精品解析：山东省济南市钢城区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

山东省济南市钢城区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题 注意事项； 1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确． 2．本试题分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0．5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，由监考教师把答题卡收回． 第I卷（选择题40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共40分） 1. 要使二次根式有意义，则x的值可以为（　　） A. 4 B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数要大于或等于0，进行求解即可． 【详解】解：∵要使二次根式有意义，则 ，即 ． ∴在各选项中，只有A选项符合题意． 故选：A 2. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例解析式，把代入求解即可． 【详解】解：把代入，得 ． 故选C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的运算法则进行计算即可求解，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、和不是同类二次根式，不能合并，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 4. 约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用．掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 直接利用相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形性质得到：． 解得 ． 即蜡烛火焰的高度是． 故选：A． 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及判别式的应用，根据关于的一元二次方程有实数根，得出，再解出的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴ ∴且 故选：C 6. 如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为161，列出方程即可． 【详解】解：根据图表可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为，则最大数为， 根据题意得出：， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键． 7. 如图， 已知点，， 轴于点C，D为线段上一点， 且，点D横坐标为（ ） A. 2 B. 3 C. 2 或 3 D. 1或 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，坐标和图形，熟练掌握基本图形是解题的关键． 根据，得到，则，解方程即可． 【详解】解：解：如图所示： ， ． 轴， ∴ ． 又轴，轴， ． ． ． ， ，，， ， 解得 或． ∴点D横坐标为2或3， 故选：C． 8. 请根据学习函数的经验，自主尝试探究表达式为的函数图象与性质，下列说法正确的是（ ） A. 图象与y轴的交点是 B. 图象与x轴有一个交点 C. 当时， D. y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与平移，熟练掌握反比例函数图象性质是解题的关键．利用当时，求得与轴交点纵坐标确定A选项；当,求得与轴交点横坐标确定B选项；画出函数大致图形确定C、D选项即可． 【详解】解：A、当时，， ∴图象与y轴的交点是， 选项A错误，故不符合题意； B、∵， ∴图象与x轴没有交点， 选项B错误，故不符合题意； C、函数的图象是向右平移个单位长度，如图， 由图可知当时， 成立， 选项C正确，故符合题意； D、由图可知当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， 选项D错误，故不符合题意； 故选：C． 9. 如图，在中，，，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交边，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线分别交 于点E，G，交 的延长线于点F，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平行结合角平分线得到为等腰三角形，判断A和B，证明，判断C，过点 作，证明，判断D． 【详解】解：∵平行四边形 ， ∴， ， ， ∴， 由作图可知：平分， ∴ ， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵ ， ∴， ∴， ∴；故选项C正确，不符合题意； 过点 作， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴，故选项D错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握平行加角平分线往往会出现等腰三角形，是解题的关键． 10. 如图，在菱形 中，已知，点在 的延长线上，点 在的延长线上，，则以下结论：①；②与相似；③当 时，则；④当 时，．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】利用证明，得，，可知①正确；根据 是等边三角形，再利用角的和差关系，由，，得与不相似，可知②错误；过点 作 于，过点 作于点，利用含的直角三角形的性质及勾股定理，分别表示出，作比即可判断③④，从而得到答案． 【详解】解：如图所示： 四边形 是菱形， ， ， ， ，是等边三角形， ， ， ， 在与 中， ， ， ，，故①正确； ，， 是等边三角形， ， ， ， 在菱形 中，已知，则， ， ， 与不相似，故②错误； 过点 作 于，过点 作于点， ，， ， 设菱形 的边 ， 在 中，， ，则， ， ，则； 在中， ，则，， ，则； 过点 作于，如图所示： 是等边三角形， ， 在中， ，，则， ，，则； ， ，， ， 在 中，，，则， ， ，则； ；；故③正确，④错误； 综上所述，正确的是①③， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，特殊的直角三角形的性质等知识．综合性较强，熟练掌握各定理是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题110分） 二、填空题（本大题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分） 11. 计算：________． 【答案】5 【解析】 【分析】先计算被开方数的平方，再求其算术平方根即可． 【详解】原式． 12. 若，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质和分式的化简；利用已知条件得到，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，即， ∴， 故答案为：2． 13. 在函数的图象上有三个点的坐标分别为、、，则、、的大小关系是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象的性质，根据反比例函数的图象在第一，三象限，得到第一象限的函数值恒大于第三象限的函数值且y随x的增大而减小．即可判断出结论． 【详解】解：函数， ， 函数在第一象限y随x的增大而减小，， ， ， 故答案为：． 14. 如图，与是以点O为位似中心的图形，且相似比为，若点B的坐标为，则点D的坐标为 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】如图：过B作 轴于E，过点C作轴于F，再证，然后根据相似的性质求出和即可； 本题主要考查了位似变换、坐标与图形性质，理解位似的性质是解题的关键． 