6.8　余角和补角 课件 2024-2025学年浙教版数学七年级上册

第6章　图形的初步知识 6.8　余角和补角 学习目标　1.了解余角和补角的概念. 2.理解等角的余角相等，等角的补角相等. 3.了解角在解决实际问题中的一些简单应用. 掌握重点　余角和补角的概念和性质. 突破难点　余角和补角性质的应用. 内容索引 新知学习 典例精析 课时作业 3 新知学习 4 如果两个锐角的和是一个 ，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说一个角是另一个角的 . 直角 余角 知识点1　余角的概念 答案 5 1.已知∠α与∠β互余，若∠α＝20°，则∠β的度数为(　　) A.70° B.40° C.20° D.160° 自我检测 A 解析　∵∠α与∠β互余， ∴∠α＋∠β＝90°， ∵∠α＝20°， ∴∠β＝90°－20°＝70°. 故选A. 答案 解析 如果两个角的和是一个平角 ，我们就说这两个角 ，简称 ，也可以说一个角是另一个角的 . 互为补角 知识点2　补角的概念 答案 互补 补角 7 2.已知∠2是∠1的余角，∠3是∠2的补角，且∠1＝38°，则∠3等于(　　) A.62° B.128° C.138° D.142° 自我检测 B 解析　∵∠2是∠1的余角， ∴∠2＝90°－∠1＝90°－38°＝52°， ∵∠3是∠2的补角， ∴∠3＝180°－∠2＝180°－52°＝128°. 故选B. 答案 解析 同角或等角的余角 ；同角或等角的补角 . 相等 知识点3　余角和补角的性质 答案 相等 9 3.∠AOB＋∠BOC＝180°，又∠BOC与∠COD互补，那么∠AOB与∠COD的关系(　　) A.互余 B.互补 C.相等 D.不能确定 自我检测 C 解析　∵∠AOB＋∠BOC＝180°， 又∠BOC与∠COD互补， ∴∠AOB与∠COD都是∠BOC的补角， ∴∠AOB＝∠COD. 故选C. 答案 解析 在描述方位角时以南、北在前， ，例如南偏西20°(一般不说成西偏南70°).描述南偏东45°方向时，一般说成 方向. 东、西在后 知识点4　方位角 答案 东南 11 4.如图，已知小强家(A)在学校(O)的南偏东50°，小华家(B)在学校的东北方向. (1)若小亮家(C)在学校的北偏西20°，试求出∠AOB和∠AOC的度数. 自我检测 解 解　∵小强家(A)在学校(O)的南偏东50°，小华家(B)在学校的东北方向， ∴∠AOE＝90°－50°＝40°， ∠BOE＝∠BON＝45°， ∴∠AOB＝40°＋45°＝85°， ∵小亮家(C)在学校的北偏西20°， ∴∠CON＝20°， ∴∠AOC＝∠AOB＋∠BON＋∠CON＝85°＋45°＋20°＝150°. (2)若∠BOC＝70°，试求出∠AOC的度数，并说明小亮家在学校的什么方向上. 解 解　①当OC在直线OE上方时， 由(1)知∠AOB＝85°， ∵∠BOC＝70°， ∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝85°＋70°＝155°， ∠CON＝70°－∠BON＝70°－45°＝25°. ∴小亮家在学校的北偏西25°方向上. ②当OC在直线OE下方时，由(1)知，∠AOB＝85°， ∵∠BOC＝70°， ∴∠AOC＝15°， ∴小亮家在学校的南偏东65°方向上. 返回 典例精析 16 例1　(教材例1针对训练)如图，点O是直线AB上任一点，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC. (1)与∠AOE互补的角是__________. 解　∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE＝∠COE. ∵∠AOE＋∠BOE＝180°， ∴∠AOE＋∠COE＝180°， ∴与∠AOE互补的角是∠BOE，∠COE. 类型1　 余角和补角性质的应用 解 (2)若∠AOC＝72°，求∠DOE的度数. 解　∵OD，OE分别平分∠AOC，∠BOC，∠AOC＝72°， ∴∠COD＝∠AOD＝36°， 解 ∵∠BOC＝180°－72°＝108°， ∴∠DOE＝∠COD＋∠COE＝90°. (3)当∠AOC＝α时，请直接写出∠DOE的度数. 解　当∠AOD＝α时，∠DOE＝90°. 解 归纳总结　本题考查了余角和补角以及角平分线的定义；熟练掌握两个角的互余和互补关系是解决问题的关键. 例2　(教材例2变式训练)一个角的余角的3倍比它的补角的2倍少120°，则这个角的度数为________. 类型2　 利用补角和余角的性质求角的度数 30° 解析　设这个角是x°，根据题意，得 3(90－x)＝2(180－x)－120， 解得x＝30. 即这个角的度数为30°. 