2.2.1 函数概念(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦函数概念核心知识点，衔接初中变量依赖关系，通过集合语言与对应关系构建完整函数概念，系统讲解三要素、同一个函数判定及定义域、函数值与值域求解，辅以抽象函数拓展，形成递进式学习支架。 资料以生活实例引入培养数学眼光，设“想一想”等互动环节引导数学抽象，题型总结通性通法发展数学思维，分层练习兼顾课中教学与课后巩固，助力学生理解概念本质与提升运算能力。

2.1　函数概念 课标 要求 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念（数学抽象）. 2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用（数学抽象、数学建模）. 3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域（数学抽象、数学运算）. 　　事物都是运动变化着的，我们可以感受到它们的变化. 　　早晨，太阳从东方冉冉升起；气温随时间在悄悄地改变；小树随着时间的变化不断长高；…… 　　在这些变化着的现象中，都存在着两个变量，当一个变量发生变化时，另一个变量随之发生变化. 【问题】　（1）怎样用数学模型刻画两个变量之间的关系？ （2）这样的模型具有怎样的特征？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　函数的概念 概念 给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数 三要素 对应关系 y＝f（x），x∈A 定义域 x　的取值范围 值域 与x的值相对应的y值的集合{f（x）｜x∈A} 提醒：函数的概念的再理解：①函数的定义中有“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的每一个（任意性）数x，在非空数集B中都有（存在性）唯一（唯一性）确定的数y与之对应，这三性只要有一个不满足便不能构成函数；②y＝f（x）仅是函数的一个符号，不表示“y等于f与x的乘积”，f（x）也未必有解析式. 【想一想】 在函数的概念中，如果函数y＝f（x）的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？ 提示：确定. 知识点二　同一个函数 前提条件 　定义域　相同 　对应关系　完全一致 结论 这两个函数是同一个函数 【想一想】 　定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？ 提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）任何两个集合之间都可以建立函数关系.（　×　） （2）函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合.（　×　） （3）根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.（　×　） （4）在函数的定义中，集合B是函数的值域.（　×　） 2.下列选项中能表示同一个函数的是（　　） A.y＝x＋1与y＝ B.y＝x2＋1与s＝t2＋1 C.y＝2x与y＝2x（x≥0） D.y＝（x＋1）2与y＝x2 解析：B　对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{x｜x≠1}，不是同一个函数；对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一个函数；对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一个函数；对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一个函数. 3.若f（x）＝x2－，则f（3）＝　7　. 解析：f（3）＝9－＝9－2＝7. 4.函数f（x）＝的定义域是　{x｜x＜4}　. 解析：由4－x＞0，解得x＜4，所以原函数的定义域为{x｜x＜4}. 题型一　函数的概念与判断 （1）设M＝{x｜0≤x≤2}，N＝{y｜0≤y≤2}，给出下列四个图形： 其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是（　B　） A.0 B.1 C.2 D.3 解析：①中，因为在集合M中当1＜x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不是；②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以③不是；④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是.