【详解】解：如图：过B作 轴于E，过点C作轴于F，即：, ∵点B的坐标为， ∴， ∵与是以点O为位似中心的图形，且相似比为， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴,即, ∴点D的坐标为． 故答案为：． 15. 如图，将个边长都为1的正方形按如图所示的方法摆放，点分别是正方形对角线的交点，则2025个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为______． 【答案】506 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形部分重叠问题．熟练掌握正方形性质，全等三角形的判定与性质，割补法求图形面积，是解决本题的关键． 正方形 的中心为， 、分别与所在的正方形交于点E、F，连接 ， ，证明，可得，求出每个阴影部分的面积都是，根据2025个正方形照这样重叠有2024个阴影部分求解即可． 【详解】解：如图，正方形 的中心为， 、分别与所在的正方形交于点E、F，连接 ， ， 在正方形 中，，，， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 同理可得每个阴影部分的面积都是， ∵2025个正方形照这样重叠，每两个正方形的重叠面积都是，共2024个， ∴2025个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为． 故答案为：506． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答要写出必要的文字说明；证明过程或推演步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的乘除混合运算计算即可； （2）结合负指数幂、绝对值进行二次根式的混合运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法． （1）先移项，然后直接开平方即可； （2）利用配方法解此方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， ，； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ． 18. 如图，在等边中，为 边上一点，若 ，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够找到两角相等是证得的关键． 由 ，证明，可证得． 【详解】证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ∴． 19. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）是气球的体积（立方米）的反比例函数，其图象如图所示．（千帕是一种压强单位） （1）求该反比例函数的表达式． （2）当气球的体积为3立方米时，气球内的气压是多少千帕？ （3）当气球内的气压为120千帕时，求气球的体积． 【答案】（1） （2）32千帕 （3）立方米 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确建立函数关系式并会运用函数关系式是解题的关键． （1）直接运用待定系数法即可解答； （2）将代入函数的解析式求值即可； （2）将代入函数的解析式求值即可． 【小问1详解】 解：设． 将点代入得， ． 【小问2详解】 解：当时，（千帕）， 气球内的气压是32千帕． 【小问3详解】 解：当时，（立方米）． 答：当气球内的气压为120千帕时，气球的体积为立方米． 20. 如图，在菱形 中，对角线 ，相交于点， 是的中点，连接并延长至点，使 ，连接，． （1）求证：四边形 是矩形； （2）若，，求菱形 的面积． 【答案】（1） 证明：∵ 是 的中点   ， 四边形 是平行四边形， 在菱形 中， 四边形 是矩形 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形 为平行四边形，再根据菱形的性质得到 ，然后根据矩形的判定可证得结论； （2）根据矩形的性质求得 ，再根据菱形的性质和勾股定理求出对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， 在菱形 中，是的中点 是 的中点 是 的中位线 在菱形 中，， 在 中，， 根据勾股定理得 在菱形 中，， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键． 21. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合，直线围成的图形面积；正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法可求出反比例函数的解析式为：，从而可求出，进而再利用待定系数法可求出一次函数的解析式为； （2）设点P坐标为，直线与x轴交于点 ．可求出 ．再根据，求解即可． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ， 解得： ， 反比例函数的解析式为：． 反比例函数的图象经过点， ， ． 一次函数的图象过点， ， 解得：， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设点P坐标为，直线与x轴交于点 ． 令，得， ． ， ， 或， 点P的坐标为或． 22. 某数学兴趣小组开展了“测量某宝塔高度”的实践活动，在点 处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上，得 米，将标杆向右平移到点处，这时地面上的点F，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上（点 ，点，点，点 与塔底处的点 在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据，计算真身宝塔的高度． 【答案】真身宝塔的高度为48米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．证明出，相似，再根据相似三角形的性质定理建立等式求解，即可得到结论． 【详解】解：由题意知，， ， ， 由题知，， ， ， ， ， 米，米， 米， ， 米． ， 米， 答：真身宝塔的高度为48米． 23. 生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产 个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少 个． （1）求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率； （2）批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？ 【答案】（1）该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为 （2）该零部件的实际售价应定为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决本题的关键． （1）设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为，根据题意列方程，解方程即可； （2）设该零件的售价元/个，根据题意列出方程，解方程，再结合要尽可能让购买方得到实惠，确定的值，即可． 【小问1详解】 解：设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为， 由题意得， 解得或（舍去）， 故该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为 ． 【小问2详解】 解：设该零部件的实际售价元/个，则每个的销售利润为元，此时月销售量将减少个，则月销售量为个， 由题意得， 解得，， ∵要尽可能让消费者得到实惠， ∴， 故该零部件的实际售价应定为元． 24. 如图，四边形 是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）当 时，写出该“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）如图，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形 的周长是，求的面积． 