精品解析：江苏省扬州市广陵区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023~2024学年度第二学期期末调研八年级数学试卷 友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卡上作答，在本卷中作答无效． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若是分式，则□不可以是（ ） A. B. C. D. 4. 不透明的袋子中有4个红球和3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出4个球，下列事件为不可能事件的是（ ） A. 摸到有红球 B. 摸到的有绿球 C. 摸到的全是红球 D. 摸到的全是绿球 5. 下列调查中，适宜用普查的是（ ） A. 了解某品牌灯泡的使用寿命 B. 审核书稿中的错别字 C. 了解《今日生活》节目的收视率 D. 了解公民保护环境的意识 6. 下面性质中矩形具有而菱形没有的是（ ） A. 对角线相等 B. 邻边相等 C. 对角线垂直 D. 对边相等 7. 已知和是反比例函数图象上的两个点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，边长为4的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是（ ） A. 4 B. C. D. 二、填空题（本大题共10题，每题3分，共30分，把答案填在答题卡中对应的横线上） 9. 若分式有意义，则x的取值范围是________． 10. 若点A（3，﹣4）、B（﹣2，m）在同一个反比例函数的图象上，则m的值为_____． 11. 如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么的取值范围是_______． 12. 当_______时，分式值为0． 13. 转动如图的转盘（转盘中各个扇形的面积都相等），当它停止转动时，指针指向标有数字______的区域的可能性最小． 14. 当时，化简代数式_______． 15. 如图，点在平行四边形边上，且，、分别是、的中点，连接，已知，则的长是_______． 16. 关于的分式方程有增根，则的值为_______． 17. 如图，一次函数与反比例函数图象相交于点，两点，当时，则自变量的取值范围是_______． 18. 如图，正方形的边长为2，，点是直线上一个动点，连接，线段绕点顺时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值为_______． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求代数式的值：，其中m＝1． 21. 在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共40个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数 650 1180 1890 3100 4820 6013 摸到黑球的频率 （1）请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近_______（精确到）； （2）试估计袋子中有黑球_______个； （3）若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可以在袋子中增加相同的白球_______个． 22. 近年，《中国诗词大会》、《朗读者》、《经典咏流传》、《国家宝藏》等文化类节目相继走红，被人们称为“清流综艺”，光明中学某兴趣小组想了解全校学生对这四个节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，要求每名学生选出一个自己最喜爱的节目，并将调查结果给制成如下统计图（其中《中国诗词大会》，《朗读者》，《经典咏流传》，《国家宝藏》分别用，，，表示），请你结合图中信息解答下列问题： （1）本次调查的学生人数是_______人； （2）请把条形统计图补充完整； （3）在扇形统计图中，对应圆心角的度数是_______； （4）已知该校共有6000名学生，请估计全校最喜爱《朗读者》人数是多少？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，． （1）将以轴为对称轴，翻折得到，请画出． （2）将绕原点顺时针旋转后得到，请画出； （3）以，，为顶点的三角形面积是______． 24. 已知：如图，是的角平分线，过点分别作和的平行线交于点，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 25. 某文具店王老板用240元购进一批笔记本，很快售完；王老板又用600元购进第二批笔记本，所购本数是第一批的2倍，但进价比第一批每本多了2元． （1）第一批笔记本每本进价多少元？ （2）王老板以每本15元的价格销售第二批笔记本，售出后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批笔记本的销售总利润不少于192元，剩余的笔记本每本售价最低打几折？ 26. 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： 因为，所以． 所以，即．所以． 所以． 请根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：_______； （2）若，求的值： （3）计算：． 27. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点与，过点A作轴，垂足为，连接、． （1）求的值； （2）求证：为等腰三角形； （3）为轴上一点，的周长是否有最小值，若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 28. 如图，正方形的边长为4，点从点出发沿线段运动，到达点时运动停止，以点为中心，将线段绕着点顺时针旋转，得到线段． （1）过点作于点G，求证：； （2）连接交于点，连接，的周长是否随点的运动而变化，如不变，求的周长，如变，请说明理由； （3）试求在整个运动过程中，点的运动路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年度第二学期期末调研八年级数学试卷 友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卡上作答，在本卷中作答无效． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义． ， ， 故选：B． 3. 若是分式，则□不可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键．