因此只有②是，故选B. （2）〔多选〕下列对应关系或关系式中是A到B的函数的是（　AB　） A.A＝R，B＝R，x2＋y＝1 B.A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图： C.A＝R，B＝R，f：x→y＝ D.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ 解析：A正确，x2＋y＝1可化为y＝－x2＋1，显然对任意x∈A，y都有唯一确定的值与之相对应.B正确，符合函数的定义.C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数.D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数.故选A、B. 通性通法 1.判断对应关系是否为函数的2个条件 （1）A，B必须是非空数集； （2）A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应； 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系. 2.由图形判断是否为函数的方法 （1）任取一条垂直于x轴的直线l； （2）在定义域内平行移动直线l； （3）若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数. 1.下列图象中不能表示函数的图象的是（　　） 解析：D　D项中，当x＞0时，任意一个x对应着两个y的值，因此选项D不是函数的图象. 2.〔多选〕已知集合A＝{x｜0≤x≤8}，集合B＝{x｜0≤x≤4}，则下列对应关系中，能看作是从A到B的函数关系的是（　　） A.f：x→y＝x B.f：x→y＝x C.f：x→y＝x D.f：x→y＝x 解析：ABC　根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确；A、B、C选项均正确. 题型二　同一个函数的判定 〔多选〕下列式子表示同一个函数的是（　　） A.f（x）＝｜x｜，φ（t）＝ B.y＝，y＝（）2 C.y＝·，y＝ D.y＝，y＝x＋5 解析：AC　A：f（x）与φ（t）的定义域相同，又φ（t）＝＝｜t｜，即f（x）与φ（t）的对应关系也相同，∴f（x）与φ（t）是同一个函数；B：y＝的定义域为R，y＝（）2的定义域为{x｜x≥0}，两者定义域不同，故y＝与y＝（）2不是同一个函数；C：y＝·的定义域为{x｜－1≤x≤1}，y＝的定义域为{x｜－1≤x≤1}，即两者定义域相同.又∵y＝·＝，∴两函数的对应关系也相同.故y＝·与y＝是同一个函数；D：∵y＝＝｜x＋5｜与y＝x＋5的定义域相同，但对应关系不同，∴y＝与y＝x＋5不是同一个函数. 通性通法 判断两个函数是否为同一个函数的步骤 提醒：（1）在化简解析式时，必须是等价变形； （2）与解析式用哪个字母表示无关. 　下列各组函数： ①f（x）＝，g（x）＝x－1； ②f（x）＝（x－1）2，g（t）＝t2－2t＋1； ③汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f（t）＝80t（0≤t≤5）与一次函数g（x）＝80x（0≤x≤5）. 其中表示同一个函数的是　②③　.（填上所有正确的序号） 解析：①f（x）的定义域为{x｜x≠0}，g（x）的定义域为R，f（x）与g（x）的定义域不同，不是同一个函数；②虽然表示自变量的字母不同，但f（x）与g（t）的定义域相同，对应关系相同，故是同一个函数；③是同一个函数，定义域、对应关系都相同. 题型三　函数的定义域 求下列函数的定义域： （1）y＝－2x＋3；（2）f（x）＝； （3）y＝＋；（4）y＝. 解：（1）函数y＝－2x＋3的定义域为{x｜x∈R}. （2）要使函数式有意义，即分式有意义，则－x＋1≠0，x≠1.故函数的定义域为{x｜x≠1}. （3）要使函数式有意义，则即所以x＝1，从而函数的定义域为{x｜x＝1}. （4）因为当x2－1≠0，即x≠±1时，有意义，所以函数的定义域是{x｜x≠±1}. 通性通法 求函数定义域的常用方法 （1）若f（x）是分式，则应考虑使分母不为零； （2）若f（x）是偶次根式，则被开方数大于或等于零； （3）若f（x）是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合； （4）若f（x）是由几个式子构成的，则函数的定义域是各个部分数学表达式有意义的x取值集合的交集； （5）若f（x）是实际问题的解析式，则应使解析式有意义还应符合实际意义. 