【答案】（1）“勾系一元二次方程”为： （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求出c的值，再代入方程求解即可； （2）通过判断根的判别式的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积． 【小问1详解】 ， “勾系一元二次方程”为：； 【小问2详解】 根据题意，得， “勾系一元二次方程”必有实数根； 【小问3详解】 当时，有，即， 四边形 的周长是， ，即 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，正确读懂题意是解题的关键． 25. 【实践探究】 （1）如图1，在矩形 中，，， 交于点E，则的值是________； 【变式探究】 （2）如图2，在平行四边形 中， ，，， 交于点E，求的值； 【灵活应用】 （3）如图3，在矩形 中，，点E，F分别在， 上，以 为折痕，将四边形翻折，使得的对应边恰好经过点D，交于点I，过点D作交于点P．若，且与的面积比为，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据题意证明出，即可得到； （2）作于M， 交的延长线于N，由得到，勾股定理求出，然后解直角三角形求出，进而求解即可； （3）解法一：过点E作，垂足为Q，勾股定理求出，得到的面积为．的面积为24，然后证明出，同理可证，设，，，求出，然后由，得到； 解法二：延长、 交于点M，，由，得到，勾股定理求出，得到的面积为．的面积为24，然后求出，，设，则，列方程得到，然后由相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）∵四边形 是平行四边形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）作于M， 交的延长线于N， ∴ ． ∵ ， ∴． ∴． ∴． ∴．即． 由题意得，， ，． ∴，． ∴． （3）解法一： 过点E作，垂足为Q， ∵翻折， ∴，，，，， ∴，解得． ∴的面积为．的面积为24． ∵ ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴，同理可证． ∴设，，． ∴． ∴． ∴． ∴，解得 ，（舍）． ∴． 由，得． 解法二： 延长、 交于点M，， 则，即． ∵翻折， ∴，，，，， ∴，解得． ∴的面积为．的面积为24． ∵， ∴． ∴，． 设，则． ∴．解得，（舍）． ∴． 由，得． 【点睛】此题考查了四边形综合题，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省济南市钢城区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题 注意事项； 1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确． 2．本试题分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0．5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，由监考教师把答题卡收回． 第I卷（选择题40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共40分） 1. 要使二次根式有意义，则x的值可以为（　　） A. 4 B. 1 C. 2 D. 2. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 6. 如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图， 已知点，， 轴于点C，D为线段上一点， 且，点D横坐标为（ ） A. 2 B. 3 C. 2 或 3 D. 1或 5 8. 请根据学习函数的经验，自主尝试探究表达式为的函数图象与性质，下列说法正确的是（ ） A. 图象与y轴的交点是 B. 图象与x轴有一个交点 C. 当时， D. y随x的增大而减小 9. 如图，在中， ， ，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交边，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线分别交 于点E，G，交的延长线于点F，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，已知，点在的延长线上，点在的延长线上，，则以下结论：①；②与相似；③当 时，则；④当 时，．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ①③④ 第Ⅱ卷（非选择题110分） 二、填空题（本大题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分） 11. 计算：________． 12. 若，则的值为________． 13. 在函数的图象上有三个点的坐标分别为、、，则、、的大小关系是________． 14. 如图，与是以点O为位似中心的图形，且相似比为，若点B的坐标为，则点D的坐标为 ____________． 15. 如图，将个边长都为1的正方形按如图所示的方法摆放，点分别是正方形对角线的交点，则2025个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为______． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答要写出必要的文字说明；证明过程或推演步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图，在等边 中，为边上一点，若 ，求证：． 19. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）是气球的体积（立方米）的反比例函数，其图象如图所示．（千帕是一种压强单位） （1）求该反比例函数的表达式． （2）当气球的体积为3立方米时，气球内的气压是多少千帕？ （3）当气球内的气压为120千帕时，求气球的体积． 20. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长至点，使 ，连接，． （1）求证：四边形 是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 21. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点在轴上，且，求点的坐标． 22. 某数学兴趣小组开展了“测量某宝塔高度”的实践活动，在点处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上，得 米，将标杆向右平移到点处，这时地面上的点F，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据，计算真身宝塔的高度． 23. 生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产 个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少 个． （1）求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率； （2）批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？ 24. 如图，四边形 是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）当 时，写出该“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）如图，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形 的周长是，求 的面积． 25. 【实践探究】 （1）如图1，在矩形中，，， 交于点E，则的值是________； 【变式探究】 （2）如图2，在平行四边形中， ，，， 交于点E，求的值； 【灵活应用】 （3）如图3，在矩形中，，点E，F分别在，上，以为折痕，将四边形翻折，使得的对应边恰好经过点D，交于点I，过点D作交于点P．若，且与的面积比为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $