5.2　等式的基本性质 课件 2024-2025学年浙教版数学七年级上册

第5章　一元一次方程 5.2　等式的基本性质 学习目标　1.理解并掌握等式的基本性质，会利用等式的基本性质将等式变形. 2.会依据等式的基本性质将方程变形，求出方程的解. 掌握重点　等式的基本性质. 突破难点　利用等式的基本性质将方程变形求解. 内容索引 新知学习 典例精析 课时作业 3 新知学习 4 等式的性质1　等式的两边都加上(或都减去)同一个数或式，所得结果仍是等式，用字母可以表示为：如果a＝b，那么a±c＝b±c. 等式的性质2　等式的两边都乘或都除以同一个数或式(除数不能为0)，所得结果仍是等式，用字母可以表示为：如果a＝b，那么ac＝bc，或＝ 知识点　等式的基本性质 5 自我检测 1.已知等式a＝b，那么下列变形不正确的是(　　) A.a＋2＝b＋2 B.－3a＝－3b D 答案 2.下列运用等式性质对等式进行变形，正确的是(　　) A.由 ＝0，得x＝4 B.由－2x＝6，得x＝3 C.由x－1＝3，得x＝4 D.由x＝2x，得x＝2 C 答案 返回 典例精析 8 例1　(教材补充例题)已知2a－4b＝0，判断下列等式是否成立，并说明理由. (1)2a＝4b. (2)a＝2b. 解　成立.理由：已知2a－4b＝0，两边都加上4b， 得2a－4b＋4b＝0＋4b(等式的性质1)， ∴2a＝4b. 解　成立.理由：在2a＝4b两边同时除以2，得a＝2b(等式的性质2). 类型1　 等式的变形 妥 归纳总结　利用等式基本性质进行等式恒等变形的“三点注意”： (1)等式的以上两个性质中，等式两边都要参加运算，并且是同一种运算，要加都加，要减都减等；(2)等式的以上两个性质中，等式两边加上(减去)、乘(除以)的数一定是同一个数；(3)等式的性质2中除以的数或式，必须是不为0的同一个数或式. 例2　(教材例2针对训练)利用等式的性质解下列方程. (1)3x＝20＋2x. 解　方程的两边都减去2x，得3x－2x＝20＋2x－2x. 合并同类项，得x＝20. 类型2　 利用等式的性质解一元一次方程 解 (2)6－2x＝7－4x. 解　方程两边都加上4x，得6－2x＋4x＝7－4x＋4x. 合并同类项，得6＋2x＝7. 两边都减去6，得2x＝1. 解 解 归纳总结　解方程的基本思路是根据等式的性质，把方程变形为“x＝a(a为已知数)”的形式，等式的性质是方程变形的依据. 例3　(教材补充例题)若3b＋2a－1＝3a＋2b，试根据等式的性质比较a与b的大小. 解　方程两边同时减去2b，得3b＋2a－1－2b＝3a＋2b－2b. 合并同类项，得b＋2a－1＝3a. 方程两边同时减去3a，得b＋2a－1－3a＝3a－3a. 合并同类项，得b－a－1＝0. 方程两边同时加上1，得b－a－1＋1＝0＋1. 合并同类项，得b－a＝1>0.所以b>a. 类型3　 利用等式性质比较大小 解 归纳总结　求差法：如果a－b>0，那么a>b；如果a－b<0，那么a<b；如果a－b＝0，那么a＝b.运用求差法比较大小的一般步骤：(1)作差；(2)判断差的符号；(3)确定大小. 小结与反思 小结 两边乘3，得x＝15.……第三步 上面的解法从哪一步开始出现错误？请你加以改正. 反思 解 解　第一步开始出现错误. 返回 两边乘3，得x＝27. 课时作业 20 1.(2018·长春)已知等式3a＝2b＋5，则下列等式不一定成立的是(　　) A.3a－5＝2b B.3a＋1＝2b＋6 C.3ac＝2bc D.a＝ C 解析　A.3a＝2b＋5，等式两边同时减去5得：3a－5＝2b，故A项正确； B.3a＝2b＋5，等式两边同时加上1得：3a＋1＝2b＋6，故B项正确； C.3a＝2b＋5，等式两边同时乘c得：3ac＝2bc＋5c，故C项错误； D.3a＝2b＋5，等式两边同时除以3得：a＝ ，故D项正确. 故选C. 基础达标 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2.下列由等式的性质进行的变形，错误的是(　　) A.如果a＝3，那么 B.如果a＝3，那么a2＝9 C.如果a＝3，那么a2＝3a D.如果a2＝3a，那么a＝3 D 答案 解析 解析　A.如果a＝3，那么 ，正确，故A不符合题意； B.如果a＝3，那么a2＝9，正确，故B不符合题意； C.如果a＝3，那么a2＝3a，正确，故C不符合题意； D.如果a＝0，两边都除以a，无意义，故D符合题意. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3.运用等式性质将等式x＋2＝y－3变形，可得y－x等于(　　) A.－5 B.1 C.5 D.－1 C 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4.(2019·武邑)下列等式变形：①如果x＝y，那么ax＝ay；②如果x＝y，那么 ；③如果ax＝ay，那么x＝y；④如果 ，那么x＝y.其中正确的 是(　　) A.①④ B.③④ C.①② D.②③ A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析 答案 18 解析　①x＝y，等式两边同时乘a得：ax＝ay，即①正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ③ax＝ay，若a＝0，则x不一定等于y，即③错误； 即正确的是①④. 故选A. 5.(2018·南京)如图，“●、■、▲”分别表示三种不同的物体.已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡.如果在“？”处只放“■”，那么应放“■”(　　) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 答案 解析 18 C 解析　根据图示可得， 2×●＝▲＋■，① ●＋■＝▲，② 由①，②可得， ●＝2■，▲＝3■， ∴●＋▲＝2■＋3■＝5■. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 6.如果3a＋2b＝1，且3a＋2b－c＝0，那么c的值为(　　) A.－1 B.1 C.0 D.2 B 解析　根据题意，得3a＋2b－(3a＋2b－c)＝1－0. 即c＝1. 故选B. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7.由5x＝4x＋5得5x－4x＝5，在此变形中，方程两边同时加上了______. －4x 解析　由5x＝4x＋5得5x－4x＝5，此变形为5x－4x＝4x＋5－4x，方程两边同时加上了－4x. 故答案为－4x. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8.用适当的数或式子填空，使所得的结果仍是等式，并说明依据的等式性质以及变形的过程. 若2x＋7＝10，则2x＝10－7.______________________________________ ___________. 若5x＝4x＋3，则5x－4x＝3.______________________________________ ___________. 若a≠0，ax＝b，则x＝___________________________________________ _________________________. 根据等式的性质1，等式的两边同时减去7， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 等式仍成立 根据等式的性质1，等式的两边同时减去4x， 等式仍成立 ，根据等式的性质2，等式的两边同时除以同一 个不为0的数a，等式仍成立 若－3x＝－18，则x＝____________________________________________ ___________________. 如果 那么2x＋1＝_______________________________________ ____________. 6，根据等式的性质2，等式的两边同时除以同一个 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数－3，等式仍成立 4，根据等式的性质2，等式的两边同时乘10， 等式仍成立 9.将等式3x－2y＝7变形成用含y的代数式表示x＝________. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析　两边都加2y，得 3x＝2y＋7， 两边都除以3，得 10.(2018·深圳)将等式3a－2b＝2a－2b变形，过程如下：因为3a－2b＝2a－2b，所以3a＝2a(第一步)，所以3＝2(第二步)，上述过程中，第一步的根据是__________________，第二步得出了明显错误的结论，其原因是___________________. 等式的基本性质1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 没有考虑a＝0的情况 11.(8分)利用等式的性质解下列方程. (1)5x－7＝3. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解　5x－7＝3， 方程两边都加上7，得5x－7＋7＝3＋7， 即5x＝10， 方程两边都除以5，得5x÷5＝10÷5， 即x＝2. (2)－3x＋6＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解 解　－3x＋6＝8， 方程两边都减去6，得－3x＋6－6＝8－6，即－3x＝2， 方程两边都除以－3，得－3x÷(－3)＝2÷(－3)， (4)0.2m－1＝2.4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解 方程两边都乘2，得y＋2＝6， 方程两边都减去2，即y＝4. 解　0.2m－1＝2.4， 方程两边都加上1，得0.2m－1＋1＝2.4＋1， 即0.2m＝3.4， 方程两边都乘5，得0.2m×5＝3.4×5，即m＝17. 12.已知5x2－5x－3＝7，利用等式的性质，求x2－x的值. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解　5x2－5x－3＝7， 根据等式的性质1，两边同时加上3，得 5x2－5x－3＋3＝7＋3， 即5x2－5x＝10， 根据等式的性质2，两边同时除以5，得 即x2－x＝2. 13.(2018·武汉)下列变形中，正确的是(　　) A.若a＝b，则 B.若ac＝bc，则a＝b C.若ab2＝b3，则a＝b D.若 则a＝b D 答案 解析 能力提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析　A.没有此性质，故选项错误； B.当c＝0时，则a可以不等于b，故选项错误； C.当b＝0时，a可以为任意数，故选项错误； D.正确. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 即m－n>0， 即m>n. 故选A. 14.(2018·昆明)已知2m－1＝2n，利用等式的性质比较m，n的大小是(　　) A.m>n B.m＜n C.m＝n D.无法确定 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 答案 解析 18 15.阅读下列解题过程，指出它错在了哪一步？为什么？ 2(x－1)－1＝3(x－1)－1. 两边同时加上1，得2(x－1)＝3(x－1)， 第一步 两边同时除以(x－1)，得2＝3. 第二步. 解　解题过程第二步出错，理由为：方程两边不能同时除以x－1，x－1可能为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 18 16.(a－2)x2＋ax＋1＝0是关于x的一元一次方程，利用等式的性质，求这个方程的解. 解　∵(a－2)x2＋ax＋1＝0是关于x的一元一次方程， ∴a－2＝0，a≠0，∴a＝2， 把a＝2代入得：方程为2x＋1＝0， 两边都减去1，得2x＋1－1＝0－1， 即2x＝－1， 两边都除以2，得x＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 18 17.已知梯形的面积公式为S＝ (1)把上述的公式变形成已知S，a，b，求h的公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 18 ∴2S＝(a＋b)h， (2)若a∶b∶S＝2∶3∶4，求h的值. 解　∵a∶b∶S＝2∶3∶4， ∴设a＝2x，b＝3x，S＝4x， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 18 18.阅读下列材料： 小明的探究过程如下： 素养提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 10x＝8＋x， ⑤ 9x＝8， ⑥ 根据以上信息，回答下列问题： (1)从步骤①到步骤②，变形的依据是____________；从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是________________________. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解　从步骤①到步骤②，变形的依据是：等式的性质2：等式两边都乘或除以同一个数或式(除数不能为0)，所得结果仍是等式. 从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是：等式的性质1：等式两边都加上(或都减去)同一个数或式子，所得结果仍是等式 故答案为：(1)等式的性质2：等式两边都乘或除以同一个数或式(除数不能为0)，所得结果仍是等式. 等式的性质1：等式两边都加上(或都减去)同一个数或式子，所得结果仍是等式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (2)仿照上述探求过程，请你将 表示成分数的形式. 答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 100x＝36＋x， 99x＝36， 本课结束 ＝(c≠0). C.＝ D.＝ 两边都除以2，得x＝. 合并同类项，得x＋12＝0. 两边都减去12，得x＋12－12＝0－12. 合并同类项，得x＝－12. 两边都乘4，得×4×x＝－12×4，即x＝－48. (3)6＋x＝x－6. 解　方程两边都加上6，得6＋x＋6＝x－6＋6. 合并同类项，得x＋12＝x. 两边都减去x，得x－x＋12＝x－x. 解方程：x－4＝5. 解　方程两边加4，得x－4＋4＝5.……第一步 整理，得x＝5.……第二步 改正：方程两边加4，得x－4＋4＝5＋4. 整理，得x＝9. ＋ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ②x＝y，若a＝0，则和无意义，即②错误； ④＝，等式两边同时乘a得：x＝y，即④正确； ＝， x＝. 即x＝－. (3)(y＋2)＝3. 解　(y＋2)＝3， ＝， ＝ ＝， 解析　等式两边同时除以2，得m－＝n， 等式两边同时减去n，得m－n－＝0， 等式两边同时加上，得m－n＝， －. . 解　∵S＝， ∴h＝； ∴h＝＝＝. 问题：怎样将0.表示成分数？ 设x＝0.， ① 10x＝10×0.， ② 10x＝8.， ③ 10x＝8＋0.， ④ x＝， ⑦ 0. 解　设0.＝x， 100x＝100×0.， 100x＝36.， x＝. $$