求下列函数的定义域： （1）y＝3－x； 解：函数y＝3－x的定义域为R. （2）y＝； 解：要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 解得x≤5，且x≠±3. 所以函数y＝的定义域为{x｜x≤5且x≠±3}. （3）y＝＋. 解：要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤－或2≤x＜4， 所以函数的定义域为{x｜x≤－或2≤x＜4}. 题型四　函数值（值域）问题 （1）已知f（x）＝（x∈R，且x≠－1），g（x）＝x2＋2（x∈R），则f（2）＝　　，f（g（2））＝　　； 解析：∵f（x）＝，∴f（2）＝＝. 又∵g（x）＝x2＋2，∴g（2）＝22＋2＝6， ∴f（g（2））＝f（6）＝＝. （2）求下列函数的值域： ①y＝；②y＝x＋；③y＝x－；④y＝2－. 解：①y＝＝＝5＋， 且≠0，所以y≠5， 所以函数的值域是{y｜y≠5}. ②函数y＝x＋的定义域为{x｜x≠0}， 当x＞0时，y＝x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号， 当x＜0时，y＝x＋＝－（－x＋）≤－2＝－4， 当且仅当x＝－2时取等号， 所以y＝x＋的值域为（－∞，－4]∪[4，＋∞）. ③令t＝（t≥0），所以x＝－t2＋， 所以y＝－t2－t＋＝－（t＋1）2＋1， 当t≥0时，y≤，所以函数的值域为（－∞，］. ④y＝2－＝2－， 因为0≤≤＝2， 所以y＝2－的值域为[0，2]. 【母题探究】 1.（变条件）在本例（1）条件下，若f（b）＝，求b的值. 解：由f（b）＝＝，得b＝1. 2.（变设问）在本例（1）条件下，判断点（3，）是否在函数f（x）的图象上. 解：由f（x）＝知f（3）＝，故点（3，）在f（x）的图象上. 通性通法 1.函数求值的方法 （1）已知f（x）的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f（a）的值； （2）求f（g（a））的值应遵循由里往外的原则. 2.求函数值域常用的4种方法 （1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； （2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域； （3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域； （4）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f（x）＝ax＋b＋（其中a，b，c，d为常数，且a≠0）型的函数常用换元法. 1.设函数f（x）＝，则当f（x）＝2时，x的取值为（　　） A.－4　　 　 B.4 C.－10　 　 　D.10 解析：C　令＝2，则x＝－10，故选C. 2.求下列函数的值域： （1）y＝－1； （2）y＝x2－4x＋6，x∈[1，5）； （3）y＝，x∈[1，2）. 解：（1）∵≥0，∴－1≥－1， ∴y＝－1的值域为[－1，＋∞）. （2）y＝x2－4x＋6＝（x－2）2＋2，如图所示，∵x∈[1，5），∴函数的值域为[2，11）. （3）∵1≤x＜2，∴1≤x2＜4， ∴＜≤1， ∴2＜≤8， ∴函数的值域是（2，8]. 1.〔多选〕给出下列四个对应，其中能构成函数的是（　　） 解析：AD　根据函数的定义可得A、D正确，而B、C不符合函数的定义. 2.下列函数中，表示同一个函数的是（　　） A.y＝x2与y＝（）4 B.y＝x－3与y＝ C.y＝与y＝ D.y＝2x与S＝2t 解析：D　对于A，y＝x2的定义域为R，y＝（）4＝x2的定义域为[0，＋∞），两函数的定义域不同，不是同一个函数；对于B，y＝x－3的定义域为R，y＝＝｜x－3｜的定义域为R，但两函数的对应关系不同，不是同一个函数；对于C，y＝＝的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），y＝的定义域为R，两函数的定义域不同，不是同一个函数；对于D，y＝2x的定义域为R，S＝2t的定义域为R，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数.故选D. 3.函数y＝（x－1）0＋的定义域为　{x｜x＞－1，且x≠1}　. 解析：由题意得，解得x＞－1，且x≠1，所以函数的定义域为{x｜x＞－1，且x≠1}. 4.已知函数f（x）＝x2＋1，那么f（5）＝　26　，f（a＋1）的值为　a2＋2a＋2　. 解析：因为f（x）＝x2＋1，所以f（5）＝52＋1＝26，f（a＋1）＝（a＋1）2＋1＝a2＋2a＋2. 　