精品解析：安徽省马鞍山市和县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度第二学期教学质量抽测 八年级数学试题 考试时间120分钟，试卷满分150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中的曲线不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数是三角形的三边长，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. 3，3，5 C. 4，5，6 D. 5，12，13 5. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点表示的数为（    ） A. B. C. D. 7. 在一次中学生汉字听写大赛中，某中学代表队6名同学的笔试成绩分别为：75，85，91，85，95，85．关于这6名学生成绩，下列说法正确的是（ ） A. 平均数87 B. 中位数是85 C. 众数是95 D. 方差是230 8. 如图，中，，，点是的中点，若平分，，线段的长为（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，边长为正方形中，为对角线上的一点，连接并延长交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 二次根式有意义，则x的取值范围是______． 12. 有两个女生小合唱队，各由6名队员组成，甲队与乙队的平均身高均为，甲队身高方差，乙队身高方差，两队身高比较整齐的是_________队．（填“甲”或“乙”） 13. 如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是_________． 14. 如图，在边长为9的正方形的外侧，作等腰三角形，． （1）的面积为_________． （2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为_________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 已知y是x的一次函数，当时，；当时，． （1）求这个一次函数的表达式； （2）若点、是该函数图象上的两点，试比较a、b的大小； 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：…… （1）请直接写出第4个等式： （不用化简）； （2）根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式给予证明； （3）利用（2）的结论计算：． 18. 如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形的面积； （2）判断线段和的位置关系，并说明理由． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，，是边的中线，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两线交于点E，连接交于点O． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的周长． 20. 某校八年级学生开展“不忘初心，奋进新时代”主题读书活动，为了解主题活动开展的情况，随机抽取了一部分学生在活动中读书的数量进行了统计，绘制了如下统计图： 解答下列问题： （1）补全条形统计图，并填空_________； （2）所抽取的数据中，众数是_________；中位数_________． （3）该校八年级学生有1200名，请你估算此次主题读书活动中，读书的数量不少于3本的学生数为多少？ 六、（本题满分12分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，点，的坐标分别为，，直线与直线相交于点． （1）求直线的表达式； （2）求点的坐标； （3）若直线上存在一点，使得面积是的面积的2倍，直接写出点的坐标． 七、（本题满分12分） 22. 某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示： 进货批次 甲种水果质量 （单位：千克） 乙种水果质量 （单位：千克） 总费用 （单位：元） 第一次 60 40 1520 第二次 30 50 1360 （1）求甲、乙两种水果的进价； （2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值． 八、（本题满分14分） 23. 问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽． 动手实践： （1）如图1，A小组将矩形纸片折叠，点D落在边上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形．试判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，B小组将矩形纸片对折使与重合，展平后得到折痕，再次过点A折叠使点D落在折痕上的点N处，得到折痕，连结，展平后得到四边形，请求出四边形的面积． 深度探究： （3）如图3，C小组将图1中四边形剪去，然后在边，上取点G，H，将四边形沿折叠，使A点的对应点始终落在边上（点不与点D，F重合），点E落在点处，与交于点T．探究：当在上运动时，的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期教学质量抽测 八年级数学试题 考试时间120分钟，试卷满分150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，不含分母，这样的二次根式是最简二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、中含有分母，不符合题意； B、，不符合题意； C、最简二次根式，符合题意； D、含有小数，不符合题意； 故选C． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，据此相关运算法则，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是同类二次根式，所以不能合并，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D． 3. 下列图形中的曲线不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义：对于在某一范围内的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应，那么就称是的函数．再结合图象，可得到答案． 【详解】解：由函数的定义，可知B选项中，一个值，有两个值与之对应，不符合函数定义，因此B选项中的曲线不能表示y是x的函数，故B符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了函数的定义，理解函数的定义，一个只能对应一个，再结合函数图象解题是关键． 4. 下列各组数是三角形的三边长，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. 3，3，5 C. 4，5，6 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形； B、，不能组成直角三角形； C、，不能组成直角三角形； D、，能组成直角三角形； 故选D． 5. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，由四边形是平行四边形，得，，则，由求出即可，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图，矩形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点表示的数为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，实数与数轴，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据A点表示，可得M点表示的数． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵A点表示， ∴M点表示的数为：． 故选：A． 7. 在一次中学生汉字听写大赛中，某中学代表队6名同学的笔试成绩分别为：75，85，91，85，95，85．关于这6名学生成绩，下列说法正确的是（ ） A. 平均数是87 B. 中位数是85 C. 众数是95 D. 方差是230 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求平均数，中位数，众数和方差，根据相关定义，进行求解后，判断即可． 【详解】解：； 中位数为：； 出现次数最多是85，故众数为85； ； 故正确的是B选项； 故选B． 8. 如图，中，，，点是的中点，若平分，，线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，延长交于，利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出并判断出是的中位线，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数的与图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定a、b的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确． 【详解】解：A、直线经过第一、三、四象限，则，所以直线经过第一、二、四象限，所以本选项不符合题意； B、直线经过第一、二、三象限，则，，所以直线经过第一、二、三象限，所以本选项不符合题意； C、直线经过第一、三、四象限，则，所以直线经过第一、二、四象限，所以本选项符合题意； D、直线经过第一、二、四象限，则，，所以直线经过第一、三、四象限，所以本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象与性质，正确记忆一次函数图象经过象限与系数关系是解题关键． 10. 如图，边长为的正方形中，为对角线上的一点，连接并延长交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性质求解即可得．熟练掌握正方形的性质是解题关键． 【详解】解：∵四边形是边长为的正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴，， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 二次根式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，据此得到，即可求出答案． 【详解】解：∵次根式有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 有两个女生小合唱队，各由6名队员组成，甲队与乙队的平均身高均为，甲队身高方差，乙队身高方差，两队身高比较整齐的是_________队．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查利用方差判断稳定性，根据方差越小，数据波动越小，越稳定，进行判断即可． 【详解】解：∵甲队与乙队的平均身高均为，， ∴两队身高比较整齐的是乙； 故答案为：乙． 13. 如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角坐标系内点坐标的含义．添加辅助线构建相似三角形是解题的关键． 过点A作轴，点C作轴，垂足分别为G，F，可证，得比例线段，由，，，得线段长度，，，，代入比例线段求解即可． 【详解】如图，过点A作轴，点C作轴，垂足分别为G，F   ，则， 由题意知，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 14. 如图，在边长为9的正方形的外侧，作等腰三角形，． （1）的面积为_________． （2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）过点E作，根据正方形和等腰三角形的性质，得到的长，再利用勾股定理，求出的长，即可得到的面积； （2）取的中点，利用正方形和平行线的性质，证明，得到的长，进而得到的长，中位线定理求出的长，最后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：（1）作于H点， ∵正方形的边长为9， ， ∵， ， ， ． 故答案为：； （2）取的中点，连接， ∵ ∴， ∵正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴三点共线， ，， ， ，， ∵F为的中点， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和三角形的中位线是解题关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）先进行乘法运算，利用二次根式的性质进行化简，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘法公式的计算，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 原式． 16. 已知y是x的一次函数，当时，；当时，． （1）求这个一次函数的表达式； （2）若点、是该函数图象上的两点，试比较a、b的大小； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查求一次函数的解析式，比较函数值的大小： （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）根据一次函数的增减性，进行比较即可． 【小问1详解】 解：设， 由题意，得：，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴随的增大而减小， ∵点、是该函数图象上的两点，且， ∴． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：…… （1）请直接写出第4个等式： （不用化简）； （2）根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式给予证明； （3）利用（2）的结论计算：． 【答案】（1） （2），见解析 （3）1 【解析】 【分析】本题考查饿了二次根式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据已知的三个等式中的各数字与序号数的关系写出第个等式即可； （2）利用前面规律写出第个等式，然后根据二次根式的性质证明即可； （3）根据（2）中的等式的规律，结合二次根式的乘法法则计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得： 第4个等式：； 【小问2详解】 解：第个等式为：（为正整数）； 证明：， 为正整数， ， ∴猜想成立； 【小问3详解】 解： ． 18. 如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形的面积； （2）判断线段和的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）17.5 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了四边形的面积，三角形的面积，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据四边形的面积等于长方形的面积减去四个直角三角形的面积和一个小长方形的面积计算即可； （2）根据勾股定理的逆定理判断即可． 