根据分式的定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，据此求解即可． 【详解】解：A、，分母不含有字母，不是分式，符合题意； B、，是分式，不符合题意； C、，是分式，不符合题意； D、，是分式，不符合题意； 故选：A． 4. 不透明的袋子中有4个红球和3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出4个球，下列事件为不可能事件的是（ ） A. 摸到的有红球 B. 摸到的有绿球 C. 摸到的全是红球 D. 摸到的全是绿球 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、摸到的有红球，是随机事件； B、摸到的有绿球，是随机事件； C、摸到的全是红球，是随机事件； D、摸到的全是绿球，是不可能事件； 故选：D． 5. 下列调查中，适宜用普查的是（ ） A. 了解某品牌灯泡的使用寿命 B. 审核书稿中的错别字 C. 了解《今日生活》节目的收视率 D. 了解公民保护环境的意识 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的选择，熟练掌握所要考查的对象的特征灵活选用调查方式，是解题的关键．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多；而抽样调查得到的调查结果比较近似，但但所费人力、物力和时间较少．根据调查的性质和特点，选择调查方式，逐一判断． 【详解】解：A．了解某品牌灯泡的使用寿命， ∵某品牌灯泡的使用寿命调查最适合的方式抽查， ∴不符合题意； B．审核书稿中的错别字， ∵审核书稿中的错别字调查最适合的方式全面调查， ∴符合题意； C．了解《今日生活》节目的收视率， ∵了解《今日生活》节目的收视率调查最适合的方式抽查， ∴不符合题意； D．了解公民保护环境的意识， ∵了解公民保护环境的意识调查最适合的抽查， ∴不符合题意； 故选：B． 6. 下面性质中矩形具有而菱形没有的是（ ） A. 对角线相等 B. 邻边相等 C. 对角线垂直 D. 对边相等 【答案】A 【解析】 【分析】菱形的性质有：四边形相等，两组对边分别平行，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直且平分，且每一组对角线平分一组对角．矩形的性质有：两组对边分别相等，两组对边分别平行，四个内角都是直角，对角线相等且平分．据此即可得到答案． 【详解】解：（A）对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有； （B）邻边相等是菱形具有，矩形不一定具有； （C）对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有； （D）对边相等是矩形和菱形共同具有． 故选：A． 【点睛】本题考查菱形与矩形的性质，掌握各种平行四边形的性质并区分是解题的关键． 7. 已知和是反比例函数图象上的两个点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键． 直接根据反比例函数的增减性即可得． 【详解】解：∵反比例函数中的， ∴这个函数的图象位于第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， 又∵和是反比例函数图象上的两个点，且， ， 故选：A． 8. 如图，边长为4的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查图形旋转、等边三角形的判定、正方形的性质及勾股定理等知识，熟练掌握图形旋转、等边三角形的性质、正方形的性质及勾股定理是解题的关键． 连接、，根据图形旋转前后长度不变且旋转角为，可得是等边三角形，根据勾股定理，求出正方形的对角线长度即可． 【详解】解：如图所示，连接、， ∵四边形是四边形逆时针旋转得到的， ， ∴是等边三角形， ， 在中，， ， 故选：C． 二、填空题（本大题共10题，每题3分，共30分，把答案填在答题卡中对应的横线上） 9. 若分式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不等于0，即可求出答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于0． 10. 若点A（3，﹣4）、B（﹣2，m）在同一个反比例函数的图象上，则m的值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】设反比例函数解析式为y=，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=3×（﹣4）=﹣2m，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为y=， 根据题意得k=3×（﹣4）=﹣2m， 解得m=6． 故答案6． 【点睛】考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 11. 如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线所在的象限，得到，求解即可．掌握反比例函数的图象是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：； ∴； 故答案为：． 12. 当_______时，分式值为0． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 根据分式的值为零的条件可以求出的值． 【详解】解：由分式的值为零的条件得． 由此，得，且， 综上，得的值为3． 故答案为：3． 13. 转动如图的转盘（转盘中各个扇形的面积都相等），当它停止转动时，指针指向标有数字______的区域的可能性最小． 【答案】2 【解析】 【分析】整个圆面被等分成八份“1”占了3份，“2”占了2份，“3”占了3份，根据概率计算公式可求出答案． 【详解】解：根据转盘可知，圆面被等分成8份，“1”占了3份， ∴指针指向“1”的概率为：； “2”占了2份， ∴指针指向“2”的概率为：； “3”占了3份， ∴指针指向“3”概率为：． ∵＜， ∴指针指向“2”的可能性最小， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了几何概率的求法，考查学生对简单几何概型掌握情况，避免了单纯依靠公式机械计算，又可体现数学知识在生活中的应用，解题关键在于对等可能性事件概率的熟练掌握． 14. 当时，化简代数式_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及绝对值的化简，整式的混合运算，根据，可得出，，然后化简二次根式以及绝对值即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：2． 