把满足条件的特殊值赋给函数中的某个变量，赋值时常对变量赋予特殊值－1，0，1，2等. 题型3 函数的求值问题 题型突破 03 题型3 函数值域的求解 例6. 求下列函数的值域： (1)，∈{1，2，3，4，5}； (2)，∈[0，3)； (3)； (4) 【解析】(1)(观察法)因为∈{1，2，3，4，5}，所以分别代入求值， 可得函数的值域为{2，3，4，5，6}. (3)(分离常数法)，显然，所以. 故函数的值域为(-∞，2)∪(2，+∞). (2)(配方法)，由∈[0，3)， 再结合函数的图象，可得函数的值域为[2，6). 题型突破 03 题型3 函数的求值问题 例6. 求下列函数的值域： (1)，∈{1，2，3，4，5}； (2)，∈[0，3)； (3)； (4) 【解析】 (4)(换元法)设，则且，所以，由，再结合函数的图象(图略)， 可得函数的值域为. 题型突破 03 解题通法 求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法 (1)观察法：通过对函数解析式进行简单变形，将求稍复杂函数的值域问题转化为求熟悉的基本函数的值域问题，或利用函数图像的“最高点”和“最低点”来观察函数的值域. (2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的形式. (3)分离常数法：对于形如的函数，常用分离常数法求其值域，转化过程为，结合x的取值范围确定函数的值域. 题型3 函数的求值问题 题型突破 03 解题通法 求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法 (4)基本不等式法：当函数的解析式可以转化为适用基本不等式的形式时，可用基本不等式求值域. (5)换元法：对于一些无理函数(如)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域. (6)判别式法：对于形如(a，d中至少有一个不为0)的值域，常把函数转化为关于x的一元二次方程F(x)＝0，利用方程有实根，即判别式Δ≥0，求出y的取值范围，注意不可忽略对二次项系数的讨论. 题型3 函数的求值问题 题型突破 03 题型4 判断是否为同一函数 例7. 下列哪个函数与函数是同一个函数? (1) ；(2)；(3)；(4). 【解析】(1)，定义域不同，所以不是同一个函数. (2)，对应关系相同，定义域也相同，所以是同一个函数. (3)，时，它的对应关系与函数不相同，所以不是同一个函数. (4)的定义域为，与函数的定义域不相同，所以不是同一个函数. 【方法小结】在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才是同一个函数.值域相同是前两个要素相同的必然结果. 当堂检测 04 当堂检测 04 C 当堂检测 04 当堂检测 04 ABD 当堂检测 04 B 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 BD 当堂检测 04 B 当堂检测 04 BD 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 例3.已知函数的定义域是，则函数的定义域是_____________． 解析：因为函数的定义域是， 所以，解得，所以函数的定义域为． 要使有意义，则，解得， 所以的定义域是． 故答案为：. 例4.已知，则函数的定义域是( ) A. B. C. D. 解析：，，， 的定义域为. 又，，且. 的定义域是. 故选：A. 1.已知集合，，下列对应关系中，不能构成从P到Q的函数的是( ) A. B. C. D. 解析：集合，集合， A.，若，可得， 故能构成从P到Q的函数； B.，若，可得，故能构成从P到Q的函数； 1.已知集合，，下列对应关系中，不能构成从P到Q的函数的是( ) A. B. C. D. 解析：C.，若，可得， 故C不能构成从P到Q的函数； D.，若，可得，故D能构成从P到Q的函数. 故选：C. 2.(多选)以下y与x的关系中，其中y是关于x的函数的有( ) A. B. C. D. 解析：A.满足函数的定义，故A正确； B.由对应关系可知，满足函数的定义，故B正确； 2.(多选)以下y与x的关系中，其中y是关于x的函数的有( ) A. B. C. D. 解析：C.，不满足函数的定义，故C错误； D.由对应关系可知，满足函数的定义，故D正确.故选ABD 3.已知函数满足，则在的值域为( ) A. B. C. D. 解析：， ， 在上单调递减，在上单调递增. 在处有最小值， 又，，所以在 处有最大值， 故选B. 4.(多选)下列四组函数中，表示同一个函数的是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 4.(多选)下列四组函数中，表示同一个函数的是( ) A.与 B.与 解析： A × 函数的定义域为，的定义域为R，两个函数的定义域不同. B √ 函数，且定义域为R，故函数与的定义域与对应关系均相同. 4.(多选)下列四组函数中，表示同一个函数的是( ) C.与 D.与 解析： C × 函数的定义域为R，的定义域为Z，两个函数的定义域不同. D √ 函数与除表示自变量的字母不同外，其余完全相同. 5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( ) A. B. C. D. 解析：由题意得：，解得：， 由，解得：， 故函数的定义域是， 故选：B． 6.(多选)已知函数，下列结论正确的是( ). A.时， B.时， C.时， D.时， 解析：函数的图象如图所示.当时，观察图象知， 值域为.当时，观察图象知. ，，值域为. 7.若，且，则________. 解析：因为，且， 所以，即. 所以， 因为，所以解得， 所以， 所以 8.已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是________. 解析：由题意得恒成立， 当时，恒成立，满足题意； 当时，，解得. 综上. 故答案为：. 9.已知二次函数，的解为，3. （1）求b，c； （2）证明:，3也是方程的解，并求的解集. 解析：（1）因为的解为，3，则，解得. 9.已知二次函数，的解为，3. （2）证明:，3也是方程的解，并求的解集. 解析：（2）由（1）可知:，且，， 则，， 即，3也是方程的解， 对于，即， 整理得:，解得，，，3， 所以的解集为. $$