【小问1详解】 解：四边形的面积为： ； 【小问2详解】 解：， 理由：如图，连接， ，，， ， 是直角三角形且， 即． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，，是边的中线，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两线交于点E，连接交于点O． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查三线合一，矩形的判定和性质，勾股定理： （1）先证明四边形是平行四边形，再根据三线合一，得到，即可得证； （2）三线合一，结合勾股定理求出的长，矩形的性质求出周长即可． 【小问1详解】 证明：由题意，得：， ∴四边形是平行四边形， ∵，是边的中线， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 ∵，是边的中线， ∴， ∴， ∴矩形的周长为． 20. 某校八年级学生开展“不忘初心，奋进新时代”主题读书活动，为了解主题活动开展的情况，随机抽取了一部分学生在活动中读书的数量进行了统计，绘制了如下统计图： 解答下列问题： （1）补全条形统计图，并填空_________； （2）所抽取的数据中，众数是_________；中位数_________． （3）该校八年级学生有1200名，请你估算此次主题读书活动中，读书的数量不少于3本的学生数为多少？ 【答案】（1）补全图形见解析，35 （2）众数为3本，中位数为3本； （3）估算此次主题读书活动中，读书的数量不少于3本的学生数为有780人． 【解析】 【分析】（1）根据2本的人数和所占的百分比求出总人数，再乘以读4本人数所占的百分比求出读4本的人数；用整体1减去其它读书量所占的百分比求出读3本书所占的百分比，从而补全统计图； （2）根据众数的定义求出本次所抽取的数据的众数即可；根据中位数的定义即可得出答案； （3）用八年级的总人数乘以“读书量”不少于3本的学生人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：读4本的人数有： （人）， 读3本的人数所占的百分比是， ∴， 补图如下： ． 【小问2详解】 根据统计图可知众数为3本， 由总数据为，排在第30个，第31个数据分别为3，3， ∴中位数为：（本）， 【小问3详解】 根据题意得： （人）， 答：估算此次主题读书活动中，读书的数量不少于3本的学生数为有780人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．中位数和众数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，点，的坐标分别为，，直线与直线相交于点． （1）求直线的表达式； （2）求点坐标； （3）若直线上存在一点，使得的面积是的面积的2倍，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数图像相交问题、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数综合应用，解题关键是掌握两函数图像相交，交点坐标就是两函数解析式组成的方程组的解． （1）利用待定系数法即可得到直线AB的表达式； （2）通过解方程组即可得到点P的坐标； （3）设点的坐标为，依据的面积是的面积的2倍，即可得出或3，，进而得到答案． 【小问1详解】 解：设直线表达式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 联立两直线解析式，可得， 解得， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 ∵直线的表达式为， 令，则， ∴直线与轴交于点， 设点的坐标为， ∵的面积是的面积的2倍， ∴， 解得或3， ∴点坐标为或． 七、（本题满分12分） 22. 某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示： 进货批次 甲种水果质量 （单位：千克） 乙种水果质量 （单位：千克） 总费用 （单位：元） 第一次 60 40 1520 第二次 30 50 1360 （1）求甲、乙两种水果的进价； （2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值． 【答案】（1）甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元 （2）正整数m的最大值为22 【解析】 【分析】（1）设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元，根据总费用列方程组即可； （2）设水果店第三次购进x千克甲种水果，根据题意先求出x的取值范围，再表示出总利润w与x的关系式，根据一次函数的性质判断即可． 【小问1详解】 设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元． 根据题意，得 解方程组，得 答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元． 【小问2详解】 设水果店第三次购进x千克甲种水果，则购进千克乙种水果， 根据题意，得． 解这个不等式，得． 设获得的利润为w元， 根据题意，得 ． ∵， ∴w随x的增大而减小． ∴当时，w的最大值为． 根据题意，得． 解这个不等式，得． ∴正整数m的最大值为22． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． 八、（本题满分14分） 23. 问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽． 动手实践： （1）如图1，A小组将矩形纸片折叠，点D落在边上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形．试判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，B小组将矩形纸片对折使与重合，展平后得到折痕，再次过点A折叠使点D落在折痕上的点N处，得到折痕，连结，展平后得到四边形，请求出四边形的面积． 深度探究： （3）如图3，C小组将图1中的四边形剪去，然后在边，上取点G，H，将四边形沿折叠，使A点的对应点始终落在边上（点不与点D，F重合），点E落在点处，与交于点T．探究：当在上运动时，的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值． 【答案】（1）四边形是正方形，理由见解析（2）（3）不变，的周长为12 【解析】 【分析】（1）证，得四边形是菱形，再由，即可得出结论； （2）连接，由折叠的性质可得是等边三角形，，求出，由三角形面积公式可求出； （3）连接，，过点A作于点M，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】解：（1）四边形是正方形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由第一步折叠可知：， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形； （2）连接， 由折叠得， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ 设则， 由勾股定理得， ∴ 解得，（负值舍去） ∴ 由折叠得，， ∴； （3）的周长不变，为定值12．理由如下： 如图，连接，，过点A作于点M， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的周长， ∴的周长为12． 【点睛】本题考查四边形综合题，考查了矩形与折叠的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$