抽象函数与复合函数的定义域问题 　　 一、概念 1.抽象函数的概念 没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数. 2.复合函数的概念 若函数y＝f（t）的定义域为A，函数t＝g（x）的定义域为D，值域为C，则当C⊆A时，称函数y＝f（g（x））为f（t）与g（x）在D上的复合函数，其中t叫作中间变量，t＝g（x）叫作内层函数，y＝f（t）叫作外层函数. 提醒：由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域. 二、结论 理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点： （1）函数f（x）的定义域是指x的取值所组成的集合； （2）函数f（φ（x））的定义域是指x的取值范围，而不是φ（x）的取值范围； （3）f（t），f（φ（x）），f（h（x））三个函数中的t，φ（x），h（x）在对应关系f下的取值范围相同； （4）已知f（x）的定义域为A，求f（φ（x））的定义域，其实质是已知φ（x）的取值范围（值域）为A，求出x的取值范围； （5）已知f（φ（x））的定义域为B，求f（x）的定义域，其实质是已知f（φ（x））中的x的取值范围为B，求出φ（x）的取值范围（值域），此取值范围就是f（x）的定义域. 类型一｜已知f（x）的定义域，求f（g（x））的定义域 若f（x）的定义域为[－3，5]，则φ（x）＝f（－x）＋f（x）的定义域为　[－3，3]　. 解析：已知f（x）的定义域为[－3，5]，则φ（x）的定义域需满足即解得－3≤x≤3.所以φ（x）的定义域为[－3，3]. 类型二｜已知f（g（x））的定义域，求f（x）的定义域 已知f（x2－1）定义域为[0，3]，则f（x）的定义域为　[－1，8]　. 解析：根据f（x2－1）定义域为[0，3]，得x∈[0，3]，∴x2∈[0，9]，∴x2－1∈[－1，8].故f（x）的定义域为[－1，8]. 类型三｜已知f（g（x））的定义域，求f（h（x））的定义域 若函数f（2x＋1）的定义域为 （－1，2），则函数f（x－1）的定义域为　（0，6）　. 解析：由f（2x＋1）的定义域为（－1，2），得－1＜x＜2，∴－1＜2x＋1＜5，即f（x）的定义域为（－1，5）.由－1＜x－1＜5，得0＜x＜6，∴f（x－1）的定义域为（0，6）. 【迁移应用】 1.若函数y＝f（x）的定义域是[－1，3]，则函数g（x）＝的定义域是（　　） A.[0，2] B.[－3，5] C.[－3，－2]∪（－2，5] D.（－2，2] 解析：A　已知函数y＝f（x）的定义域是[－1，3]，要使函数g（x）有意义，则解得0≤x≤2. 2.设函数f（x）＝，则f（）＋f（）的定义域为（　　） A.［，4］ B.[2，4] C.[1，＋∞） D.［，2］ 解析：B　∵函数f（x）＝的定义域为[1，＋∞），∴解得2≤x≤4，∴f（）＋f（）的定义域为[2，4]. 3.若函数f（2x）的定义域是[－1，1]，则函数f（2x－1）＋f（2x＋1）的定义域是　［－，］　. 解析：因为函数f（2x）的定义域是[－1，1]，所以－2≤2x≤2，所以函数f（x）的定义域为[－2，2]，所以f（2x－1）＋f（2x＋1）的定义域满足条件即所以－≤x≤，所以函数f（2x－1）＋f（2x＋1）的定义域是［－，］. 1.下列集合A到集合B的对应f是函数的是（　　） A.A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方 B.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方 C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数 D.A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值 解析：A　按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项D中，集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义.只有选项A符合函数定义. 2.函数f（x）＝＋的定义域是（　　） A.[－1，＋∞） B.（－∞，－1] C.R D.[－1，1）∪（1，＋∞） 解析：D　由解得故定义域为[－1，1）∪（1，＋∞），故选D. 3.若函数f（x）＝ax2－1，a为一个正数，且f（f（－1））＝－1，那么a的值是（　　） A.1 B.0 C.－1 D.2 解析：A　∵f（x）＝ax2－1，∴f（－1）＝a－1，f（f（－1））＝f（a－1）＝a·（a－1）2－1＝－1.∴a（a－1）2＝0.又∵a为正数，∴a＝1. 