福建省晋江市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

晋江一中 2024 年春高二年期末考试 数学试题 （满分 150 分 考试时间：120 分钟） 一．选择题（共 8 小题，满分 40 分，每小题 5 分） 1．已知函数 2( ) ( 0) 2 1 x x bf x a ab    是奇函数，则 ( ) A． 2 1a b  B． 2 1a b   C． 1a b  D． 1a b   2．等差数列{ }na 和等比数列{ }nb 都是各项为正实数的无穷数列，且 1 1a b ， 2 2a b ，{ }na 的 前 n项和为 nS ，{ }nb 的前 n项和为 nT ，下列判断正确的是 ( ) A．{ }na 是递增数列 B．{ }nb 是递增数列 C． n nS T D． n nS T„ 3．中国的 5G 技术领先世界， 5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式： 2log (1 ) SC W N   ．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W ， 信道内信号的平均功率 S，信道内部的高斯噪声功率 N的大小，其中 S N 叫做信噪比．当信 噪比较大时，公式中真数中的 1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪 比 S N 从 1000提升至 8000，则C大约增加了 ( )( 2 0.3010)lg  A．10% B． 30% C． 60% D． 90% 4．2024年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票 价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰有三人在同一区域的不 同座位方式共有 ( )A．30种 B．60种C．120种 D．240种 5．若 sin( ) 3sin( ) 3 6      ，则 tan(2 ) ( 3    ) A． 3 4 B． 2 3 C． 5 3 D． 5 6 6．已知菱形 ABCD的边长为 1， 60 , , ,A AB a BC b AC c          ，则 | 2 | (a b c     ) A． 7 B． 19 C． 13 6 3 D． 13 6 3 7．下列结论正确的是 ( ) A．已知一组样本数据 1x ， 2x ， 1 2( )n nx x x x    ，现有一组新的数据 1 22 x x ， 2 3 2 x x ， 1 2 n nx x  ， 1 2 nx x ，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大 B．已知具有线性相关关系的变量 x， y，其线性回归方程为 ˆ 0.3y x m  ，若样本点的中 心为 ( , 2.8)m ，则实数m的值是 4 C．50名学生在一模考试中的数学成绩 2~ (120, )X N  ，已知 ( 140) 0.2P X   ，则 [100X  ， 140]的人数为 20人 D．已知随机变量 1~ ( , ) 3 X B n ，若 (3 1) 6E X   ，则 5n  8．已知 F 是椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     的右焦点，点 P 在椭圆 C 上，线段 PF 与圆 2 2 2( ) 2 4 c bx y   相切于点Q，且 4PF QF   ，则椭圆C的离心率等于 ( ) A． 1 3 B． 1 2 C． 5 3 D． 3 2 二．多选题（共 3 小题，满分 18 分，每小题 6 分） 9．设 A， B是一个随机试验中的两个事件，且 2( ) 3 P A  ， 5( ) 12 P B  ， 5( ) 6 P A B  ，则下 列说法正确的是 ( ) A． 1( ) 4 P AB  B． 1( ) 6 P AB  C． 3( | ) 8 P B A  D． 1( | ) 3 P B A  10 ． 已 知 函 数 ( ) cos( )( 0f x A x A    , 0  ， | | )2   的 图 象 如 图 所 示 ， 令 ( ) ( ) ( )g x f x f x  ，则下列说法正确的是 ( ) A． ( ) 2 6 g   B．函数 ( )g x 图象的对称轴方程为 11 ( ) 12 x k k Z   C．若函数 ( ) ( ) 2h x g x  的两个不同零点分别为 1x ， 2x ，则 1 2| |x x 的最小值为 2  D．函数 ( )g x 的图象上存在点 P，使得在 P点处的切线斜率为 3 11．已知抛物线 2: 4C x y 的焦点为 F ，准线为 l，过 F 的直线与抛物线C交于 A、B两点， M 为线段 AB中点， A、B、M 分别为 A、B、M 在 l上的射影，且 | | 3 | |AF BF ，则下 列结论中正确的是 ( ) A． F 的坐标为 (1,0) B． | | 2 | |A B M F    C． A、 A、M 、 F 四点共圆 D．直线 AB的方程为 3 1 3 y x   三．填空题（共 3 小题，满分 15 分，每小题 5 分） 12．已知 i为虚数单位，复数 z满足 (1 3 ) | 3 4 |i z i    ，则复数 z的虚部为 ． 13．在 ABC 中， A， B，C 的对边分别为 a， b， c，若 3 B  ， 2c  ， 3ABCS  ，则 sin sin b c B C   的值为 ． 14．已知 1(A x ， 1)y ， 2(B x ， 2 )y 分别是函数 ( ) xf x mxe x lnmx   和 ( ) 2 1g x x  图像上的 动点，若对任意的 0m  ，都有 | |AB a 恒成立，则实数 a的最大值为 ． 四．解答题（共 5 小题，满分 77 分） 15．（13分）已知函数 21( ) (1 ) ( ) 2 f x x a x alnx a R     ． （1）求函数 ( )f x 的单调区间； （2）当 0a  时，求函数 ( )f x 在区间 [1， ]e 上的最大值． 16．（15分）如图，O是圆柱下底面的圆心，该圆柱的轴截面是边长为 4的正方形 ABCD， P为线段 AD上的动点，E，F 为下底面上的两点，且 AE AF ， 120EAF  ，EF 交 AB 于点G． （1）当 3 2 AP  时，证明：OP 平面CEF； （2）当 PEF 为等边三角形时，求二面角 P EF C  的余弦值． 17．（15分）某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取 1个 球，每次摸球结果相互独立，盒中有 1分和 2分的球若干，摸到 1分球的概率为 2 3 ，摸到 2 分球的概率为 1 3 ． （1）若学生甲摸球 2次，其总得分记为 X ，求随机变量 X 的分布列与期望； （2）学生甲、乙各摸 5 次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获 得奖励．已知甲前 3次摸球得了 6分，求乙获得奖励的概率． 18．（17分）已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yE a b a b     的一条渐近线方程为 5 2 y x ，焦距为 6， 左顶点为 A，点 B，C是双曲线 E的右支上相异的两点，直线 AB，AC分别与直线 1: 2 l x  交于点M ， N，且以线段MN 为直径的圆恰过双曲线 E的右焦点 F ． （1）求双曲线 E的标准方程； （2）求 ABC 面积的最小值． 19．（17分）记集合 {{ } |nS a 无穷数列{ }na 中存在有限项不为零， *}n N ，对任意{ }na S ， 设 11 2({ }) n n na a a x a x    ， x R ． 定义运算：若{ }na ，{ }nb S ，则{ } { }n na b S ，且 ({ } { }) ({ }) ({ })n n n na b a b    ． （1）设{ } { } { }n n na b d ，用 1a ， 2a ， 3a ， 1b， 2b ， 3b 表示 3d ； （2）若{ }na ，{ }nb ，{ }nc S ，证明： ({ } { }) { } { } ({ } { })n n n n n na b c a b c    ； （3）若数列{ }na 满足 2( 1) 1,1 100, ( 1) 0, 100 n n n a n n n          数列{ }nb 满足 2031( ) ,1 500, 2 0, 500 n n n b n        设 { } { } { }n n na b d ，证明： 200 12d  ． 晋江一中 2024 年春高二年期末考试 参考答案与试题解析 一．选择题（共 8 小题，满分 40 分，每小题 5 分） 1．【解答】解：函数 2( ) ( 0) 2 1 x x bf x a ab    ，其定义域为{ | 0}x x  ， 又由 ( )f x 是奇函数，则以 ( ) ( ) 0f x f x   ， 即 2 2 1 2 2 (1 )2 12 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 x x x x x x x x x x b b b b b ba a a a                        (1 )(2 1)2 2 1 0 2 1 x x ba a b        ，所以 2 1a b   ．故选： B． 2．【解答】解：等差数列{ }na 和等比数列{ }nb 都是各项为正实数的无穷数列，设公差为 d， 0d… ， 公比为 q， 0q  ，且 1 1a b ， 2 2a b ， 若 0d  ，则 1q  ，{ }na ，{ }nb 为常数列，故 AB错误；由 1n nS T na  ，故C错误； 由排除法可得 D正确．故选： D． 3．【解答】解：当 1000S N  时， 1 2log 1000C W ，当 8000 S N  时， 2 2log 8000C W ，  2 2 1 2 8000 8000 3 3 2 1.3 1000 1000 3 C Wlog lg lg C Wlog lg      ， C 大约增加了30%，故选： B． 4．【解答】解：先将五位球迷分成 3组，其中 3组人数为”1，1，3“， 再将这 3组分到三个不同的区域，则不同座位方式共有 1 1 35 4 32 2 60C C A A  种．故选： B． 5．【解答】解：因为 sin( ) 3sin( ) 3 6      ，可得 [sin( ) ] cos( ) 3sin( ) 6 2 6 6            ， 所以 1tan( ) 6 3    ，则 2 2 12 tan( ) 2 36 3tan(2 ) tan 2( ) 13 6 41 ( ) 1 ( ) 6 3 tan                ．故选： A． 6．【解答】解：已知菱形 ABCD的边长为 1， 60 , , ,A AB a BC b AC c          ， 因为 1, | || | cos60 2 c a b a b a b            ， 所以 2 2 2| 2 | (2 3 ) 4 9 12 19a b c a b a b a b                 ．故选： B． 7．【解答】解：对于 A，新数据的和为 2 3 11 2 1 2... ...2 2 2 n n x x x xx x x x x         ，故平均 数不变，又 1 2 nx x x   ，故原数据的极差为 1nx x ，新数据极差为 1 1 22 2 n nx x x x   ， 所以 1 11 2 1 21( ) 02 2 2 2 n n n n n x x x xx x x xx x         ，所以极差变小了， 由于平均数没变，说明新数据相对于原数据更集中于平均数附近， 故数据更稳定，所以方差应该变小，故 A错误； 对于 B，因为线性回归方程为 ˆ 0.3y x m  过样本点的中心 ( , 2.8)m ， 所以 2.8 0.3m m  ，解得 4m   ，故 B错误； 对于C，因为 2~ (120, )X N  ，已知 ( 140) 0.2P X   ， 所以 1(100 140) 2[ ( 140)] 0.6 2 P X P X   „ „ ，所以人数为 50 0.6 30  人，故C错误． 对于 D，因为 1~ ( , ) 3 X B n ，所以 ( ) 3 nE X  ， (3 1) 3 ( ) 1 1 6E X E X n      ，解得 5n  ， 故D正确．故选：D． 8．【解答】解：由题意，椭圆的图形如图：F 是椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     的右焦点，点 P 在椭圆C 上，线段 PF 与圆 2 2 2( ) 2 4 c bx y   相切于点Q，且 4PF PQ   ，圆的圆心为： ( 2 cD ， 0)，圆的半径为： 2 b ，所以 1 2F P b ， 2 2 2 21( ) ( ) 2 2 2 c bFQ c b    ， 所以 2 22PF c b  ，所以： 2 22 2 2c b b a   ，可得 2 2 2 22c b a ab b    ， 可得 2 3a b ，即 2 2 24 9( )a a c  ，所以 5 5 9 3 e   则椭圆C 的离心率： 5 3 ．故选：C． 二．多选题（共 3 小题，满分 18 分，每小题 6 分） 9．【解答】解：对于 A，因为 ( )P A B P  （A） P （B） ( )P AB ， 所以 ( )P AB P （A） P （B） 2 5 5 1( ) 3 12 6 4 P A B      ，故 A正确；对于 B， ( )P AB P （B） 5 1 1( ) 12 4 6 P AB    ，故 B正确； 对于C， 1 ( ) 34( | ) 2( ) 8 3 P ABP B A P A    ，故C 正确； 对于 D， 51( ) 1 ( ) 16( | ) 2( ) 1 ( ) 21 3 P BA P A BP B A P A P A         ，故D错误．故选： ABC． 10．【解答】解：由图象知 2A  ， 2 4 3 6 2 T       ，得 2T  ，得 2 2    ，得 1  ， 则 ( ) 2cos( )f x x   ， ( ) 2cos( ) 2 6 6 f      ，得 cos( ) 1 6    ，得 2 6 k    ，k Z ， 得 2 6 k    ， k Z ， | | 2   ，当 0k  时， 6    ，则 ( ) 2cos( ) 6 f x x   ， ( ) 2sin( ) 6 f x x     ， 则 5( ) 2cos( ) 2sin( ) 2 2 cos( ) 2 2 cos( ) 6 6 6 4 12 g x x x x x             ， 则 5 2( ) 2 2 cos( ) 2 2 cos 2 2 2 6 6 12 4 2 g          ，故 A正确， 由 5 12 x k   ，得 5 12 x k   ， k Z ，即 ( )g x 的对称轴方程为 5 12 x k   ， k Z ，故 B 错误， 由 ( ) 0h x  得 ( ) 2g x   ，得 52 2 cos( ) 2 12 x    ，即 5 2cos( ) 12 2 x    ， 则 5 32 12 4 x k    或 5 52 12 4 x k    ， 即 1 72 6 x k   ， k Z ，或 1 102 6 x k   或 则当 0k  时， 1 2 10 7 3| | | | | | 6 6 6 2 x x         ，即 1 2| |x x 的最小值为 2  ，故C正确， 5( ) 2 2 sin( ) [ 2 2 12 g x x       ， 2 2]， 3 [ 2 2   ， 2 2]， 函数 ( )g x 的图象上不存在点 P，使得在 P点处的切线斜率为 3 ，故 D错误， 故选： AC． 11．【解答】解：对于 A选项，抛物线 2: 4C x y 的焦点为 (0,1)F ， A错； 对于 D选项，当点 A在第一象限，过点 B作 BN 垂直于 AA， N为垂足，如图所示， 设 | |BF m ，则 | | 3AF m ， 因为 BB l  ，AA l  ，BN AA ，则四边形 A B BN  为矩形， 所以， | | | | | |A N BB BF m     ， 则 | | | | | | | | | | 3 2AN AA A N AA BB m m m           ， 设直线 AB 的倾斜角为  ，则  为锐角，且 | | 2 1sin | | 4 2 AN m AB m     ，则 6   ， 此时，直线 AB的方程为 3 1 3 y x  ， 当点 A在第二象限时，同理可知，直线 AB的方程为 3 1 3 y x   ， 综上所述，直线 AB的方程为 3 1 3 y x   ，D对； 对于 B选项，不妨设点 A在第一象限，则直线 AB的方程为 3 1 3 y x  ， 设点 1(A x ， 1)y 、 2(B x ， 2 )y ， 联立 2 3 1 3 4 y x x y       ，可得 2 4 3 4 0 3 x x   ， 24 3 64( ) 16 0 3 3      ， 1 2 4 3 3 x x  ， 1 2 4x x   ， 设点 0(M x ， 0 )y ，则 1 20 2 3 2 3 x xx   ，故点 2 3( , 1) 3 M   ， 所以，直线M F 的斜率为 1 1 3 2 3 0 3 M Fk        ， 而直线 AB的斜率为 3 3AB k  ，所以， 1AB M Fk k    ，故M F AB  ， 又因为 AA l  ，故 A、 A、M 、 F 四点共圆， 同理可知，当点 A在第二象限时， A、 A、M 、 F 四点共圆， 综上所述，故 A、 A、M 、 F 四点共圆，C对； 对于 B选项， 2 22 3 4 3| | ( ) ( 1 1) 3 3 M F      ， 2 2 1 2 1 2 1 2 4 3 8 3| | | | ( ) 4 ( ) 4 4 2 | | 3 3 A B x x x x x x M F             ， B对． 故选： BCD． 三．填空题（共 3 小题，满分 15 分，每小题 5 分） 12．【解答】解：因为 (1 3 ) | 3 4 | 5i z i     ， 所以 5 5(1 3 ) 5(1 3 ) 1 3 1 3 (1 3 )(1 3 ) 10 2 i i iz i i i           ，则 z的虚部为 3 2 ．故答案为： 3 2 ． 13．【解答】解：因为 3 B  ， 2c  ， 3ABCS  ，即 1 32 3 2 2 a   ，所以 2a  ， 故 ABC 为等边三角形，则 2 4 3 sin sin sin 33 2 b c a B C A      ．故答案为： 4 3 3 ． 14．【解答】解：点 1(A x ， 1)y 到直线 2 1 0y x   的距离 1 1 | 2 1| 5 y xd   ， 则 | |AB d ， 1 1 11 1 1 1 1 1 12 1 1 ( ) 1 x x lnmxy x mx e lnmx x e x lnmx          ， 令 1 1t x lnmx  ，由 0m  知， ( )t x 在 (0, ) 上单调递增， 当 1 0x  时， t，当 1x 时 t，所以 t R ， 令 ( ) 1tF t e t   ，则 ( ) 1tF t e   ，当 0t  时， ( ) 0F t  ，当 0t  时， ( ) 0F t  ， 所以函数 ( )F t 在 ( ,0) 上单调递减，在 (0, ) 上单调递增，所以 ( ) (0) 2minF t F  ， 所以 1 1 | 2 1| 2 5| | 55 y xAB d     ，因为对任意的 0m  ，都有 | |AB a 恒成立， 所以 2 5 5 a  ，所以实数 a的最大值为 2 5 5 ．故答案为： 2 5 5 ． 四．解答题（共 5 小题，满分 77 分） 15．【解答】解：（1）函数 21( ) (1 ) 2 f x x a x alnx    ，定义域为 (0, ) ， 则 2 (1 ) ( )( 1)( ) 1 a x a x a x a xf x x a x x x            ， 当 0a„ 时， ( ) 0f x  ， ( )f x 在 (0, ) 上为增函数， 当 0a  时，若 0 x a  ， ( ) 0f x  ， ( )f x 为减函数，若 x a ， ( ) 0f x  ， ( )f x 为增函数， 综上，当 0a„ 时， ( )f x 的增区间为 (0, ) ，没有减区间；当 0a  时， ( )f x 的减区间为 (0, )a ， 增区间为 ( , )a  ； （2）由（1）知：当 0 1a  时， ( )f x 在区间[1， ]e 上为增函数，函数 ( )f x 的最大值为 f （e） 21 (1 ) 2 e a e a    ， 当 a e 时， ( )f x 在区间[1， ]e 上为减函数，函数 ( )f x 的最大值为 3(1) 2 f a  ， 当1 a e  时， ( )f x 在 (1, )a 上为减函数，在 ( , )a e 上为增函数， 函数 ( )f x 的最大值为 {max f （1）， f （e）}， 由 2 1 3( ) (1) (1 ) 0 2 2 f e f e a e      ，得 1 31 2 2 a e e    ， 若 1 31 1 2 2 a e e     时，函数 ( )f x 的最大值为 21( ) (1 ) 2 f e e a e a    ， 若 1 31 2 2 e a e e     时，函数 ( )f x 的最大值为 3(1) 2 f a  ， 综上，当 1 31 2 2 a e e    时，函数 ( )f x 的最大值为 21( ) (1 ) 2 f e e a e a    ；当 1 31 2 2 a e e    时，函数 ( )f x 的最大值为 3(1) 2 f a  ． 16．【解答】（1）证明：由题，以 A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 此时 3(0,2,0), (0,0, ), (0,4,4) 2 O P C ，由于 , 120AE AF EAF   ，可求出 ( 3,1,0), ( 3,1,0)E F ， 因此 3(0, 2, ), ( 3, 3, 4), ( 3, 3, 4) 2 OP CE CF            ， 设平面CEF的法向量 ( , , )n a b c ， 则 3 3 4 0, 3 3 4 0, a b c a b c         令 2b  ，则 30, 2 a c   ，即 3(0,2, ) 2 n   ， 所以OP n    ，即 / /OP n   ，所以OP 平面CEF； （2）解：由（1）则有 ( 3,1,0), ( 3,1,0), (0,4,4), (0,1,0)E F C G ， 设 (0P ，0， )k ，若 PEF 为等边三角形，则 | | | | 2 3PE EF    ， 又 2( 3,1, ),| | 3 1 2 3PE k PE k         ，于是 2 2k  或 2 2k   （舍去）， 由（1）知平面CEF的法向量为 3(0,2, ) 2 n   ， ( 3,1, 2 2), ( 3,1, 2 2)PE PF       ， 设平面 PEF的法向量为 1 1 1( , , )m x y z  ， 则 1 1 1 1 1 1 3 2 2 0, 3 2 2 0, x y z x y z         取 1 2 2y  ，则 1 11, 0, (0,2 2,1)z x m    ， 设 二 面 角 P EF C  为  ， 由 图 知  为 锐 角 ， 34 2| | 8 2 32cos | cos , | 5| | | | 153 2 m nm n m n                ． 17．【解答】解：（1）由题意知学生甲摸球 2次总得分 X 的取值为 2，3，4， 2 2 4( 2) 3 3 9 P X     ， 12 2 1 4( 3) 3 3 9 P X C     ， 1 1 1( 4) 3 3 9 P X     ， 所以 X 的分布列为： X 2 3 4 P 4 9 4 9 1 9 所以 4 4 1 8( ) 2 3 4 9 9 9 3 E X        ； （2）记 mA 甲最终得分为m分， 8m  ，9，10， B 乙获得奖励， 1 9 2 2 1 4( ) 3 3 9 P A C    ， 2 28 2 2 4( ) ( ) 3 9 P A C  ． 当甲最终得 9分时，乙获得奖励需要最终得 10分，则 5 5 59 5 1 1( | ) ( ) ( ) 3 3 P B A C  ； 当甲最终得 8分时，乙获得奖励需要最终得 10分或 9分， 则 5 5 1 4 58 5 5 1 2 1 1( | ) ( ) ( ) 11 ( ) 3 3 3 3 P B A c c      ， 故 P（B） 9 8 9 9 8 8( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P A B P A B P A P B A P A P B A      5 5 7 6 4 1 4 1 48 16 16( ) 11 ( ) 9 3 9 3 3 3 729         ， 即乙获得奖励的概率为 16 729 ． 18．【解答】解：（1）由题意可知 2 2 253, , 2 bc c a b a     ， 解得 2, 5a b  ，故双曲线 E的标准方程为 2 2 1 4 5 x y   ； （2）由（1）知， ( 2,0)A  ，则直线 1: 2 l x  是线段 AF 的垂直平分线， 因为以线段MN 为直径的圆恰过点 F ，则以线段MN 为直径的圆恰过点 A， 所以 AB AC ，故 0AB AC    ， 设直线 :BC x my n  ， 1(B x ， 1)y ， 2(C x ， 2 )y ， 由双曲线的对称性可得 B，C必在 x轴两侧， 则 1 5 | | 2m  ，故 2 2 5| | 55 m   ， 中联立方程 2 2 1 4 5 x my n x y       ，化简得 2 2 2(5 4) 10 5 20 0m y mny n     ， 则△ 2 280(5 4) 0m n    ，即 2 25 4 0m n   ， 所以 1 2 2 10 5 4 mny y m     ①， 2 1 2 2 5 20 5 4 ny y m    ②， 由题 B、C必在 x轴两侧，可得 2 1 2 2 5 20 0 5 4 ny y m     ， 因为 2 2 5| | 55 m   ，所以 25 4 0m   ，所以 25 20 0n   ，所以 | | 2n  ， 又 1 1 2 2( 2, ), ( 2, )AB x y AC x y      ， x my n  ， 则 1 2 1 2 1 2 1 2( 2)( 2) ( 2)( 2)AB AC x x y y my n my n y y             2 2 1 2 1 2( 1) ( 2)( ) ( 2) 0m y y m n y y n        ③， 将①②代入③中并整理，得 2 16 36 0n n   ， 解得 2n   （舍去）或 18n  ， 所以直线 : 18BC x my  过定点 (18,0)T ，△ 280(5 320) 0m   ， 所以 21 2 1 2 1 210 | | 10 ( ) 4ABC ATB AICS S S y y y y y y         2 2 2 2 400( 64) 6410 200 4 5 4 5 m m m m         ， 令 2 32464 (64 ) 5 m t t  „ ，则 22 1200 200 324(5 324) 25 3240 ABC tS t t t      ， 由对勾函数的性质可得 232425 3240u t t    在 324[64, ) 5 上单调递减，则 1 4max u  ， 所以 400ABCS  ，当且仅当 64t  ，即 0m  时取等号， 所以 ABC 面积的最小值为 400． 19．【解答】解：（1）因为{ } { } { }n n na b d ，所以 ({ }) ({ } { } ({ }) ({ })n n n n nd a b a b      ， 所以 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3( )( ),d d x d x a a x a x b b x b x x R             ， 所以 3 1 3 2 2 3 1d a b a b a b   ． （2）证明：因为 ({ } { }) ({ }) ({ })n n n na b a b    ， 所以 ({ }) ({ }) ({ }) ({ } { }) ({ }) (({ } { }) { })n n n n n n n n na b c a b c a b c            ， 又因为 ({ }) ({ }) ({ }) ({ }) [ ({ }) ({ })]n n n n n na b c a b c          ({ }) ({ } { }) ({ } ({ } { }))n n n n n na b c a b c       ， 所以 ({ } { } { })n n na b f c   ({ } ({ } { }))n n na b f c   ， 所以 ({ } { }) { } { } ({ } { })n n n n n na b c a b c    ； （3）证明：对于{ }na ，{ }nb S ， 因为 1 1 12 2 1 2( )( ) n n n n n na a x a x b b x b x d d x d x            ， 所以 1 1 1 2 11 1 1 2 1( ) ( ) ( ) n n k n k n n n n k n k n nd x a b x a x b x a x b x a x b             ， 所以 1 2 1 1 1 2 1n n n k n k n nd a b a b a b a b a b           ， 所以 1 1 { } { } { } { } n n n n k n k k a b d a b       ， 2200 100 200 100 100 200 201 201 201 201 2 1 1 101 1 1 ( 1) 1 ( 1)2k k k k k k k k kk k k k k kd a b a b a b a b k k                     ， 所以 100 200 2 1 1 2 1(1 ) 2 1kk d k k     100 100 2 1 2 1 1 1 1 1[ ] 2 2 ( 1) 2k k kk k k k           102 1 102 1 2 101 2 2     ． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期： 2024/6/25 17:26:21；用户：傅小云；邮箱：18005050731；学号： 46012424