精品解析：江苏省扬州市邗江区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年第二学期八年级数学学科期末考试试卷 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各项调查中，最适合采用普查方式的是（ ） A. 全市居民每周收看新闻联播次数的调查 B. 全市初中生每天运动时间的调查 C. 全班学生身高的调查 D. 某品牌节能灯使用寿命的调查 3. 下列各式，是最简分式的是（　 　） A. B. C. D. 4. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯 B. 从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球 C. 班里的两名同学，他们的生日是同一天 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 5. 下列说法正确的是（ ） A. 一组邻边相等的平行四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 顺次连接任意四边形的各边中点得到的四边形一定是平行四边形 6. 如图，平面直角坐标系中有以下四个点：，，，.若函数的图象经过其中一点，其中k的值最大为（ ） A. B. 1 C. 6 D. 8 7. 如图，平行四边形中，E,F分别在边，上，，，若，的长为（　　） A. 10 B. C. 9 D. 6 8. 如图，点O为坐标原点，菱形的边在x轴的正半轴上，对角线交于点D，反比例函数的图象经过点A和点D，若菱形的面积为6，则为（　　 ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 6 二、填空题（每小题3分，共30分） 9. 二次根式有意义，则x的取值范围是______． 10. 一枚质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1~6的点数，抛掷这枚骰子向上一面点数是2的倍数的可能性________向上一面点数是3的倍数的可能性（填“＞”、“＜”或“＝”） 11. 某中学数学教研组有40名教师，将他们按年龄分组，在岁组内的教师有8名教师，那么这个小组的频率是 _________． 12. 若分式的值为零，则x的值是______． 13. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则______． 14. 如图，在中，平分，交边于E，，，则的长为 _______． 15. 如图，点A、D分别在函数的图像上，点B、C在x轴上，且．若四边形为矩形，点D在第一象限，则______． 16. 解关于的方程有增根，则的值为___________ 17. 已知、是反比例函数图像上两点，且，则m的取值范围为______． 18. 如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是AD边上的动点，连接CE，将CE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF，则BF的最小值为 _________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1） ； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 4月23日是世界读书日．为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）． 被抽查学生最喜欢的书籍种类的 条形统计图 被抽查学生最喜欢的书籍种类的 扇形统计图 请根据图中信息解答下列问题： （1）被抽查的学生人数为 ，扇形统计图中 ； （2）请将条形统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上） （3）扇形统计图中艺术类所对的圆心角度数为 °； （4）若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数． 23. 某漆器厂接到制作640件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多60%，结果提前6天完成任务，原来每天制作多少件？ 24. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若菱形中，，则的长为 ． 25. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图象如图所示．当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）点A的注意力指标数是_________； （2）当时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式； （3）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于？请说明理由． 26. 如图，已知，点C在射线上，点D，E在射线上，其中，四边形是平行四边形． （1）请只用无刻度的直尺画出菱形，保留作图痕迹，并说明理由． （2）作出（1）中菱形后，若点P是边上一动点，点Q是菱形对角线上一动点，则的最小值为 ． 27. 类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． （1）【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． （2）【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 28. 在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图像，两个函数图像交于两点，在线段上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图像于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题： （1）设点P的横坐标为x，的长度为y，则y与x之间的函数关系式为 ； （2）为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图像： ①列表： x 1 2 3 4 6 9 y 0 m 4 n 0 表中 ， ； ②描点连线：根据上表中的数据，在图2中描出各点，并画出该函数的图像； ③观察图2中函数图像，当 时，y的最大值为 ． （3）已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数，求m取最大值时矩形的对角线长； （4）如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数 第一象限图像上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．直接写出四边形面积的最小值 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期八年级数学学科期末考试试卷 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义，逐个进行判断即可．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：根据题意可得： 是中心对称图形的是“”， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是掌握中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 2. 下列各项调查中，最适合采用普查方式的是（ ） A. 全市居民每周收看新闻联播次数的调查 B. 全市初中生每天运动时间的调查 C. 全班学生身高的调查 D. 某品牌节能灯使用寿命的调查 【答案】C 【解析】 【分析】在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就会受到限制，这时应选择抽样调查． 【详解】A：全市居民每周收看新闻联播次数的调查适合抽样调查，此项不符合题意； B：全市初中生每天运动时间的调查适合抽样调查，此项不符合题意； C：全班学生身高的调查适合全面调查，此项符合题意； D：某品牌节能灯使用寿命的调查适合抽样调查，此项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查抽样调查和全面调查的区别，选择普查和抽样调查要根据考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往采用全面调查． 3. 下列各式，是最简分式的是（　 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查最简分式，解题的关键是掌握一个分式的分子与分母没有公因式时，这个分式叫最简分式．根据最简分式的定义进行分析判断． 【详解】解：A、该分式的分子与分母没有公因式，是最简分式，符合题意； B、 ， 该分式不是最简分式，不符合题意； C、 ， 该分式不是最简分式，不符合题意； D、 ， 该分式不是最简分式，不符合题意； 故选：A 4. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯 B. 从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球 C. 班里的两名同学，他们的生日是同一天 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】B 【解析】 【分析】根据不可能事件的定义，逐个判断，即可． 【详解】A．经过红绿灯路口，遇到绿灯，可能发生，不合题意； B．一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球，不可能发生，属于不可能事件，符合题意； C．班里的两名同学，他们的生日是同一天，可能事件，不合题意； D．射击运动员射击一次，命中靶心，可能事件，不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查随机事件的知识，解题的关键是熟练掌握不可能事件的性质． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 一组邻边相等的平行四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 顺次连接任意四边形的各边中点得到的四边形一定是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位线的性质，正方形，菱形，矩形和平行四边形的判定方法，根据正方形，菱形，矩形和平行四边形的判定方法逐一判断即可，解题的关键是熟练掌握判定定理． 【详解】解：A．一组邻边相等的平行四边形是菱形，故该选项不正确，不符合题意； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该选项不正确，不符合题意； C．对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项不正确，不符合题意； D．顺次连接任意四边形的各边中点得到的四边形一定是平行四边形，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图，平面直角坐标系中有以下四个点：，，，.若函数的图象经过其中一点，其中k的值最大为（ ） A. B. 1 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式．把个点分别代入，求得的值即可判断． 【详解】解：当函数的图象经过点时，； 当函数的图象经过点时，； 当函数的图象经过点时，； 当函数的图象经过点时，； 所以的最大值为6， 故选：C． 7. 如图，平行四边形中，E,F分别在边，上，，，若，的长为（　　） A. 10 B. C. 9 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】过点B作于H，证明四边形为矩形，由矩形的性质得出，，由勾股定理可得出答案． 【详解】解：过点B作于H， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形为矩形， ， ， ， 故选：A 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 8. 如图，点O为坐标原点，菱形的边在x轴的正半轴上，对角线交于点D，反比例函数的图象经过点A和点D，若菱形的面积为6，则为（　　 ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用，设，，中点坐标公式求出，根据点D在反比例函数图象上，以及菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：设，， ∵菱形， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共30分） 9. 二次根式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，据此得到，即可求出答案． 【详解】解：∵次根式有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 10. 一枚质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1~6的点数，抛掷这枚骰子向上一面点数是2的倍数的可能性________向上一面点数是3的倍数的可能性（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】共有6种等可能的结果数，其中点数是2的倍数有2、4、6，点数是3的倍数有3、6，从而利用概率公式可求出向上的一面出现的点数是2的倍数和3的倍数的概率．比较即可． 【详解】解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是2的倍数的有2、4、6，点数是3的倍数有3、6， 故骰子向上的一面出现的点数是2的倍数的概率是， 骰子向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是， 所以抛掷这枚骰子向上一面点数是2的倍数的可能性大于向上一面点数是3的倍数的可能性． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=． 11. 某中学数学教研组有40名教师，将他们按年龄分组，在岁组内的教师有8名教师，那么这个小组的频率是 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查频率、频数的关系，属于基础题，关键是掌握频率的求法：频率频数数据总数．根据频率的求法：频率=频数÷数据总数即可求解． 【详解】解：根据题意，岁组内的教师有8名， 即频数为8，而总数为40； 故这个小组的频率是． 故答案为：． 12. 若分式的值为零，则x的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得． 13. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方程求解． 【详解】解：∵， 根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式，同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 14. 如图，在中，平分，交边于E，，，则的长为 _______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据四边形是平行四边形，可知，推出，结合平分，可知，从而知道，从而计算出的长度． 【详解】解：四边形是平行四边形 ， 又平分 故答案为：10． 15. 如图，点A、D分别在函数的图像上，点B、C在x轴上，且．若四边形为矩形，点D在第一象限，则______． 【答案】-6 【解析】 【分析】利用反比例函数系数k的几何意义即可求得矩形COED的面积=3，由OB=2OC，即可得到矩形ABOE的面积=6，从而求得k=-6． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，点A、D分别在函数y= (k＜0)，y=的图象上， ∴矩形COED的面积=3， ∵OB=2OC， ∴矩形ABOE的面积=6， ∵点A在第二象限， ∴k=-6， 故答案为：-6． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 16. 解关于的方程有增根，则的值为___________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据分式方程增根的产生，即使其最简公分母为0，但适合其转化为的整式方程进行求解． 【详解】解：根据题意，得 该分式方程的增根是， 该分式方程转化为整式方程，得， 把代入，得． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，即适合分式方程转化为整式方程，但却使分式方程的最简公分母为0． 17. 已知、是反比例函数图像上两点，且，则m的取值范围为______． 【答案】-3＜m＜0 【解析】 【分析】利用反比例函数的增减性，利用每个象限内y随x的增大而减小进而得出m的取值范围． 【详解】解：∵A（m，y1）、B（m+3，y2）是反比例函数图象上两点， ∴每个象限内y随x的增大而减小， ∵y1-y2＜0， ∴y1＜y2， ∴m＜m+3，且每个象限内y随x的增大而增大， 故m，m+3符号不同，则m＜0，m+3＞0时，解得：-3＜m＜0， 故答案为：-3＜m＜0． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的增减性，利用反比例函数的增减性性质得出是解题关键． 18. 如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是AD边上的动点，连接CE，将CE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF，则BF的最小值为 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，由旋转的性质可得，，由“AAS”可证，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，过点F作直线于H， ∴， ∵将绕点E逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 当时，BF的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解； （2）先根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 20. 解方程： （1） ； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的求解能力： （1）方程两边同乘以得整式方程，再求解，检验即可； （2）方程两边同乘以得整式方程，再求解，检验即可； 【小问1详解】 解：， 方程两边同乘以得：， 解得，， 检验：当时，最简公分母， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解： 方程两边同乘以得： 解得， 经检验，是增根， ∴原方程无解 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：原式 . 当时，原式. 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 22. 4月23日是世界读书日．为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）． 被抽查学生最喜欢的书籍种类的 条形统计图 被抽查学生最喜欢的书籍种类的 扇形统计图 请根据图中信息解答下列问题： （1）被抽查的学生人数为 ，扇形统计图中 ； （2）请将条形统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上） （3）扇形统计图中艺术类所对的圆心角度数为 °； （4）若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数． 【答案】（1）200， （2） 补充条形统计图如图所示； （3）36 （4）360 【解析】 【分析】（1）根据其他类的人数除以其所占的百分比求得样本总人数，再利用科技类的人数除以样本总人数即可求得的值； （2）先利用样本总人数减去其他种类的人数求得艺术类的人数，再作图即可； （3）先利用艺术类的人数除以样本总数求得其所占的百分比，再乘以即可求解； （4）先利用文学类的人数除以样本总数求得其所占百分比，再乘以全校人数即可求解． 【小问1详解】 解：由图可得，（人），， 故答案为：200，； 【小问2详解】 解：艺术类的人数为：（人）； 【小问3详解】 解：由图可得，， 故答案为：36； 【小问4详解】 解：由图可得，(人）， 答：估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数为360人． 【点睛】本题考查用样本估计总体，求扇形统计图圆心角度数，频数、频率和总数，条形统计图与扇形统计图，利用频数、频率和总数的公式求得样本总数是解题的关键． 23. 某漆器厂接到制作640件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多60%，结果提前6天完成任务，原来每天制作多少件？ 【答案】原来每天制作40件 【解析】 【分析】设原来每天制作件，由“该厂实际每天制作的件数比原来每天多60%，结果提前6天完成任务”列出分式方程，解分式方程即可得到答案． 【详解】解：设原来每天制作件， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是所列方程的解， 答：原来每天制作40件． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，读懂题意，正确列出分式方程是解题的关键． 24. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若菱形中，，则的长为 ． 【答案】（1） 证明：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质，矩形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据菱形性质得，则，再根据可判定四边形为平行四边形，然后根据即可得出结论； （2）根据菱形及矩形的性质得，然后在中由勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵菱形中，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴在中，， 由勾股定理得：， 故答案为：． 25. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图象如图所示．当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）点A的注意力指标数是_________； （2）当时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式； （3）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，掌握待定系数法是解题关键． （1）设的解析式为：，将代入即可求解； （2）当时，设的解析式为，代入两点的坐标即可求解； （3）分别求解当时，；当时，；即可判断； 【小问1详解】 解：设的解析式为：， 由得， ∴， 由图可知：点A的注意力指标数是． 【小问2详解】 解：当时，设的解析式为， ∴， ∴． ∴． 【小问3详解】 解：张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于． 理由：当时，，解得； 当时，反比例函数解析为， 当时，，解得． ∴当时，注意力指标数都不低于． 而， ∴张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于． 26. 如图，已知，点C在射线上，点D，E在射线上，其中，四边形是平行四边形． （1）请只用无刻度的直尺画出菱形，保留作图痕迹，并说明理由． （2）作出（1）中菱形后，若点P是边上一动点，点Q是菱形对角线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】（1）四边形就是所求作的图形， （2） 【解析】 【分析】（1）连结，交于点G，作射线，交于点N，连结，根据平行四边形的对角线互相平分，可知，然后证明，可得，由此可证四边形是平行四边形，进一步推得四边形是菱形； （2）连结，，过点D作于点H，根据菱形的性质可知垂直平分，即得，所以，当点P在点H处，且点Q在上时，取最小值，最小值为的长，再求出的长，即得答案． 【小问1详解】 连结，交于点G，作射线，交于点N，连结； 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； 【小问2详解】 连结，，过点D作于点H， 四边形是菱形， 垂直平分， ， ， 当点P在点H处，且点Q在上时，取最小值，最小值为的长， ，， 是等边三角形， ， ， ， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，几何作图，线段垂直平分线的性质及轴对称的性质等知识，利用平行四边形的对角线互相平分作图及轴对称的性质是解题的关键． 27. 类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． （1）【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． （2）【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1），3，3 （2）①无解 ②不能，理由： 若代数式的值等于7，即， 移项，得， 两边同时平方，得， 化简，得， 两边同时平方，得， ∴该方程无解， ∴代数式的值不能等于7． 【解析】 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． （1）根据题意可直接进行求解； （2）①先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； ②先设，根据题意中的方法解该方程，根据方程的解的情况即可解答． 【小问1详解】 解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． 【小问2详解】 解：① 移项，得 去根号，两边同时平方得， 即 解得：， 检验：时，方程左边右边， ∴不是原方程的解，原方程无解； ②略 28. 在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图像，两个函数图像交于两点，在线段上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图像于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题： （1）设点P的横坐标为x，的长度为y，则y与x之间的函数关系式为 ； （2）为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图像： ①列表： x 1 2 3 4 6 9 y 0 m 4 n 0 表中 ， ； ②描点连线：根据上表中的数据，在图2中描出各点，并画出该函数的图像； ③观察图2中函数图像，当 时，y的最大值为 ． （3）已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数，求m取最大值时矩形的对角线长； （4）如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数 第一象限图像上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．直接写出四边形面积的最小值 ． 【答案】（1） （2）①，； ②如图所示， ③3，4 （3） （4） 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查了函数的图象与性质，函数图象的画法等知识，利用数形结合思想是解题的关键． （1）表示出点P、Q的坐标，从而得出y与x的函数解析式； （2）①将和，分别代入（1）中函数解析式即可；②③通过描点、连线，观察图象可得答案； （3）①将代入 中，得出m关于n的函数解析式，再根据（2）中结论求出最大值，从而解决问题． ②先求出点A，点B坐标，设点，可求，由四边形面积列式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点P的横坐标为x, ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①当时，， 当时，， 故答案为：3.5，2.5； ②略 ③观察函数图象，当时，y有最大值为4， 故答案为：3，4； 【小问3详解】 解：根据题意可得代入中，可以得到， 即， 由（2）可知函数，在时，y取得最大值为4， ∴当时，，即m取得最大值6， ∵， ∴在m取得最大值8时，矩形的对角线长为． 【小问4详解】 解：∵直线与坐标轴分别交于点A、B， ∴点，点， 设点， ∴点，点， ∴，， ∵四边形面积 即四边形面积的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $