6.7 角的和差 学案 2023--2024学年浙教版七年级数学上册

浙教版数学七年级上册自主学案 第6章　图形的初步知识 6.7　角的和差 教材的地位 和作用 　本节内容是培养学生识图能力的重要组成部分,本课时不仅是对前一节所学内容的复习巩固,同时也是学生继续学习有关角的知识,乃至后继学习几何计算、作图的基础.其中角的平分线在几何问题中应用广泛 重点 难点 重点 　角平分线的概念 难点 　角的和差及其有关计算 易错点 　无附图几何问题易漏解 知识点一　角的和差的意义 一般地,如果一个角的度数是另两个角的度数的和,那么这个角就叫做另两个角的和;如果一个角的度数是另两个角的度数的差,那么这个角就叫做另两个角的差. 1.根据图1填空: 图1 (1)∠AOB=∠AOC+　∠BOC　;  (2)∠BOC=∠COD-　∠BOD　=　∠AOB　-　∠AOC　;  (3)∠AOB+∠COD-∠AOD=　∠BOC　.   知识点二　角平分线的定义 图2 从一个角的顶点引出的一条　射线　,把这个角分成　两个相等　的角,这条射线叫做这个角的　平分线　.如图2,OC是∠AOB的平分线,则∠AOC=∠BOC=∠AOB,∠AOB=∠AOC+∠BOC=2∠AOC=2∠BOC.  2.如图3,下列式子中不能表示“OC是∠AOB的平分线”的是 (D) 图3 A.∠AOC=∠BOC B.∠AOC=∠AOB C.∠AOB=2∠BOC D.∠AOC+∠BOC=∠AOB 【题型探究】 类型一　与角平分线有关的计算 例1 (教材例2针对训练)如图4所示,OC是∠AOD的平分线,OE是∠BOD的平分线. (1)若∠AOB=140°,求∠COE的度数; (2)在(1)的条件下,若∠COD=20°,求∠BOE的度数. 图4 　　解:(1)∠COE=∠COD+∠DOE=∠AOD+∠BOD=(∠AOD+∠BOD)=∠AOB=70°. (2)由(1)知∠COE=70°, 因为∠COD=20°, 所以∠DOE=50°. 因为OE是∠BOD的平分线, 所以∠BOE=∠DOE=50°. 【归纳总结】 与角平分线有关的计算的“三点注意”: (1)要灵活应用角平分线的三种表达方式,不要一味地想到“等”,还要想到“倍”或“分”; (2)注意转化,即用已知代替未知,将未知转化为已知; (3)灵活运用整体方法,不要着眼于局部. 类型二　角度计算中的分类讨论 例2 (教材补充例题)已知∠AOB=40°,过点O作射线OC(不同于OA,OB),满足∠AOC=∠BOC,求∠AOC的度数. 解:如图①,若射线OC在∠AOB的内部, 设∠BOC=x°, 则∠AOC=°,x+x=40,解得x=25,x=15,所以∠AOC=15°. 如图②,若射线OC在∠AOB的外部, 设∠BOC=x°,则∠AOC=°,x-x=40, 解得x=100,x=60,所以∠AOC=60°. 综上所述,∠AOC的度数为15°或60°. 【归纳总结】 本题结合了分类讨论思想和方程思想,当角与角之间的数量关系较多时,可以通过设未知数,理清数量之间的关系,然后建立方程求解. 用同一副三角尺你能画出多少个小于平角的角?将你画出的这些角进行分类. 解:由一副三角尺能画出11个角,分别是15°,30°,45°,60°,75°,90°,105°,120°,135°,150°,165°.这11个角中,锐角有5个:15°,30°,45°,60°,75°;直角有1个:90°;钝角有5个:105°,120°,135°,150°,165°. 【学以致用】 1．已知∠AOB＝70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC＝42°，则∠BOC的度数为(　C　) A．28° B．112° C．28°或112° D．38°或112° 【解析】 如答图，当点C在∠AOB内部时，∠BOC1＝∠AOB－∠AOC1＝70°－42°＝28°； 第1题答图 当点C在∠AOB外部时，∠BOC2＝∠AOB＋∠AOC2＝70°＋42°＝112°. 综上所述，∠BOC的度数为28°或112°. 2．如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝140°，则∠BOC的度数为(　B　) 第2题图 A．30° B．40° C．45° D．50° 【解析】 ∵∠AOD＝140°，∠AOC＝90°， ∴∠COD＝∠AOD－∠AOC＝50°. 又∵∠BOD＝90°， ∴∠BOC＝90°－50°＝40°. 3．一副三角尺按如图所示的方式摆放，若∠1的度数比∠2的度数大50°，则∠1的度数为　(　C　) 第3题图 A．50° B．60° C．70° D．80° 4．如图，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕．若BD为∠A′BE的平分线，则∠CBD的度数为__90__°. 第4题图 【解析】 由题意，得∠CBD＝∠CBA′＋∠A′BD＝∠ABA′＋∠A′BE ＝∠ABE＝90°. 5．以∠AOB的顶点O为端点引射线OP，使得∠AOP∶∠BOP＝3∶2，如果∠AOB＝20°，那么∠AOP的度数为__12°或60°__(本题中所有的角都小于平角)． 【解析】 当射线OP在∠AOB的内部时，如答图1. 设∠AOP＝3x，则∠BOP＝2x. ∵∠AOB＝∠AOP＋∠BOP＝5x＝20°，解得x＝4°， ∴∠AOP＝12°； 第5题答图 当射线OP在∠AOB的外部时，如答图2. 设∠AOP＝3y，则∠BOP＝2y. ∵∠AOP＝∠AOB＋∠BOP，∠AOB＝20°， ∴3y＝20°＋2y，解得y＝20°， ∴∠AOP＝60°. 综上所述，∠AOP的度数为12°或60°. 6．如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，求∠AOB的度数． 第6题图 解：设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x， ∴∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝3x. 又∵OD平分∠AOB， ∴∠AOD＝1.5x， ∴∠COD＝∠AOD－∠AOC＝0.5x＝20°，解得x＝40°， ∴∠AOB＝120°. 7．如图，O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC. (1)若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数． (2)若∠AOC＝α，则∠DOE＝__α__(用含α的代数式表示)． 第7题图 解：(1)∵∠AOC＝40°， ∴∠BOC＝180°－∠AOC＝140°. 又∵OE平分∠BOC， ∴∠COE＝∠BOC＝×140°＝70°. 又∵∠COD＝90°， ∴∠DOE＝∠COD－∠COE＝90°－70°＝20°. (2)∵∠AOC＝α， ∴∠BOC＝180°－∠AOC＝180°－α. 又∵OE平分∠BOC， ∴∠COE＝∠BOC＝(180°－α)＝90°－α. 又∵∠COD＝90°， ∴∠DOE＝∠COD－∠COE＝90°－＝α. 8．[运算能力]已知在同一平面内，∠AOB＝90°，∠AOC＝60°. (1)∠BOC＝__30°或150°__. (2)若OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，则∠DOE的度数为__45__°. (3)在(2)的条件下，将题目中的∠AOC＝60°改成∠AOC＝2α(α＜45°)，其他条件不变，你能求出∠DOE的度数吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由． 解：(3)分两种情况讨论： ①当OC在∠AOB的内部时，如答图1. ∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC， ∴∠COD＝∠BOC，∠COE＝∠AOC， ∴∠DOE＝∠COD＋∠COE ＝∠BOC＋∠AOC ＝∠AOB ＝45°； 第8题答图 ②当OC在∠AOB的外部时，如答图2. ∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC， ∴∠COD＝∠BOC，∠COE＝∠AOC， ∴∠DOE＝∠COD－∠COE ＝∠BOC－∠AOC ＝∠AOB ＝45°. 综上所述，∠DOE的度数为45°. 学科网（北京）股份有限公司 $$