答案 解析 归纳总结　(1)解答本题的关键是掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°；(2)在计算角的度数时，经常运用方程的思想. 例3　(教材补充例题)如图，射线ON，OE，OS，OW分别表示从点O出发北、东、南、西四个方向，点A在点O的东北方向，点B在点O的北偏西30°方向. (1)画出射线OB，若∠BOC与∠AOB互余，请在图或备用图中画出∠BOC. 解　如图所示，∠BOC与∠BOC′即为所求； (2)在(1)的条件下，若OP是∠AOC的角平分线，直接写出∠AOP的度数(不需要计算过程). 解　∵∠AON＝45°，∠BON＝30°， ∴∠AOB＝75°， ∵∠BOC与∠AOB互余， ∴∠BOC＝15°， ∴∠AOC＝90°或60°， ∵OP是∠AOC的角平分线， ∴∠AOP＝45°或30°. 解 归纳总结　此题主要考查了方位角的定义，余角的定义，作出图形，正确掌握方位角的定义是解题关键. 小结与反思 小结 (2018·驻马店)若∠1与∠2互补，∠3与30°互余，∠2＋∠3＝210°，则∠1＝_____度. 反思 答案 返回 30 解析　∵∠3与30°互余， ∴∠3＝90°－30°＝60°， ∵∠2＋∠3＝210°， ∴∠2＝150°， ∵∠1与∠2互补， ∴∠1＋∠2＝180°， ∴∠1＝30°.故答案为：30. 解析 课时作业 29 1.已知∠α＝34°30′，则∠α的余角为(　　) A.66°30′ B.65°30′ C.56°30′ D.55°30′ D 解析　∵∠α＝34°30′， ∴∠α的余角度数是90°－∠α＝90°－34°30′＝55°30′. 故选D. 基础达标 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2.已知∠α＝140°－5m，∠β＝5m－50°，∠α和∠β关系一定成立的是(　　) A.互余 B.互补 C.∠α＝∠β D.∠α＝2∠β A 答案 解析 解析　∵∠α＝140°－5m，∠β＝5m－50°， 140°－5m＋5m－50°＝90°， ∴∠α，∠β的关系是互余. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3.若一个角比它的补角大90°，则这个角为(　　) A.100° B.120° C.135° D.150° C 解析　设这个角的度数为x度， 则这个角的补角为(180°－x)，那么 180°－x＝x－90°， 解得x＝135°. 故选C. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4.如图，已知∠AOC＝∠BOC＝90°，若∠1＝∠2，则图中互余的角共有(　　) A.5对 B.4对 C.3对 D.2对 B 解析　∵∠AOC＝∠BOC＝90°，∠1＝∠2， ∴∠1＋∠AOE＝90°， ∠2＋∠COD＝90°， ∠2＋∠AOE＝90°， ∠1＋∠COD＝90°，∴互余的角共有4对. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析 答案 5.如图，点O在直线AB上，∠AOD＝22°30′，∠BOC＝45°，OE平分∠BOC，则∠EOC的补角是(　　) A.∠AOC B.∠AOE或∠DOB C.∠AOE或∠DOB或∠AOC＋∠DOE D.以上都不对 解析　∵∠BOC＝45°，OE平分∠BOC， ∴∠COE＝∠EOB＝22°30′，∴∠AOD＝∠COE＝∠EOB， 结合图形可得∠EOC的补角是∠AOE或∠DOB. 故选B. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 答案 解析 6.∠1的补角是133°21′，则它的余角是__________；下午14点半，钟面上的时针与分针的夹角是______度. 43°21′ 解析　∠1的余角是133°21′－90°＝43°21′， 14点30分时，时针与分针的夹角的度数是30×(3＋0.5)＝105°， 故答案为：43°21′；105. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 105 7.如图，∠AOC和∠BOD都是90°，如果∠DOC＝36°36′，那么∠AOB＝__________. 143°24′ 解析　∵∠AOC和∠BOD都是90°， ∠DOC＝36°36′， ∴∠AOD＝53°24′. ∴∠AOB＝∠BOD＋∠AOD＝90°＋53°24′ ＝143°24′. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8.一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大54°，则∠2＝________. 18° 解析　由题意得∠1＝∠2＋54°， ∴∠1＋∠2＝∠2＋54°＋∠2＝90°， 解得∠1＝72°，∠2＝18°. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9.一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍，则比这个角小15°32′的角的度数是________. 24°28′ 解析　设这个角为x°，则它的余角为90°－x°，补角为180°－x°， 根据题意，得180°－x°＋10°＝3×(90°－x°)， 解得x＝40， 40°－15°32′＝24°28′. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10.如图，∠AOC与∠BOD都是90°，且∠AOB∶∠AOD＝2∶7，则∠AOB等于_____度. 36 解析　设∠AOB＝2x，则∠AOD＝7x， ∵∠AOD－∠AOB＝90°， ∴7x－2x＝90°， 解得x＝18°. 所以∠AOB＝36°. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11.如图①，∠AOB，∠COD都是直角. (1)试猜想∠AOD与∠COB在数量上的关系，并用用推理的方法说明你的猜想是合理. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解　∠AOD与∠COB在数量上存在互补关系，也就是和为180°， ∵∠AOB＋∠COD＝180°， ∴∠AOC＋∠BOC＋∠BOC＋∠BOD＝180°， 即为∠AOD＋∠COB＝180°. (2)当∠COD绕点O旋转到图②的位置时，你原来的猜想还成立吗(不用说明理由)？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解　成立.理由如下： ∵∠AOB，∠COD都是直角， ∴∠AOB＝∠COD＝90°， ∵∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠AOD＝360°， ∴∠AOD＋∠COB＝180°， 即∠AOD与∠COB互补. 12.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC＝72°，∠DOF＝90°. (1)写出图中任意一对互余的角. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解　∠BOF与∠BOD或∠DOE与∠EOF. (2)求∠EOF的度数. 解　∵∠COF＝180°－∠DOF＝90°， ∴∠BOF＝180°－∠AOC－∠COF＝180°－72°－90°＝18°， ∴∠BOD＝∠DOF－∠BOF＝90°－18°＝72°， ∵OE平分∠BOD， 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ∴∠EOF＝∠BOF＋∠BOE＝18°＋36°＝54°. 13.如图，O为直线AB上一点，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则图中互余的角有(　　) A.4对 B.3对 C.2对 D.1对 A 答案 解析 能力提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析　∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ∴∠MOC与∠NOC互余，∠MOA与∠NOC互余， ∠MOC与∠NOB互余，∠MOA与∠NOB互余， 故选A. 14.如图，∠AOB与∠COD都是直角，∠AOD＝140°21′，则∠COB＝________°.若∠AOD＝α，则∠COB＝__________. 39.65 解析　(1)∵∠AOB与∠COD都是直角， ∴∠AOB＝∠COD＝90°， ∵∠AOD＝140°21′， ∴∠AOC＝50°21′， ∴∠BOC＝39°39′＝39.65°. (2)略. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 答案 解析 180°－α 15.如图，直线AB与CD相交于点O，射线OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的角平分线. (1)请写出∠EOF的所有余角：______________. (2)请写出∠DOE的所有补角：______________. 解　∠EOF的所有余角：∠EOD，∠BOD，∠AOC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 解　∠DOE的所有补角：∠COE，∠AOD，∠COB. (3)若∠AOC＝ ∠FOB，求∠COE的度数. 解　设∠AOC＝x，则∠FOB＝6x， ∵∠BOD＝∠AOC＝x， 又∵∠BOF－∠BOD＝∠FOD＝90°， ∴6x－x＝90°， ∴x＝18°， ∴∠BOF＝6x＝108°， ∴∠AOF＝180°－108°＝72°. ∴∠COE＝2∠AOF＋∠AOC＝2×72°＋18°＝162°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 16.如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1－∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角(本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角). (1)如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，∠EOD＝90°，直接指出图中所有互为垂角的角. 解　互为垂角的角有4对：∠EOB与∠DOB，∠EOB与∠EOC，∠AOD与∠COD，∠AOD与∠AOE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 (2)如果一个角的垂角等于这个角的补角的 求这个角的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 解　设这个角的度数为x度，则 ①当0＜x＜90时，它的垂角是(90＋x)度，依题意有 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解得x＝18. ②当90＜x＜180时，它的垂角是(x－90)度，依题意有 解得x＝126. 故这个角的度数为18度或126度. 17.以直线AB上一点O为端点作射线OC使∠BOC＝60°，将一个直角三角形的直角顶点放在O处(注：∠DOE＝90°). (1)如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上， 则∠COE＝________. 解　∵∠BOE＝∠COE＋∠COB＝90°， 又∵∠COB＝60°， ∴∠COE＝30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 素养提升 (2)如图②，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若射线OE恰好平分∠AOC，则∠BOD＝________. 解　∵OE平分∠AOC， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 ∵∠EOD＝90°， ∴∠AOE＋∠BOD＝90°，∠COE＋∠COD＝90°， (3)如图③，将三角板DOE绕点O逆时针转动到某个位置时，若恰好∠COD＝ ∠AOE，求∠BOD的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 解　设∠COD＝x，则∠AOE＝5x. ①当OD在OC右侧时， ∵∠AOE＋∠EOD＋∠BOD＝∠AOE＋∠EOD－∠COD＋∠BOC＝180°， ∴5x＋90°－x＋60°＝180°， 解得x＝7.5°，即∠COD＝7.5°， ∴∠BOD＝∠BOC－∠COD＝60°－7.5°＝52.5°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ②当OD在OC左侧时， ∵∠AOE＋∠DOE＋∠COD＋∠BOC＝180°，∠DOE＝90°，∠BOC＝60°， ∴5x＋90°＋x＋60°＝180°， 解得x＝5°， 即∠COD＝5°， ∴∠BOD＝∠COD＋∠BOC＝5°＋60°＝65°， 综上所述，∠BOD的度数为52.5°或65°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回 本课结束 ∠COE＝∠BOE＝∠BOC， ∴∠COE＝∠BOC＝54°， 余角和补角 ∴∠BOE＝∠BOD＝36°， ∴∠MOC＝∠MOA＝∠AOC， ∠NOC＝∠NOB＝∠BOC， ∴∠MOC＋∠NOC＝(∠AOC＋∠BOC)＝90°， ， 90＋x＝(180－x)， x－90＝(180－x)， ∴∠COE＝∠AOE＝∠COA， ∴∠COD＝∠BOD＝∠BOC＝30°. $$