15. 如图，点在平行四边形的边上，且，、分别是、的中点，连接，已知，则的长是_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键．由三角形中位线定理，求得，由平行四边形的性质，的大，再根据已知条件得到求解即可． 【详解】解：、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故答案为：8 16. 关于的分式方程有增根，则的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，先去分母，根据分式方程有增根的条件求解即可． 【详解】解： 当，即时，方程无解 当，即时，此时 分式方程无解 ，解得： 综上，或时，分式方程无解 故答案为：或． 17. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，则自变量的取值范围是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的图象与不等式的解，解题的关键是数形结合． 根据图象中一次函数与反比例函数的分布即可求出取值范围． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点， 由图象知，当时，即一次函数在反比例函数上方，此时或， 故答案为：或． 18. 如图，正方形的边长为2，，点是直线上一个动点，连接，线段绕点顺时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，在上截取，使，连接，过点作于点，证明，得出，点在直线上运动，当点与重合时，的值最小，求出最小值即可． 【详解】解：连接，在上截取，使，连接，过点作于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中 ， ∴， ∴， ∴点在直线上运动，当点与重合时，的值最小， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短，直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，得出点在直线上运动，当点与重合时，的值最小，是解题的关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）－2 【解析】 【分析】（1）直接化简二次根式，进而合并得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则化简，进而合并得出答案． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 20. 先化简，再求代数式的值：，其中m＝1． 【答案】，﹣ 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式＝ ＝， 当m＝1时，原式＝＝﹣． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握运算法则是解题的关键 21. 在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共40个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数 650 1180 1890 3100 4820 6013 摸到黑球的频率 （1）请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近_______（精确到）； （2）试估计袋子中有黑球_______个； （3）若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可以在袋子中增加相同的白球_______个． 【答案】（1） （2）24 （3）8 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率以及概率公式，熟练掌握利用频率估计概率以及概率公式是解题的关键．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据表格的统计数据可得到，当很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6； （2）根据大量重复实验中事件的频率可以估计摸到黑球概率为0.6，设估计袋子中有黑球个，利用概率公式列式求解即可； （3）要在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，使得黑球和白球的数量相等即可． 【小问1详解】 解：观察表格得： 当n很大时，摸到黑球的频率将会接近． 【小问2详解】 解：设估计袋子中有黑球个， 由于当n很大时，摸到黑球的频率将会接近，且这个不透明袋子中每次摸到黑球白球都是等可能性的， 摸到黑球的概率， 解得， 估计袋子中有黑球24个． 【小问3详解】 解： 袋子中有黑球24个，白球有个，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，即白球和黑球数量相等， 增加白球个． 故可以在袋子中增加相同的白球8个． 22. 近年，《中国诗词大会》、《朗读者》、《经典咏流传》、《国家宝藏》等文化类节目相继走红，被人们称为“清流综艺”，光明中学某兴趣小组想了解全校学生对这四个节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，要求每名学生选出一个自己最喜爱的节目，并将调查结果给制成如下统计图（其中《中国诗词大会》，《朗读者》，《经典咏流传》，《国家宝藏》分别用，，，表示），请你结合图中信息解答下列问题： （1）本次调查的学生人数是_______人； （2）请把条形统计图补充完整； （3）在扇形统计图中，对应的圆心角的度数是_______； （4）已知该校共有6000名学生，请估计全校最喜爱《朗读者》的人数是多少？ 【答案】（1）100 （2）条形统计图见详解 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意并合理利用数形结合的思想． （1）在统计图中选择某一项目的人数除以其所占的百分比即可； （2）求出最喜爱《朗读者》的学生人数，补全条形统计图即可； （3）根据统计图中的数据可以求得对应的圆心角度数为其所占的百分比即可； （4）用学生总数乘以喜爱《朗读者》的百分比即可． 【小问1详解】 解：本次调查的学生人数是：(人)， 故答案为100； 【小问2详解】 解：最喜爱《朗读者》的学生人数为：(人)； 条形统计图补充完整如下： 【小问3详解】 解：B对应的圆心角是：， 故答案为：； 【小问4详解】 解：根据样本估计全校最喜爱《朗读者》人数是：(人)． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，． （1）将以轴为对称轴，翻折得到，请画出． （2）将绕原点顺时针旋转后得到，请画出； （3）以，，为顶点的三角形面积是______． 【答案】（1）如图所示，见解析；（2）如图所示，见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得； （2）分别作出三个顶点绕原点O顺时针旋转90°后得到的对应点，再首尾顺次连接即可得； （3）直接利用三角形的面积公式求解可得． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求． （2）如图所示，即为所求． （3）以O，B1，B2为顶点的三角形面积是×3×3＝． 【点睛】本题主要考查作图﹣旋转变换与轴对称变换，解题的关键是掌握旋转变换与轴对称变换的定义和性质． 24. 已知：如图，是的角平分线，过点分别作和的平行线交于点，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，勾股定理： （1）先证明四边形是平行四边形，再根据平行线和角平分线的性质，推出，即可得出结论； （2）连接，与交于点，根据菱形的性质结合勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵是的角平分线 ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 连接，与交于点， ∵四边形是菱形， ∴、互相垂直且平分， ∴， 根据勾股定理，， ∴， ∴四边形的面积． 25. 某文具店王老板用240元购进一批笔记本，很快售完；王老板又用600元购进第二批笔记本，所购本数是第一批的2倍，但进价比第一批每本多了2元． （1）第一批笔记本每本进价多少元？ （2）王老板以每本15元的价格销售第二批笔记本，售出后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批笔记本的销售总利润不少于192元，剩余的笔记本每本售价最低打几折？ 【答案】（1）第一批笔记本每本进价为8元 （2）剩余的笔记本每本最低打七折 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用； （1）设第一批笔记本每本进价为元，则第二批每本进价为元，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解． （2）设剩余的笔记本每本打折，根据题意列出不等式，解不等式，根据题意，即可求解． 【小问1详解】 解：设第一批笔记本每本进价为元，则第二批每本进价为元， 由题意得： 解之得： 经检验，为原方程的解 答：第一批笔记本每本进价为8元． 【小问2详解】 第二批笔记本有：（本） 设剩余笔记本每本打折， 由题意得： 解得： 答：剩余的笔记本每本最低打七折． 26. 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： 因为，所以． 所以，即．所以． 所以． 请根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：_______； （2）若，求的值： （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及分母有理化，正确进行分母有理化是解题关键． （1）直接进行分母有理化即可得出答案； （2）根据题意得出a的值，再把要求的式子变形为，再代入计算得出答案； （3）将要求的式子各项进行分母有理化，再进行加减即可得出答案． 【小问1详解】 解：， 故答案为： 【小问2详解】 解： 则原式 当时，原式 【小问3详解】 解： 27. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点与，过点A作轴，垂足为，连接、． （1）求的值； （2）求证：为等腰三角形； （3）为轴上一点，的周长是否有最小值，若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）把与代入，解方程组即得； （2）过作于点，根据， ， 得到线段，，，得到垂直平分，即得为等腰三角形； （3）作点C关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小．设所在直线的表达式为，把，代入，解方程组得到，即可求得点的坐标为． 【小问1详解】 ∵反比例函数的图象经过点与， ∴， 解得：， 故m的值为8； 【小问2详解】 过作于点， ∵ ∴点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴为等腰三角形； 【小问3详解】 存在，理由： 作点C关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小． 设所在直线的表达式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， 当时，， 故点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数、一次函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形判断，轴对称线段最短，待定系数法求一次函数解析式，一次函数性质，是解决问题的关键． 28. 如图，正方形的边长为4，点从点出发沿线段运动，到达点时运动停止，以点为中心，将线段绕着点顺时针旋转，得到线段． （1）过点作于点G，求证：； （2）连接交于点，连接，的周长是否随点的运动而变化，如不变，求的周长，如变，请说明理由； （3）试求在整个运动过程中，点的运动路径长． 【答案】（1）见解析 （2）的周长不变， （3） 【解析】 【分析】本题主要老相正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识： （1）证明，根据证明即可得出结论； （2）将绕点顺时针旋转得到，分别证明和，进一步得出的周长等于； （3）连接，在上截取，证明，得出，得出运动路径长为 【小问1详解】 证明：∵四边形正方形， ∴， ∴， ∵旋转得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：的周长不变 理由如下：将绕点顺时针旋转得到， ∵四边形是正方形， ∴ 由旋转得， ∴，，， ∴， ∴点、、共线 ∵， ∴ ∴， ∴ 即 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴的周长等于 ∴的周长不随点的位置而发生改变． 【小问3详解】 解：连接，在上截取，如图， 由（1）知， ∴ ∴ ∵，， ∴, ∵， ∴， ∴， 又， ∴， 由此可知，点从到，点在线段上运动，如图， 所以，当从到时，点的运动路径长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$