第15讲：指数函数（10大题型）-【初升高暑假衔接】2024-2025学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第15讲：指数函数 【考点归纳】 · 考点一、指数函数的概念 · 考点二、求指数函数的解析式、函数值 · 考点三、指数函数的图象及应用 · 考点四、指数型函数的定义域和值域 · 考点五、指数型函数的单调性求参数 · 考点六、比较大小 · 考点七、简单的指数不等式的解法 · 考点八、指数函数的应用 · 考点九、指数函数的最值问题 · 考点十、指数函数的综合 【知识梳理】 知识点一　指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 知识点二　指数函数的图象和性质 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 知识点三　解指数方程、不等式 简单指数不等式的解法 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解． 知识点四　指数型函数的单调性 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域． (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反． 【例题详解】 题型一、指数函数的概念 1．（2023高一·江苏）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 2．（23-24高一上·青海西宁·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 3．（22-23高三上·江苏常州）若p：函数是指数函数，，则q是p的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 题型二、求指数函数的解析式、函数值 4．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知指数函数且，则（    ） A．3 B．2 C． D． 5．（23-24高一上·吉林长春·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 6．（23-24高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象经过点，则 ． 题型三、指数函数的图象及应用 7．（23-24高一上·四川乐山·期中）函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 8．（23-24高一上·福建漳州·期中）函数的图象是（    ） A．B．C． D． 9．（23-24高三上·湖南·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A．B．  C．   D．   题型四、指数型函数的定义域和值域 10．（23-24高一上·安徽·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·天津红桥·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知，（）的值域为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五、指数型函数的单调性求参数 13．（23-24高一上·重庆·期末）若函数是上的单调递增函数.则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·福建福州·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·福建漳州·期末）若函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型六、比较大小 16．（23-24高一下·安徽）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·云南昆明·期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一上·河南漯河·阶段练习）已知函数，，且，则下列结论中，必成立的是（    ） A．，， B．，， C． D． 题型七、简单的指数不等式的解法 19．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一上·广东潮州·期末）已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型八、指数函数的应用 22．（23-24高一上·浙江宁波·期末）某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过周，该植物的长度大约是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 23．（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）第1次从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满，第2次再从该容器中倒出，又用水填满；…．若要使容器中的纯酒精不足，则至少要连续进行以上操作（    ） A．3次 B．4次 C．5次 D．6次 24．（2023·四川宜宾·一模）某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a个这种病毒在t天后将繁殖到个．已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍．且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 题型九、指数函数的最值问题 25．（22-23高一上·天津南开·期末）已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．（22-23高一上·安徽合肥·期中）已知且，且在区间上有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（21-22高二上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十、指数函数的综合 28．