第15讲：指数函数【十大题型】-【初升高暑假衔接】2025-2026学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第15讲：指数函数 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 知识点二　指数函数的图象和性质 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 知识点三　解指数方程、不等式 简单指数不等式的解法 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解． 知识点四　指数型函数的单调性 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域． (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反． 【例题详解】 题型一、指数函数的概念 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南·阶段练习）“”是“为指数函数”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）下列判断正确的是（    ） A．是幂函数，且是指数函数 B．是幂函数，且不是指数函数 C．不是幂函数，且是指数函数 D．不是幂函数，且不是指数函数 题型二、求指数函数的解析式、函数值 4．（24-25高一上·河南·期中）已知函数，且，若，则（   ） A． B． C．10 D．100 5．（2025高三·全国·专题练习）已知指数函数的图象经过点，则时，函数值为 ． 6．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数，若，则 . 题型三、指数函数的图象及应用 7．（23-24高一上·四川乐山·期中）函数的大致图象是（    ） 7．（24-25高一上·安徽六安·阶段练习）设指数函数：，：，：的图象如图，则（    ） A． B． C． D． 8．（2005·福建·高考真题）函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 9．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数（且）的图象一定过点，则点的坐标是 ． 题型四、指数型函数的定义域和值域 10．（24-25高一下·贵州·期中）下列函数的值域为是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·浙江·期中）已知函数，则它的值域是 ． 12．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的定义域与值域 (1)； (2)． 题型五、指数型函数的单调性求参数 13．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数（，且）在R上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·贵州·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高三下·上海宝山·阶段练习）设函数 ，则满足的的取值范围是 . 题型六、比较大小 16．（24-25高一上·全国·课前预习）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）若偶函数在上单调递增，且， ， ，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·全国·课后作业）比较下列各组中两个值的大小： (1)，；(2)，；(3)，. 题型七、简单的指数不等式的解法 19．（24-25高二下·北京·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知函数． (1)若，求不等式的解集 (2)若，求的单调区间 (3)若有最大值3，求的值 21．（19-20高一上·甘肃张掖·期中）已知函数且的图象经过点． （1）求的值； （2）若，求的取值范围． 题型八、指数函数单调性的应用 22．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高一上·湖南长沙·期末）若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是 . 题型九、指数函数的最值问题 25．（2025高二上·云南·学业考试）函数在上的最大值为（   ） A． B． C．6 D．36 26．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最大值为 ． 27．（24-25高一上·天津·阶段练习）若函数，且，在上的最大值比最小值大，则 . 题型十、指数函数的综合 28．（24-25高一上·河北·阶段练习）（多选）已知函数，则（   ） A．当时，为偶函数 B．既有最大值又有最小值 C．在上单调递增 D．的图象恒过定点 29．（11-12高一上·山东济宁·期中）已知函数，其中. (1)求函数的最大值和最小值； (2)若实数满足：恒成立，求的取值范围. 30．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是定义在[-4，4]上的奇函数，当时，． (1)求在[，0）上的解析式； (2)若存在，使得不等式成立，求m的取值范围． 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高三上·山东·阶段练习）如图所示，若，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）下列函数中是增函数的为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·河北石家庄·期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（   ） A． ，且 B．，且 C．，且 D．，且 5．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）下列函数中，既是偶函数又在上为减函数的是（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·上海·期末）函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 7．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．（2025高一上·全国·专题练习）函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·江西宜春·期中）已知实数满足不等式，且，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 10．