6.7　角的和差课件2023-2024学年浙教版数学七年级上册

第6章　图形的初步知识 6.7　角的和差 学习目标　1.了解角的和差的概念. 2.会表示两个角的和差.会在图形中辨别角的和差，会用量角器作两个角的和差. 3.理解角平分线的概念，会用量角器作角的平分线. 4.会进行有关的角的和、差、倍、分的有关计算. 掌握重点　角的和差的概念. 突破难点　角的和、差、倍、分的有关计算. 内容索引 新知学习 典例精析 课时作业 3 新知学习 4 一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的 ，那么这个角就叫做另两个角的和；如果一个角的度数是另两个角的度数的 ，那么这个角就叫做另两个角的差.两个角的和或差仍是 . 和 差 知识点1　角的和、差 答案 一个角 5 自我检测 1.借助一副三角尺，不能画出下面哪个度数的角(　　) A.105° B.75° C.135° D.175° D 答案 解析　60°＋45°＝105°，30°＋45°＝75°，90°＋45°＝135°. ∴105°，75°，135°只用一副三角尺可以画出， 175°只用一副三角尺，不能画出， 故选D. 解析 2.如图，点O为直线AB上一点，∠COB＝27°29′，则∠1等于(　　) A.152°31′ B.153°31′ C.162°31′ D.163°31′ A 答案 解析　∠1＝180°－∠COB＝180°－27°29′ ＝179°60′－27°29′＝152°31′. 故选A. 解析 从一个角的 引出的一条射线，把这个角分成两个 的角，这条射线叫做这个角的平分线. 顶点 知识点2　角的平分线 答案 相等 8 自我检测 3.如图所示，OB是∠AOC的平分线，∠COD＝ ∠BOD，∠COD＝17°，则∠AOD的度数是(　　) A.70° B.83° C.68° D.85° D 答案 解析 ∴∠BOC＝2∠COD＝2×17°＝34°， ∵OB是∠AOC平分线，∴∠AOC＝2∠BOC＝2×34°＝68°， ∴∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝68°＋17°＝85°， 故选D. 返回 典例精析 10 例1　(教材例2针对训练)如图，∠AOB是直角，OP平分∠AOB，OQ平分∠AOC，∠POQ＝70°，求∠AOC的度数. 解　∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB， ∴∠POA＝45°， ∵∠POQ＝70°， ∴∠AOQ＝∠POQ－∠POA＝25°， ∵OQ平分∠AOC， ∴∠AOC＝2∠AOQ＝50°. 类型1　 角的和差计算 解 归纳总结　(1)灵活运用角平分线的三种表达方式：等、倍、分；(2)灵活运用整体思想，不能只着眼于局部；(3)体现转化的思想.解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. 例2　(教材补充例题)已知正方形的每个角等于90°，请解决下列问题： (1)如图①，将两个正方形的一个顶点O重合放置， 若∠AOD＝50°，求∠COB的度数. 解　∵两个图形是正方形， ∴∠COD＝90°，∠AOB＝90°， ∴∠COD＋∠AOB＝180°， ∵∠AOD＝50°， ∴∠COB＝∠COD＋∠AOB－∠AOD＝130°. 类型2　 角的变换计算 解 (2)如图②，将三个正方形的一个顶点O重合放置， 若∠EOC＝30°，∠BOF＝40°，求∠AOD的度数. 解　如图，由题意知，∠1＋∠2＝60°①， 解 ∠1＋∠3＝50°②， 又∠1＋∠2＋∠3＝90°③， ①＋②－③得∠1＝20°； ∴∠AOD＝20°. (3)如图③，将三个正方形的一个顶点O重合放置， 若OF平分∠DOB，那么OE平分∠AOC吗？为什么？ 解　OE平分∠AOC，理由如下： ∵∠COD＝∠AOB， ∴∠COA＝∠DOB， 同理：∠EOA＝∠FOB， ∵OF平分∠DOB， 解 ∴OE平分∠AOC. 归纳总结　(1)熟练掌握角的和差的计算和角平分线的性质，根据所给出的图形，找到角与角的关系；(2)掌握类比的数学思想. 小结与反思 小结 把一张长方形纸条按如图所示的方式折叠后，量得∠AOB′＝110°，则∠B′OC＝________. 反思 答案 返回 35° 课时作业 19 1.如图，已知∠AOC＝∠BOD＝80°，∠BOC＝25°，则∠AOD的度数为(　　) A.150° B.145° C.140° D.135° D 解析　∵∠AOC＝∠BOD＝80°，∠BOC＝25°， ∴∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝80°－25°＝55°， ∴∠AOD＝∠BOD＋∠AOB＝80°＋55°＝135°， 故选D. 基础达标 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2.∠AOB的大小可由量角器测得(如图所示)，则180° －∠AOB的大小为(　　) A.0° B.70° C.110° D.180° B 答案 解析 解析　由题意，可得∠AOB＝110°， 180°－∠AOB＝70°. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3.如图，将长方形纸片进行折叠，ED，EF为折痕，A与A′，B与B′，C与C′重合，若∠AED＝25°，则∠BEF的度数为(　　) A.75° B.65° C.55° D.50° B 解析　根据翻折的性质可知，∠AED＝∠A′ED，∠BEF＝∠FEB′， 又∵∠AED＋∠A′ED＋∠BEF＋∠FEB′＝180°， ∴∠AED＋∠BEF＝90°， 又∠AED＝25°，∴∠BEF＝65°. 故选B. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4.