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）已知函数是指数函数． (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明. 29．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数，． (1)当时，求函数的值域； (2)设函数，若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围． 30．（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求的值； (2)求在上的解析式； (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【专项训练】 一、单选题 31．（23-24高一下·青海海东）已知函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高二下·云南大理·期中）函数的大致图象是（    ） A．    B．  C．   D． 33．（23-24高一下·上海·期中）已知a、，，则下列不等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 34．（23-24高一上·浙江杭州·期末）设函数.若，则等于（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知关于的不等式（其中）在R上恒成立，则有（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高一上·湖北武汉·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知，若命题“，或”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高一上·宁夏石嘴山·期中）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 39．（23-24高一上·安徽淮南·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为B．是奇函数C．是偶函数D．对任意的， 40．（23-24高一上·江苏常州·期末）若函数（其中且）的图象过第一、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知函数，若的值域为，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 42．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数， 则（    ） A．不关于原点对称 B． C．在上单调递减 D．的解集为 三、填空题 43．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）不等式的解集是 . 44．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数的图象经过定点，则 . 45．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知函数为奇函数，则实数 ． 46．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，且在上恒成立，则实数的取值范围为 . 四、解答题 47．（23-24高一上·上海·假期作业）已知函数，其中. (1)求，并计算的值； (2)作出该函数的图象，并求函数的值域. 48．（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知函数是奇函数． (1)求的定义域及实数a的值； (2)用单调性定义判定的单调性． 49．（23-24高一上·安徽宿州·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，其图象经过点． (1)求实数，的值并指出的单调性（不必证明）； (2)求不等式的解集． 50．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)设，对，使得，求实数的取值范围. 51．（23-24高一上·江西新余·期末）已知函数的图象经过点． (1)求的值，判断的单调性并说明理由； (2)若存在，不等式成立，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲：指数函数 【考点归纳】 · 考点一、指数函数的概念 · 考点二、求指数函数的解析式、函数值 · 考点三、指数函数的图象及应用 · 考点四、指数型函数的定义域和值域 · 考点五、指数型函数的单调性求参数 · 考点六、比较大小 · 考点七、简单的指数不等式的解法 · 考点八、指数函数的应用 · 考点九、指数函数的最值问题 · 考点十、指数函数的综合 【知识梳理】 知识点一　指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 知识点二　指数函数的图象和性质 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 知识点三　解指数方程、不等式 简单指数不等式的解法 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解． 知识点四　指数型函数的单调性 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域． (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反． 【例题详解】 题型一、指数函数的概念 1．（2023高一·江苏）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】利用指数函数的定义，对所给函数逐一判断即可. 【详解】①中，的系数是－1，故①不是指数函数； ②中，的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数； ③中，的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有一项，故③是指数函数； ④中，的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数． ⑤中，底数，不是指数函数． 综上，指数函数的个数为1， 故选：B. 2．（23-24高一上·青海西宁·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义，即可证明. 【详解】由已知得，即得. 故选：C 3．（22-23高三上·江苏常州）若p：函数是指数函数，，则q是p的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据命题和指数函数的定义列方程解得，根据命题解得，再根据必要不充分条件的定义判断即可. 【详解】命题p真，则，解得或2，又，∴；q为真，则或2， ∴q是p的必要不充分条件. 故选：C． 题型二、求指数函数的解析式、函数值 4．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知指数函数且，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数值求出，再求函数值即可. 【详解】， 故选：A. 5．（23-24高一上·吉林长春·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 【答案】B 【分析】根据指数函数的知识求得正确答案. 【详解】由指数函数的概念，得且，解得． 故选：B 6．（23-24高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象经过点，则 ． 【答案】/ 【分析】采用待定系数法，结合指数函数所过点可求得函数解析式，代入即可. 【详解】设指数函数且， 过点，，解得：，， . 故答案为：. 题型三、指数函数的图象及应用 7．（23-24高一上·四川乐山·期中）函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的性质判断函数图象 【详解】依题意，可得，则为奇函数，且当时，，则A，B，C均不正确， 故选：D． 8．（23-24高一上·福建漳州·期中）函数的图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】首先判断函数的奇偶性，再由及当时函数值的特征判断即可. 【详解】函数的定义域为且， 故为偶函数，函数图象关于轴对称， 因为，故排除C、D； 当时，故排除A. 故选：B 9．（23-24高三上·湖南·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A．B．  C．   D．   【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性、定义域、正负性，结合指数函数的单调性进行判断即可. 【详解】由，所以该函数的定义域为，显然关于原点对称， 因为， 所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，故排除选项AC， 当时，，排除选项B， 故选：D 题型四、指数型函数的定义域和值域 10．（23-24高一上·安徽·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用定义域和值域的关系，结合复合函数定义域的知识分析即可. 【详解】解：函数的定义域为， 令，解得， 故函数的定义域为 故选：C 11．（23-24高一上·天津红桥·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数、指数函数性质求指数复合函数的值域. 【详解】由，则， 所以的值域为. 故选：C 12．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知，（）的值域为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分情况讨论时，时，及时分段函数的值域，再根据集合间的关系列不等式，解不等式. 【详解】若，当时，在上单调递减，此时， 当时，，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域满足， 则，解得； 若，当时，， 当时，，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域，满足，成立； 若，当时，在上单调递增，此时， 则， 又不成立， 所以此时不成立； 综上所述：， 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题的关键是对进行分类讨论，同时结合函数单调性和基本不等式求解相关函数值域，最后得到不等式组，解出即可. 题型五、指数型函数的单调性求参数 13．（23-24高一上·重庆·期末）若函数是上的单调递增函数.则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要求分段函数的两段均递增，且左侧函数值不大于右侧函数值，列出不等式，计算即可. 【详解】因为函数在上单调递增，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 14．（23-24高一上·福建福州·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可. 【详解】易知，显然在上单调递增， 在上单调递减， 因为在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可知，且， 所以. 故选：A 15．（23-24高一上·福建漳州·期末）若函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定，，得到，当时，，得到，解得答案. 【详解】当时，单调递增，且； 当时，，，函数单调递增， 且，解得； 当时，，，. 函数单调递增，则，解得； 同理可得：当时，，，函数单调递增， 且，解得； 综上所述：. 故选：B. 题型六、比较大小 16．（23-24高一下·安徽）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的单调性判断，根据的单调性判断，进而得到答案. 【详解】因为在第一象限为增函数，，所以， 因为在第一象限为增函数，，所以， 所以， 故选：B. 17．（23-24高一上·云南昆明·期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数性质判断即可. 【详解】因为在R上单调递增，所以， 因为在R上单调递减，所以， 所以，即. 故选：B. 18．（23-24高一上·河南漯河·阶段练习）已知函数，，且，则下列结论中，必成立的是（    ） A．，， B．，， C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性即可结合函数图象求解ABD，利用作差法可得,进而得，即可求解C. 【详解】由于函数在区间上是减函数，在为增函数， 由于，而，因此，，无法确定正负，如 故，AB错误，D正确， 由于，则，故 ， 当且仅当时等号成立，又因为不等于0，则等号无法取到， 因此，又，所以， 由于，，在为增函数，因此 故,故C错误， 故选：D． 题型七、简单的指数不等式的解法 19．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简集合，由交集的概念即可求解. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：D 20．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由奇偶性求出的解析式，再由指数函数单调性求解不等式得解. 【详解】函数为上的奇函数，当时，， 则当时，，有，显然， 不等式转化或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C 21．（23-24高一上·广东潮州·期末）已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的奇偶性及其在上的单调性，将所求不等式变形为，解之即可. 【详解】因为函数的定义域为，且， 所以，函数为偶函数， 则不等式等价于， 因为函数、在上均为增函数， 当时，单调递增， 所以，，可得，解得， 故原不等式的解集为. 故选：A. 题型八、指数函数的应用 22．（23-24高一上·浙江宁波·期末）某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过周，该植物的长度大约是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设植物原来的长度为，由已知可得出，求出的值，利用指数运算可求得结果. 【详解】设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍， 即，即，即， 再过周后该植物的长度为. 因此，再经过周，该植物的长度大约是原来的倍. 故选：C. 23．（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）第1次从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满，第2次再从该容器中倒出，又用水填满；…．若要使容器中的纯酒精不足，则至少要连续进行以上操作（    ） A．3次 B．4次 C．5次 D．6次 【答案】B 【分析】计算出4次后，容器中的纯酒精小于，得到答案. 【详解】进行1次后，容器中的纯酒精为；进行2次后，容器中的纯酒精为； 进行3次后，容器中的纯酒精为；进行4次后，容器中的纯酒精为． 故连续进行4次后，容器中的纯酒精不足． 故选：B 24．（2023·四川宜宾·一模）某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a个这种病毒在t天后将繁殖到个．已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍．且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据指数式的运算求解. 【详解】由题可知，，所以， 经过天，数量变为原来的16倍，即， 则有，解得， 故选:C. 题型九、指数函数的最值问题 25．（22-23高一上·天津南开·期末）已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性求出两函数的最大值，然后由题意可知，再解关于的不等式可求得结果. 【详解】当时，单调递减，则， 当时，单调递减，则， 所以当时，，所以， 因为在上单调递增， 所以， 因为对任意的，总存在使得成立， 所以， 所以，解得， 故选：C 26．（22-23高一上·安徽合肥·期中）已知且，且在区间上有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】“在区间上，恒成立”等价于“在区间上，”，分别讨论和，得到关于的不等式，即可求解出结果． 【详解】“在区间上，恒成立”等价于“在区间上，” 当时，在上单调递增，此时，在处取得最小值，即，解得，故； 当时，，即，解得，故． 综上，实数的取值范围是． 故选：C 27．（21-22高二上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原问题等价于，使得，利用函数的单调性求出最大值即可求解. 【详解】解：，使得，等价于， ， 由对勾函数的单调性知在上单调递减，所以， 又在上单调递增，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 题型十、指数函数的综合 28．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）已知函数是指数函数． (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明. 【答案】(1) (2)是偶函数，证明见解析 【分析】（1）由指数函数定义即可列方程求解； （2）由偶函数定义即可判断并得证. 【详解】（1）函数是指数函数，且， ， 可得或舍去， （2）是偶函数    , 证明如下：，， ， 是偶函数． 29．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数，． (1)当时，求函数的值域； (2)设函数，若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，根据二次函数的性质求解即可； （2）对任意，存在，使得，则，即，在上恒成立，再利用分离参数法求解即可. 【详解】（1）当时，，， 令，因为，则， 所以，其中， 则时，，时，，即， 所以的值域为； （2）由，， 设，则函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数为增函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故， 因为对任意，存在，使得，则， 所以，在上恒成立， 令，因为，则，即在上恒成立， 则在上恒成立，因为函数在上单调递增， 故，所以，即． 【点睛】关键点点睛：解决本题第二问的关键是转化为，在上恒成立. 30．（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求的值； (2)求在上的解析式； (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质求得，从而得解； （2）利用奇函数的性质，结合对称性即可得解； （3）将不等式转化为恒成立问题，再利用指数函数的单调性即可得解. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以， 又当时，＝， 所以，解得， 所以. （2）由（1）得，当时，， 当时，，所以， 又， 所以在上的解析式为. （3）因为当时，， 所以由，得，整理得， 令，根据指数函数单调性可得是减函数， 所以，所以， 故实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛： （1）若函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，则在上单调递增； （2）若函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递减，则在上单调递减； 【专项训练】 一、单选题 31．（23-24高一下·青海海东）已知函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的图象过点，求出a的值，即可求得答案. 【详解】由题意可知， 所以， 故选：C. 32．（23-24高二下·云南大理·期中）函数的大致图象是（    ） A．     B．   C．   D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用函数的定义域，以及时，且，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为，且， 故排除B,C,当时，且，排除A. 故选：D. 33．（23-24高一下·上海·期中）已知a、，，则下列不等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质即可求解ABC，根据指数函数的单调性即可求解D. 【详解】对于A，由于，所以，A正确， 对于B，由，则，故B正确， 对于C，，满足，但，故C不一定成立， 对于D，由于为单调递减函数，所以，则，D正确， 故选：C 34．（23-24高一上·浙江杭州·期末）设函数.若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照从内到外的原则，先计算的值，再代入，即可求出的值. 【详解】由于函数，且， 则，且， 所以，即， 得. 故选：B. 35．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知关于的不等式（其中）在R上恒成立，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知不等式化为，结合函数在上单调性，即可判断各选项的正误. 【详解】由题意得原不等式可化为，因， 所以在上恒成立， 又函数在上单调递增，且， 当时，；当时，． 于是且，于是，，， 故选：D． 36．（23-24高一上·湖北武汉·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对分离常数得到，即可研究函数的值域，进而根据高斯函数定义求解即可. 【详解】，因为，所以，所以，即， 所以，即，所以. 故选：C 37．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知，若命题“，或”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分段讨论x的取值范围，结合命题的真假列出相应不等式，最后综合即可得答案. 【详解】当时，，无论取何值，均符合题意； 当时，，只需， 解得或； 当时，，由题中条件可得，只需对于恒成立， 当时，不符合题意； 当时，图象为开口向上的抛物线， 不能满足对恒成立，不符合题意； 当时，的2个根为， 需满足，结合，可得， 综合上述可知的取值范围是， 故选：B. 38．（23-24高一上·宁夏石嘴山·期中）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】探讨函数的奇偶性、单调性，再利用性质求解不等式即得. 【详解】函数的定义域为R，， 即函数是R上的偶函数，当时，， 函数在上单调递增，则在上单调递减， 在上单调递增，又在上单调递增， 因此在上单调递增，而不等式， 于是，两边平方得，解得， 所以所求不等式的解集为. 故选：B 二、多选题 39．（23-24高一上·安徽淮南·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B．是奇函数 C．是偶函数 D．对任意的， 【答案】CD 【分析】根据指数函数的性质，结合奇函数、偶函数的定义逐一判断即可. 【详解】A：由，所以该函数的定义域为，因此本选项结论不正确； B：因为， 所以有，因此是偶函数，所以本选项不正确； C：由上可以确定本选项正确； D：， 当时，，而，于是有， 当时，，而，于是有， 综上所述：对任意的，，因此本选项正确， 故选：CD 40．（23-24高一上·江苏常州·期末）若函数（其中且）的图象过第一、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据图象的性质可得：，即可求解. 【详解】函数（其中且）的图象在第一、三、四象限， 根据图象的性质可得：， 即， 故选：BD. 41．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知函数，若的值域为，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分别求出值域，根据值域的并集为建立不等式，逐项判断即可. 【详解】当时，单调递增，其值域为， 当时，单调递增，其值域为， 由题意的值域为，所以，所以， 记，且，在一个坐标系内作出函数图象，如图：    因为，所以， 又因为，所以， 所以，要使，则， 因为，所以， 因为，所以，所以， 结合选项可知，实数的值可以是，. 故选：BD 42．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数， 则（    ） A．不关于原点对称 B． C．在上单调递减 D．的解集为 【答案】AC 【分析】先求出函数定义域检验选项A；代入求出检验选项B；结合复合函数单调性检验选项C；结合函数单调性解不等式检验选项D． 【详解】由，得，即定义域为，不关于原点对称，故A正确； 因为 ， ， 所以，B错误； 当时，， 函数 在区间 上单调递增，函数 在区间上单调递增， 则 在区间上单调递增， 在区间上单调递减， 在区间上单调递减， 在区间上单调递减， 所以在区间上单调递减，故C正确． 对于D，由B知图象关于对称， 所以在区间上单调递减，所以在区间和上单调递减． 又时，， 所以， 时，． ①当，即时，由得，解得，即； ②当时，不等式组无解，不合题意； ③当，即时，，，不合题意； ④当，即时，，，符合题意． 综上所述，的解集为,,，D错误． 故选：AC． 【点睛】函数图象常见对称性：（1）若，则的图象关于对称；（2）若，则的图象关于对称. 三、填空题 43．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】将原不等式转化为，结合指数函数的单调性即可求解. 【详解】由题意知，， 又指数函数在R上单调递增， 所以，解得， 即原不等式的解集为. 故答案为： 44．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数的图象经过定点，则 . 【答案】1 【分析】根据指数函数过定点的性质，列出相应方程，即可求得答案. 【详解】由题意知函数的图象经过定点， 故,解得,故, 故答案为；1 45．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知函数为奇函数，则实数 ． 【答案】 【分析】设，利用奇函数的定义可得出，结合指数运算可得出实数的值. 【详解】设，则，可得，即函数的定义域为， 则，即， 即，解得. 故答案为：. 46．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，且在上恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由函数的奇偶性求出，不等式变为在上恒成立问题，求出的最大值即可. 【详解】因为，① 得，又和分别为偶函数和奇函数， 所以，② 由①②相加得， 又在上恒成立即在上恒成立， 设，则只需， 易知在上为增函数， ， 所以， 故答案为：. 四、解答题 47．（23-24高一上·上海·假期作业）已知函数，其中. (1)求，并计算的值； (2)作出该函数的图象，并求函数的值域. 【答案】(1)；0； (2)作图见解析， 【分析】（1）直接代入式子计算、即可； （2）结合指数函数性质分离常数法求函数值域，结合函数的单调性作出的图象. 【详解】（1）， ； （2）由（1）知，，， 所以为奇函数，图象关于原点对称，且， 为增函数， 因为，所以， 得函数的值域为. 的图象如下图， 48．（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知函数是奇函数． (1)求的定义域及实数a的值； (2)用单调性定义判定的单调性． 【答案】(1)定义域为， (2)在、上单调递减 【分析】（1）借助奇函数的性质计算即可得； （2）借助函数单调性的定义作差判断即可得. 【详解】（1）由：，得，所以的定义域为， 因为是奇函数，则，即， 即，所以，则，所以； （2），， 则， 当时，，，，则， 即，所以在上单调递减， 当，，，，则， 即，所以在上单调递减， 故在、上单调递减. 49．（23-24高一上·安徽宿州·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，其图象经过点． (1)求实数，的值并指出的单调性（不必证明）； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)，在上单调递减 (2) 【分析】（1）根据R上奇函数的性质得，再由，列出方程组，求得，再利用函数的单调性定义证明函数单调性即得； （2）观察易得，代入不等式，利用奇函数性质将其化成，最后利用函数单调性化为一元二次不等式，解之即得.， 【详解】（1）是R上的奇函数，，即，又   解得. 故，易得在R上单调递减，证明如下. 任取，由， 因，则，而，则，故在R上单调递减. （2）易得：，不等式可化为， 是R上的奇函数， 又在R上单调递减，，即，解得或 故原不等式的解集为. 50．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)设，对，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）方程组法去求解与的解析式即可解决； （2）对，使得，即为函数的值域为为函数的值域的子集，讨论解之. 【详解】（1）由题意   ①， 所以  ， 函数，分别是定义在上的偶函数与奇函数， 所以 所以   ②， 由①②解得，； （2）， 由，则 ， 所以的值域为， ，      ， 设，根据知为增函数，若，则， 则， 若，则在上单调递增， 则，即， 因为对，使得， 则，所以，解得， 所以； 若， 则，即， 则，解得，所以， 综上所述，若对，使得，则. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 51．（23-24高一上·江西新余·期末）已知函数的图象经过点． (1)求的值，判断的单调性并说明理由； (2)若存在，不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；是上的单调递增函数，理由见解析； (2), 【分析】（1）由函数经过点求的值，得到的解析式，用定义法证明函数的单调性； （2）根据函数的奇偶性和单调性，不等式转化为在,上有解，利用参数分离法结合基本不等式可求出实数的取值范围． 【详解】（1）函数经过点， 所以，解得，即， ， 则是上的单调递增函数，理由如下： 任取、，且，则， 则， 所以，即， 所以是定义域上的单调递增函数． （2）因为， 故是奇函数且在上单调递增， 则不等式等价于， 所以，即， 即存在,不等式有解， 即在,上有解， 由,，可得， 由对勾函数性质易知：在单调递减，在单调递增， 且，故在的最大值为， 所以，即 所以， 即实数的取值范围是,． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$