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递减，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·云南昭通·期末）使命题“，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·甘肃张掖·阶段练习）在区间上，的最大值是其最小值的4倍，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 13．（2025·湖南娄底·模拟预测）下列函数，其图象平移后可得到函数的图象的有（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·浙江宁波·期末）下列命题中正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 15．（24-25高二下·陕西渭南·期末）设.下列各项中，不能推出的项有（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 三、填空题 16．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）下列函数中， 是指数函数.①；②；③；④；⑤（是常数）；⑥. 17．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）函数，（，且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是 . 18．（24-25高一上·北京·期中）已知，，则不等式的解集为 ． 19．（2024高三·全国·专题练习）若函数有最大值3，则 . 20．（2025高二下·浙江·学业考试）函数的单调递增区间是 . 21．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 ． 22．（23-24高一下·河南新乡·期末）函数的最大值为 . 四、解答题 23．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）已知，比较，的大小； （2）比较与的大小． 24．（23-24高一·上海·课堂例题）若，比较，及的大小． 25．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求函数的最大值与最小值. 26．（23-24高三上·广东茂名·阶段练习）若函数的图象恒经过定点． (1)求的值； (2)当在上是增函数，求a的范围． 27．（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）设函数. (1)证明函数是奇函数； (2)证明函数在内是增函数. 28．（21-22高一上·北京丰台·期中）已知指数函数且的图象经过点． (1)求指数函数的解析式； (2)求满足不等式的实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲：指数函数 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 知识点二　指数函数的图象和性质 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 知识点三　解指数方程、不等式 简单指数不等式的解法 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解． 知识点四　指数型函数的单调性 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域． (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反． 【例题详解】 题型一、指数函数的概念 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数定义即可判断. 【详解】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D 2．（24-25高一上·湖南·阶段练习）“”是“为指数函数”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，是指数函数； 若是底数为的指数函数．则，且，解得， 故“”是“为指数函数”的充分不必要条件． 故选：C. 3．（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）下列判断正确的是（    ） A．是幂函数，且是指数函数 B．是幂函数，且不是指数函数 C．不是幂函数，且是指数函数 D．不是幂函数，且不是指数函数 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合幂函数､指数函数的定义，即可求解. 【详解】解：由幂函数的定义可知，不是幂函数， 因为，所以是指数函数. 故选：C. 题型二、求指数函数的解析式、函数值 4．（24-25高一上·河南·期中）已知函数，且，若，则（   ） A． B． C．10 D．100 【答案】A 【分析】利用给定的函数解析式求出，再代入求得答案. 【详解】依题意，由，得， 所以. 故选：A 5．（2025高三·全国·专题练习）已知指数函数的图象经过点，则时，函数值为 ． 【答案】/0.25 【分析】把已知点坐标代入求得后，再计算函数值． 【详解】由已知可得，，函数解析式为， 当时，． 故答案为：． 6．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数，若，则 . 【答案】/0.5 【分析】由可得，根据指数幂的运算性质即可求出结果. 【详解】因为，且， 所以，即， 故，所以. 故答案为： 题型三、指数函数的图象及应用 7．（23-24高一上·四川乐山·期中）函数的大致图象是（    ） 7．（24-25高一上·安徽六安·阶段练习）设指数函数：，：，：的图象如图，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】做直线，数形结合，可得的大小关系. 【详解】如图： 做直线，得到直线与三个指数函数图象的交点分别为，，，由图可知：. 故选：A 8．（2005·福建·高考真题）函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据指数函数单调性得到，根据得到. 【详解】由于的图象单调递减，所以， 又，所以，即，. 故选：D． 9．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数（且）的图象一定过点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的图象过定点求解. 【详解】当，即时，恒成立， 所以函数恒过点． 故答案为： 题型四、指数型函数的定义域和值域 10．（24-25高一下·贵州·期中）下列函数的值域为是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数、反函数、二次函数的性质和图象进行逐一判断. 【详解】对于选项A： 因为为指数函数，所以其值域为. 对于选项B： 因为为二次函数，抛物线开口向上，其值域为. 对于选项C： 因为，其图象为： 可以看出其值域为. 对于选项D： 因为是反函数，所以其值域为. 故选：C. 11．（24-25高一下·浙江·期中）已知函数，则它的值域是 ． 【答案】 【分析】应用二次函数、指数函数的性质求复合函数的值域即可. 【详解】由，则， 所以函数的值域为. 故答案为： 12．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的定义域与值域 (1)； (2)． 【答案】(1)定义域为，值域为. (2)定义域为，值域为 【分析】（1）根据指数函数的性质和分母不为0进行求解即可. （2）根据指数函数的定义域和性质进行求解即可. 【详解】（1）由，得， 函数的定义域为． ， ．的值域为． （2）函数的定义域为． ． 故的值域为． 题型五、指数型函数的单调性求参数 13．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数（，且）在R上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的单调性，得到每段函数的单调性，以及在分界点处比较函数值大小，即可得到的取值范围. 【详解】由条件可知，，单调递增，即，得， ，单调递增，得， 且在分界点处满足条件，得， 上述三个不等式求交集得的取值范围是. 故选：D 14．（24-25高二上·贵州·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别分析指数函数和二次函数的单调性，再根据复合函数单调性“同增异减”得出结果. 【详解】函数可看作由和复合而成， 因为二次函数的图象开口向上，对称轴， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又因为在上单调递增， 根据复合函数单调性“同增异减”可知： 若要在上单调递增， 则需在上单调递增， 即，解得， 故选：A. 15．（24-25高三下·上海宝山·阶段练习）设函数 ，则满足的的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增，函数为常函数， 所以分段函数在单调递增，在不具有单调性， 且，即当时，， 因为，所以，解得， 所以满足的的取值范围是. 故答案为： 题型六、比较大小 16．（24-25高一上·全国·课前预习）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将变形为，再利用指数函数在上的单调性即可得解. 【详解】，又在上单调递减，， ，即． 故选：B 17．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）若偶函数在上单调递增，且， ， ，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数为偶函数可知在的单调性，再根据幂函数性质和指数函数性质判断出，根据函数的单调性即可判断大小. 【详解】为偶函数且在上单调递增，则在上单调递减. 根据幂函数在上单调递增，得，再 由指数函数单调递增可知，，则， 故，即. 故选：B. 18．（24-25高一上·全国·课后作业）比较下列各组中两个值的大小： (1)，； (2)，； (3)，. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）函数在定义域R上单调递减,比较大小； （2）在同一平面直角坐标系中作出指数函数与的图象，取点比较大小； （3）分别构造函数与，借助中间值比较大小. 【详解】（1），函数在定义域R上单调递减， 又，. （2）在同一平面直角坐标系中作出指数函数与的图象，如图所示， 当时，观察图象易得. （3）分别构造函数与， ，，与在R上分别为增函数和减函数. ，， ，，. 题型七、简单的指数不等式的解法 19．（24-25高二下·北京·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 所以，故. 故选：B. 20．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知函数． (1)若，求不等式的解集 (2)若，求的单调区间 (3)若有最大值3，求的值 【答案】(1) (2)单调递增区间是，单调递减区间是 (3)1 【分析】（1）根据指数函数的单调性将指数不等式转化为一元二次不等式求解即可； （2）根据复合函数单调性判断，结合指数函数、二次函数性质判断单调区间； （3）令，由指数函数的单调性知二次函数有最小值，进而得，解之即得参数值. 【详解】（1）当时，， 由，得，即，解得， 所以不等式的解集 . （2）当时，， 令，由在上单调递增，在上单调递减， 而在R上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即的单调递增区间是，单调递减区间是． （3）令，， 由于有最大值3，所以应有最小值， 因此必有．解得， 即有最大值3时，a为1. 21．（19-20高一上·甘肃张掖·期中）已知函数且的图象经过点． （1）求的值； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据指数函数过的点,代入即可求得的值. （2）代入的值,结合指数函数的单调性,解不等式即可得的取值范围. 【详解】（1）∵且的图象经过点 ∴,由且 可得 （2）由（1）得 若,代入 可得 由指数函数的单调性可知满足 解得,即 【点睛】本题考查了指数函数解析式的求法,根据指数函数的单调性解不等式,属于基础题. 题型八、指数函数单调性的应用 22．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数、指数函数的单调性可得结果. 【详解】函数中，令，则函数在上单调递减，上单调递增， 而函数为减函数，因此函数在上单调递增，上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A. 23．（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据条件判断函数在上为增函数，在保证每一段函数单调递增的情况下，注意分界点处的值的大小关系，列不等式组求解即可． 【详解】根据题意，函数对任意的，且，都有， 所以在上为增函数， 又， 所以有， 即，解得， 故选：D． 24．（24-25高一上·湖南长沙·期末）若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】问题化为时能成立，结合指数函数的性质求参数范围. 【详解】由题设命题为真命题，即时能成立，故能成立， 所以. 故答案为： 题型九、指数函数的最值问题 25．（2025高二上·云南·学业考试）函数在上的最大值为（   ） A． B． C．6 D．36 【答案】C 【分析】利用指数函数单调性求出最大值. 【详解】函数在上单调递增，当时，. 所以函数在上的最大值为6. 故选：C 26．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最大值为 ． 【答案】16 【分析】首先求函数的值域，再根据外层函数的单调性，求函数的最大值. 【详解】设，， 所以，单调递减， 所以当时，即时，函数取得最大值. 故答案为：16 27．（24-25高一上·天津·阶段练习）若函数，且，在上的最大值比最小值大，则 . 【答案】或 【分析】分和两种情况，根据指数函数的单调性确定最大值和最小值，由已知得到关于实数的方程求解即得. 