如图，若∠BOC∶∠AOC＝1∶2，∠AOB＝63°，且OC在∠AOB的内部，则∠AOC等于(　　) A.78° B.42° C.39° D.21° B 解析　∵∠BOC∶∠AOC＝1∶2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析 答案 故选B. 5.如图，已知∠AOB＝α，∠BOC＝β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数是(　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 答案 解析 解析　∵∠AOB＝α，∠BOC＝β， ∴∠AOC＝α＋β， ∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 故选D. 6. 如图，∠AOB＝72°32′，射线OC在∠AOB内，∠BOC＝30°40′，则∠AOC＝__________. 41°52′ 解析　∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝72°32′－30°40′＝41°52′. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7.如图，将一张长方形纸片沿线段AB折叠，已知∠1＝40°，则∠2＝______. 100° 解析　∵长方形纸片沿AB折叠， ∴∠1＝∠3＝40°， ∴∠2＝180°－∠3－∠1＝180°－2×40°＝100°. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8.如图，射线OA，OB把∠POQ三等分，若图中所有小于平角的角的度数之和是300°，则∠POQ的度数为______. 90° 解析　设∠QOB＝∠BOA＝∠AOP＝x°， 则∠QOA＝∠BOP＝2x°，∠QOP＝3x°， ∴∠QOB＋∠BOA＋∠AOP＋∠QOA＋∠BOP＋∠QOP＝10x°＝300°， 解得x＝30， ∴∠POQ＝3x°＝90°. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9.如图，点O在直线AB上，∠1∶∠2∶∠3＝1∶3∶2，则∠DOB＝_____. 120° 解析　设∠1为x°，则∠2＝3x°，∠3＝2x°，依题意有 x°＋3x°＋2x°＝180°， 解得x＝30， 则∠DOB＝x°＋3x°＝120°. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10.如图，点C，O，D在同一条直线上，∠AOC＝40°，∠BOD＝50°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，则∠MON＝________. 135° 解析　∵∠AOC＝40°，∠BOD＝50°， ∴∠AOB＝90°， ∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ∴∠MON＝∠MOA＋∠AOB＋∠NOB＝135°. 11.已知点A，O，B在一条直线上，将射线OC绕O点顺时针方向旋转90°后，得到射线OD，在旋转过程中，射线OC始终在直线AB上方，且OE平分∠AOD.约定，无论∠AOD大小如何，OE都看作是由OA，OD两边形成的最小角的平分线. (1)如图，当∠AOC＝30°时，∠BOD＝________°. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解　∵∠COD＝90°，∠AOC＝30°， ∴∠BOD＝180°－90°－30°＝60°. 故答案为60. (2)若射线OF平分∠BOC，求∠EOF的度数. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解　设∠AOC＝α， ∴∠BOC＝180°－α，∠AOD＝90°＋α， ∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOC， 12. 已知：∠AOB＝50°，∠AOC＝ ∠AOB，反向延长OC至D. (1)请用半圆仪(量角器)和直尺画出图形. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解　画出图形，如图①，如图②. (2)求∠BOD的度数. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解　情况一，如图① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ∴∠BOD＝180°－∠BOC(平角定义)＝180°－25°＝155°. 情况二，如图②：同理. ∴∠BOD＝180°－∠BOC＝180°－75°＝105°. 13.如图①，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的2倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”.如图②，若∠MPN＝α，且射线PQ是∠MPN的 “巧分线”，则∠MPQ＝______________(用含α的式子表示). 答案 解析 能力提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析　如图③，PQ平分∠MPN， 即∠MPN＝2∠MPQ＝2∠NPQ， ∵∠MPN＝α， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 如图④，PQ是∠MPN的3等分线， 即∠NPQ＝2∠MPQ， 如图⑤，PQ是∠MPN的3等分线， 即∠MPQ＝2∠NPQ， 14.如图，点O是直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝110°. (1)∠BOC＝_____°. 70 解析　∠BOC＝180°－∠AOC＝70°， 故答案为70. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 答案 解析 (2)现将射线OA绕点O以每秒10°角的速度顺时针旋转至与射线OB重合为止.设运动时间为t秒.当射线OA，射线OB，射线OC分别构成两个相等的角(重合除外)时，此时t的值为____________. 4秒或14.5秒 解析　当∠AOC＝∠BOC时，射线OA旋转了110°－70°＝40°， 则t＝40÷10＝4(秒)， 当∠AOC＝∠BOA时，射线OA旋转了180°－ ×70°＝145°， 则t＝145÷10＝14.5(秒). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 答案 解析 15.如图，已知同一平面内∠AOB＝90°，∠AOC＝50°. (1)∠BOC＝________. 解　∵∠AOB＝90°，∠AOC＝50°， ∴∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝90°＋50°＝140°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 (2)若OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，直接写出∠DOE的度数为________. 解　∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 ∴∠DOE＝∠COD－∠COE＝45°. (3)试问在(2)的条件下，如果将题目中∠AOC＝50°改成∠AOC＝2α(α<45°)，其他条件不变，你能求出∠DOE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由. 解　∵∠AOB＝90°，∠AOC＝2α， ∴∠BOC＝90°＋2α， ∵OD，OE分别平分∠BOC，∠AOC， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 ∴∠DOE＝∠DOC－∠COE＝45°. 16.新定义：若∠α的度数是∠β的度数的n倍，则∠α叫做∠β的n倍角. (1)若∠M＝10°21′，请直接写出∠M的3倍角的度数. 解　∵∠M＝10°21′， ∴3∠M＝3×10°21′＝31°3′. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 (2)如图①，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠AOB的所有2倍角. 解　∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD， ∴∠AOC＝2∠AOB，∠BOD＝2∠AOB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 (3)如图②，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度数. 解　∵∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角， ∴设∠AOB＝α，则∠AOC＝3α，∠COD＝4α， ∴∠AOD＝7α， ∴∠BOD＝6α， ∵∠BOD＝90°， ∴α＝15°， ∴∠BOC＝90°－4×15°＝30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 17.如图，∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB， (1)若∠COD＝18°，求∠AOB的度数. 解　∵OD平分∠AOB， ∴∠BOD＝∠AOD，设∠BOD＝∠AOD＝x， 则∠BOC＝x＋18°，∠AOC＝x－18°， ∵∠BOC＝2∠AOC， ∴x＋18°＝2(x－18°)，解得x＝54°， ∴∠AOB＝2x＝108°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 素养提升 (2)若OE平分∠AOC，试写出∠DOE与∠AOC的数量关系，并说明理由. 解　∠DOE＝∠AOC. 理由：设∠AOC＝2y，则∠AOE＝∠EOC＝y，∠BOC＝4y， ∵OD平分∠AOB， ∴∠AOD＝3y， ∴∠DOE＝∠AOD－∠AOE＝2y， ∴∠DOE＝∠AOC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 返回 本课结束 解析　∵∠COD＝∠BOD，∠COD＝17°， ∴∠DOF＝∠FOB＝∠DOB， ∴∠EOA＝∠DOB＝∠COA， 角的和差 ∴∠AOC＝∠AOB＝×63°＝42°. A.β B.(α－β) C.α－β D.α ∴∠NOC＝∠BOC＝，∠MOC＝∠AOC＝， ∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝－＝. ∴∠MOA＝∠AOC＝20°，∠NOB＝∠BOD＝25°， ∴∠AOE＝∠DOE＝∠AOD＝45°＋α，∠COF＝∠BOF＝∠BOC＝90°－α， ∴∠EOF＝180°－∠AOE－∠BOF＝180°－－＝45°. ∵∠AOC＝∠AOB， ∵∠AOC＝∠AOB， ∴∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝∠AOB＝75°. ∴∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝∠AOB－∠AOB＝∠AOB＝25°. α或α或α ∴∠MPQ＝α. ∴∠MPQ＝α； ∴∠MPQ＝α； ∴∠COD＝∠BOC＝70°， ∠COE＝∠AOC＝25°， ∴∠DOC＝∠BOC＝45°＋α， ∠COE＝∠AOC＝α， $$