4.已知函数f（x）＝，则f（x）的值域是（　　） A.（－∞，］ B.［，＋∞） C.（0，］ D.（0，＋∞） 解析：C　∵x2＋2≥2，∴0＜≤，∴f（x）的值域为（0，］.故选C. 5.〔多选〕下列各组函数表示同一个函数的是（　　） A.f（x）＝x，g（x）＝ B.f（x）＝x，g（x）＝ C.f（x）＝x－1（x≠－1），g（x）＝ D.f（x）＝x＋1，g（x）＝x＋x0 解析：AC　A中f（x）定义域是R，g（x）定义域是R，且g（x）＝＝x，是同一个函数；B中f（x）定义域是R，g（x）定义域是R，但g（x）＝｜x｜，不是同一个函数；C中f（x）定义域是{x｜x≠－1}，g（x）定义域是{x｜x≠－1}，且g（x）＝＝x－1（x≠－1），是同一个函数；D中f（x）定义域是R，g（x）定义域是{x｜x≠0}，不是同一个函数.故选A、C. 6.〔多选〕下列函数中，值域为[0，4]的是（　　） A.f（x）＝x－1，x∈[1，5] B.f（x）＝－x2＋4 C.f（x）＝ D.f（x）＝x＋－2（x＞0） 解析：AC　x∈[1，5]时，x－1∈[0，4]，所以函数f（x）＝x－1，x∈[1，5]的值域是[0，4]，故A正确；因为－x2≤0，所以－x2＋4≤4，所以函数值域是（－∞，4]，故B错误；因为－x2≤0，所以16－x2≤16，又16－x2≥0，所以0≤≤4，即函数值域为[0，4]，故C正确；因为x＞0，所以x＋≥2（当且仅当x＝1时取等号），所以x＋－2≥0，故函数值域为[0，＋∞），故D错误.故选A、C. 7.已知函数f（x）＝，则f（f（1））＝　　. 解析：∵ f（1）＝＝，∴f（f（1））＝f＝＝. 8.函数y＝的定义域为　（－∞，－4）∪（－4，4）∪（4，6]　. 解析：要使函数有意义，需满足即∴函数的定义域为（－∞，－4）∪（－4，4）∪（4，6]. 9.函数y＝x2＋x（－1≤x≤3）的值域为　［－，12］　. 解析：二次函数y＝x2＋x的图象开口向上，对称轴为x＝－，当x＝－时，函数取得最小值－.当x＝3时，函数取得最大值12，因此函数的值域为［－，12］. 10.已知函数f（x）＝＋. （1）求函数的定义域； （2）求f（－3），f （）的值； （3）当a＞0时，求f（a），f（a－1）的值. 解：（1）使根式有意义的实数x的集合是{x｜x≥－3}，使分式有意义的实数x的集合是{x｜x≠－2}， 所以这个函数的定义域是{x｜x≥－3}∩{x｜x≠－2}＝{x｜x≥－3，且x≠－2}. （2）f（－3）＝＋＝－1； f （）＝＋＝＋＝＋. （3）因为a＞0，故f（a），f（a－1）有意义. f（a）＝＋； f（a－1）＝＋＝＋. 11.若函数y＝f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）＝f（2x）的定义域是（　　） A.[0，2] B.[0，1] C.[0，4] D.（0，1） 解析：B　∵y＝f（x）的定义域是[0，2]，∴要使g（x）＝f（2x）有意义，需0≤2x≤2，即0≤x≤1. 12.〔多选〕已知函数f（x）＝3x2－1，g（x）＝，则（　　） A.f（g（1））＝ B.g（f（1））＝ C.f（x）的值域为[－1，＋∞） D.g（x）的值域为R 解析：BC　g（1）＝，f（g（1））＝3×－1＝－，故A错误；f（1）＝2，g（f（1））＝＝，故B正确；因为x2≥0，所以3x2－1≥－1，所以f（x）的值域是[－1，＋∞），故C正确；因为≠0，所以g（x）的值域是（－∞，0）∪（0，＋∞），故D错误. 13.函数y＝（x＞1）的值域是　[0，＋∞）　. 解析：∵当x＞1时，函数y＝＝＝（x－1）－2＋≥2－2＝0，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立，∴y≥0，即函数的值域为[0，＋∞）. 14.试求下列函数的定义域与值域： （1）y＝（x－1）2＋1； （2）y＝； （3）y＝x－； （4）y＝. 解：（1）函数的定义域为R，因为（x－1）2＋1≥1，所以函数的值域为{y｜y≥1}. （2）y＝＝＝3－. 因为≠0，所以y≠3， 所以y＝的定义域为{x｜x≠－1}，值域为{y｜y∈R，且y≠3}. （3）要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域是{x｜x≥－1}.设t＝，则x＝t2－1（t≥0），于是f（t）＝t2－1－t＝（t－）2－.又t≥0，故f（t）≥－.所以函数的值域是. （4）要使函数有意义，只需－2x2＋x＋3≥0，即2x2－x－3≤0，解得－1≤x≤.因为y＝＝，所以0≤y≤，所以函数的定义域为［－1，］，值域为［0，］. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $