4.6 函数的应用(二) 课时练习-2024--2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

4.6 函数的应用(二) 一、选择题 1.国家速滑馆又称“冰丝带”,是北京2022年冬奥会的标志性场馆,拥有亚洲最大的全冰面设计,但整个系统的碳排放接近于零,做到了真正的智慧场馆､绿色场馆,并且为了倡导绿色可循环的理念,场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统,已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系(为最初污染物数量).如果前3个小时消除了的污染物,那么污染物消除至最初的还要( ) A.2.6小时 B.3小时 C.3.2小时 D.4小时 2.大西洋鲑鱼每年都要逆游而上,游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位:)可以表示为,其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为300,则一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为( ) A.100 B.900 C.1200 D.8100 3.国家速滑馆又称“冰丝带”,是北京年冬奥会的标志性场馆,拥有亚洲最大的全冰面设计,但整个系统的碳排放接近于零,做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念,场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量与时间t的关系为(为最初污染物数量).如果前4小时消除了的污染物,那么污染物消除至最初的还需要( )小时. A.3.6 B.3.8 C.4 D.4.2 4.酒驾严重危害交通安全.为了保障交通安全,交通法规定:机动车驾驶人每血液中酒精含量达到为酒后驾车,及以上为醉酒驾车,若某机动车驾驶员饮酒后,其血液中酒精含量上升到了.假设他停止饮酒后,其血液中酒精含量以每小时的速度减少,则他能驾驶需要的时间至少为(精确到0.001.参考数据:,)( ) A.7.963小时 B.8.005小时 C.8.022小时 D.8.105小时 5.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解.例如,地震释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为.据此推断里氏8.0级地震所释放的能量是里氏5.0级地震所释放的能量的_倍( ) A. B. C. D. 6.中国5G技术领先世界,其数学原理之一便是著名的香农公式:,它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中叫做信噪比,按照香农公式,若不改变带宽W,而将信噪比从1000提升至5000,则C大约增加了( ). A.20% B.23% C.28% D.50% 7.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为的星的亮度为(,2).已知太阳的星等是,天狼星的星等是,则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A. B.10.1 C.lg10.1 D. 8.大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记p为实际声压,通常我们用声压级(单位:分贝)来定义声音的强弱,声压级与声压p存在近似函数关系:,其中a为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内,测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的100倍,且穿硬底鞋走路的声压级为分贝,恰为穿软底鞋走路的声压级的3倍.若住宅区夜间声压级超过50分贝即扰民,该住宅区夜间不扰民情况下的声压为,则( ) A., B., C., D., 二、多项选择题 9.图1是某景点游客人数x(万人)与收支差额y(十万元)(门票销售额减去投人的成本费用)的函数图象,为提高收入,景点采取了两种措施,图2和图3中的虚线为采取了两种措施后的图象,则下列说法正确的是( ) A.图1中点A的实际意义表示该景点的投入的成本费用为10万元 B.图1中点B的实际意义表示当游客人数约为1.5万人时,该景点的收支恰好平衡 C.图2景点实行的措施是降低门票的售价 D.图3景点实行的措施是减少投入的成本费用 10.如图,某湖泊的蓝藻的面积y(单位:)与时间t(单位:月)的关系满足,则下列说法正确的是( ) A.蓝藻面积每个月的增长率为 B.蓝藻每个月增加的面积都相等 C第6个月时,蓝藻面积就会超过 D.若蓝藻面积蔓延到,,所经过的时间分别是,,则一定有 11.某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y,观影人数记为x,y关于x的函数图像如图(1)所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图(2)、图(3)中的实线分别为调整后y关于x的函数图像.给出下列四种说法,其中正确的说法是( ) A.图(2)对应的方案是:提高票价,并提高固定成本 B.图(2)对应的方案是:保持票价不变,并降低固定成本 C.图(3)对应的方案是:提高票价,并保持固定成本不变 D.图(3)对应的方案是:提高票价,并降低固定成本 12.某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型:若物体原来的温度为(单位:),环境温度为(,单位),物体的温度冷却到(,单位:)需用时t(单位:分钟),推导出函数关系为,k为正的常数.现有一壶开水(100)放在室温为20的房间里,根据该同学推出的函数关系研究这壶开水冷却的情况,则(参考数据:)( ) A.函数关系也可作为这壶外水的冷却模型 B.当时,这壶开水冷却到40大约需要28分钟 C.若,则 D.这壶水从100冷却到70所需时间比从70冷却到40所需时间短 三、填空题 13.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:)满足函数关系(为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在的保鲜时间为192小时,在的保鲜时间是48小时,则该食品在的保鲜时间是_小时. 14.某医用放射性物质原来的质量为a,每年衰减的百分比相同,当衰减一半时,所用的时间是10年.已知到今年为止,剩余的质量为原来的,则该放射物质已经衰减了_年. 15.某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度,他认为,成年男子身高160 及其以下不算高个子,其高个子系数k应为0;身高190 及其以上的是理所当然的高个子,其高个子系数k应为1,请给出一个符合该同学想法､合理的成年男子高个子系数k关于身高的函数关系式_. 16.某种动物的繁殖数量y(数量:只)与时间x(单位:年)的关系式为,若这种动物第1年有100只,则到第7年它们发展到_只. 四、解答题 17.溶液酸碱度的测量:溶液酸碱度是通过计量的.的计算公式为,其中表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.(溶液中越大,溶液的酸性就越强) (1)有两种溶液和溶液测得值分别为6和8,计算两种溶液中氢离子的浓度之比; (2)根据对数函数性质及上述的计算公式,说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系; (3)已知某矿泉水中氢离子的浓度为摩尔/升,计算该矿泉水的. 18.学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼,需要制定一个课余锻炼考核评分制度,建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位:分钟,)的函数关系式,要求如下: (1)函数的图象接近图示; (2)每天锻炼时间为0分钟时,当天得分为0分; (3)每天锻炼时间为9分钟时,当天得分为6分; (4)每天得分最多不超过12分. 现有以下三个函数模型供选择: ①;②;③. (1)请根据函数图像性质,结合题设条件,从中选择一个最合适的函数模型并求出解析式; (2)若学校要求每天的得分不少于9分,求每天至少锻炼多少分钟? (参考值:) 19.某个体户计划经销A,B两种商品,据调查统计,当投资额为万元时,在经销A,B商品中所获得的收益分别为万元与万元,其中,,,.已知每种商品投资额为0时该商品的收益为0. (1)求a,b的值; (2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品,请你帮他制定一个资金投入方案,使他能获得最大利润. 20.某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召,大力开展“青山绿水”工程.为加强污染治理,某工厂产生的废气需经过过滤后排放,已知在过滤过程中废气中的污染物浓度P(单位:)与过滤时间t(单位:h)之间的函数关系式为(为初始浓度,k,均为正常数).假设过滤过程中废气的体积不变. (1)若,求过滤2h后污染物的浓度与初始浓度的比值是多少; (2)若排放时污染物的浓度不超过初始浓度的4%,前4h的过滤过程中污染物已经被过滤掉了80%,求至少还需要过滤多少小时才能排放. 参考答案 1.答案:B 解析:由题意得,前3个小时消除了的污染物, 则,则, 则由,可得, 解得, 则污染物消除至最初的还要小时, 故选:B. 2.答案:D 解析:由题意可得,解得,所以. 令,解得8100. 故选:D. 3.答案:C 解析:由题意可得,可得,设, 可得,解得. 因此,污染物消除至最初的还需要4小时. 故选:C. 4.答案:C 解析:由已知得:,所以即,所以. 5.答案:D 解析:设里氏8.0级和里氏5.0级地震所释放的能量分别为和, 则,, 所以,则,即. 故选:D. 6.答案:B 解析:由题意,将信噪比从1000提升至5000, 则最大信息传递速率C从增加至, 所以. 故选:B. 7.答案:A 解析:两颗星的星等与亮度满足,令,, ,. 故选A. 8.答案:A 解析:由题意,得, 则,因此, ,则, ,则. 故选:A. 9.答案:ABD 解析:A:图1中A的实际意义表示游乐场的投入成本为10万元,正确; B:图1中B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时,游乐场的收支恰好平衡,正确; C:图2游乐场实行的措施是提高门票的售价,错误; D:图3游乐场实行的措施是减少投入的成本费用,正确. 故选:ABD 10.答案:ACD 解析:由图可知,函数图象经过, 即,则, ; 不是常数,则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍,则每个月的增长率为,A对、B错; 当时,,C对; 若蓝藻面积蔓延到,,所经过的时间分别是,, 则,,,则,即,则,D对; 故选:ACD. 11.答案:BC 解析:由图(1)可设y关于x的函数为,,,k为票价, 当时,,则为固定成本; 由图(2)知,直线向上平移,k不变,即票价不变,b变大,则变小,固定成本减小,故A错误,B正确; 由图(3)知,直线与y轴的交点不变,直线斜率变大,即k变大,票价提高,b不变,即不变,固定成本不变,故C正确,D错误; 故选:BC. 12.答案:BCD 解析:由,得,所以,整理得.A项错误;由题意可知.对于B项,,B项正确;由,得,即,则.C项正确;设这壶水从100冷却到70所需时间为分钟,则,设这壶水从70冷却到40所需时间为分钟,则,因为,所以,D项正确.故选BCD项. 13.答案:12 解析:由题意知,, 解得:,所以, 所以当时,. 故答案为:12. 14.答案:5 解析:设衰减的百分比为x,,由题意知,,解得,设经过m年剩余的质量为原来的,则,即,解得. 15.答案:,(只要写出的函数满足在区间上单调递增,且过点和即可.答案不唯一) 解析:由题意函数是上的增函数,设,, 由,解得,所以, 所以 故答案为: 注:在上设其他函数式也可以,只要是增函数,只有两个参数.如,等等. 16.答案:300 解析:由题意知,当时,可得. 17.答案:(1) (2)当溶液中氢离子的浓度增加时,溶液的PH值减小,当溶液中氢离子的浓度减小时,溶液的PH值增加. (3) 解析:(1)PH值为6时,摩尔/升;PH值为8时,摩尔/升, 所以溶液A和溶液B中氢离子的浓度之比为; (2)设,,则,是减函数,当溶液中氢离子的浓度增加时,溶液的值减小,当溶液中氢离子的浓度减小时,溶液的PH值增加. (3)某矿泉水中氢离子的浓度为摩尔/升, 则计算该矿泉水的. 18.答案:(1) (2)29.25 解析:(1)对于模型①:由题意,有得. , 当时,,不合题意, 对于模型②:的增长越来越快,图像越来越“陡峭”,不合题意. 对于模型③:由题意,有得, , 该函数图像增长符合题设图像要求. 当时, , 符合题意, 综上所述,最合适的模型是模型③,其解析式为. (2)由(1),令, 解得, 所以每天至少锻炼29.25分钟. 19、 (1)答案:, 解析:由每种商品投资额为0时该商品的收益为0, 可知,,解得,. (2)答案:当投入3万元经销A商品,2万元经销B商品时,可获得最大利润,利润的最大值为万元 解析:由(1)可得,. 设投入经销B商品的资金为万元,则投入经销A商品的资金为万元. 设所获得的总利润为万元, 则. ,令,得. 当时,,函数单调递增; 当时,,函数单调递减. 所以当时,函数取得极大值,也是最大值,. 所以当投入3万元经销A商品,2万元经销B商品时,可获得最大利润,利润的最大值为万元. 20.答案:(1) (2) 解析:(1)过滤2h后,, 所以污染物的浓度与初始浓度的比值是; 即污染物的浓度与初始浓度的比值是. (2)由题意知,前4h消除了80%的污染物, 又因为, 所以,得. 设废气中污染物的浓度为初始浓度的4%时所需过滤时间为, 由,即, 得,联立,得 ,所以, 故至少还需过滤才能排放. 学科网(北京)股份有限公司 $$