【详解】若，则函数在区间上单调递减， 所以， 由题意得，又，故； 若，则函数在区间上单调递增， 所以， 由题意得，又，故. 所以的值为或. 故答案为：或. 题型十、指数函数的综合 28．（24-25高一上·河北·阶段练习）（多选）已知函数，则（   ） A．当时，为偶函数 B．既有最大值又有最小值 C．在上单调递增 D．的图象恒过定点 【答案】ACD 【分析】由奇偶性定义判断A，根据指数函数的单调性与二次函数性质求最值判断B.由复合函数的单调性判断C，计算后即可判断D. 【详解】A,当时，，定义域为， 因为， 所以为偶函数，A正确； B，因为， 所以， 则有最大值，没有最小值，B错误； C，因为在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减，C正确； D，当时，， 所以的图象恒过定点，D正确. 故选：ACD. 29．（11-12高一上·山东济宁·期中）已知函数，其中. (1)求函数的最大值和最小值； (2)若实数满足：恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)最小值为，最大值为； (2). 【分析】（1）设，可得出，利用二次函数的基本性质可求得函数的最大值和最小值； （2）分析可知，结合（1）中的结论可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：， 令，则，令，其中. 所以，函数在上为减函数，在上为增函数， 所以，，. （2）解：恒成立，即恒成立，， 由（1）知，， 故的取值范围为. 30．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是定义在[-4，4]上的奇函数，当时，． (1)求在[，0）上的解析式； (2)若存在，使得不等式成立，求m的取值范围． 【答案】(1)在[，0）上的解析式为 (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义求解析式； （2）不等式用分离参数法变形，转化为求函数的最值，然后得参数范围． 【详解】（1）当时，，所以， 又，所以， 所以在[，0）上的解析式为； （2）由（1）知，时，， 所以可整理得， 令，根据指数函数单调性可得，为减函数， 因为存在，使得不等式成立，等价于在上有解， 所以，只需， 所以实数m的取值范围是． 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高三上·山东·阶段练习）如图所示，若，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性以及与轴的交点即可判断. 【详解】因为，所以指数函数在上单调递减，故排除A和D； 对于，当时，，所以的图象过点， 因为，故B错误，C正确. 故选：C. 2．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的图象特征，即可判断选项. 【详解】由， 根据指数函数的图象，B选项符合题意. 故选：B. 3．（2025高三·全国·专题练习）下列函数中是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据初等函数的单调性判断即可. 【详解】根据一次函数的单调性，可得是减函数，故A错误； 根据指数函数的单调性，可得都是减函数，故B，C均错误； 根据幂函数的单调性，可得是增函数，故D正确. 故选：D. 4．（24-25高二下·河北石家庄·期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（   ） A． ，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质，结合函数图像经过的象限，列出关于和的不等式组，进而求解和的取值范围. 【详解】已知函数的图像经过第二、三、四象限，说明函数单调递减，所以可得 指数函数过定点，则函数过定点，即 因为函数的图像经过第二、三、四象限，如图所示，所以该函数与轴的交点在轴负半轴上，即 综上分析，可得 故选：C. 5．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）下列函数中，既是偶函数又在上为减函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由解析式判断函数奇偶性、单调性. 【详解】对于A，不是偶函数，故A错误； 对于B，不是偶函数，故B错误； 对于C，当时，，即在上不为减函数，故C错误； 对于D，经检验是偶函数又在上为减函数，故D正确. 故选：D. 6．（24-25高一上·上海·期末）函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性结合函数的图象不经过第四象限，判断a， b的范围. 【详解】因为函数 (且)单调递增， 所以，图象不经过第四象限，则当时，，所以，， 故选：B. 7．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 8．（2025高一上·全国·专题练习）函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得，然后利用指数函数的单调性求得，即可求解值域. 【详解】因为，所以．即，则， 所以函数的值域为． 故选：B 9．（24-25高一上·江西宜春·期中）已知实数满足不等式，且，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】易知定义域上单调递增， 在上分别为单调递减、单调递增函数. 所以，故A正确. 故选：A 10．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递减，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性，结合分段函数的性质即可求解. 【详解】由已知得解得. 故选:C. 11．（24-25高一上·云南昭通·期末）使命题“，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求命题“，”为真命题的充要条件，根据充分不必要条件定义，结合选项即可得解． 【详解】因为命题“，”为真命题， 所以，其中， 又函数在上单调递增， 所以函数，的最大值为， 所以，即， 所以命题“，”为真命题的充要条件为， 根据选项，命题“，”为真命题的一个充分不必要条件可以是， 故选：C. 12．（24-25高一上·甘肃张掖·阶段练习）在区间上，的最大值是其最小值的4倍，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据条件，利用的单调性，得到，即可求解. 【详解】因为区间上单调递增，又，， 所以，解得. 故选：C. 二、多选题 13．（2025·湖南娄底·模拟预测）下列函数，其图象平移后可得到函数的图象的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用函数图象变换依次判断可得出结论. 【详解】对于A，函数的图象向右平移1个单位长度可得到函数的图象，故A正确； 对于B，函数的图象向上平移2个单位长度可得到函数的图象，故B正确； 对于C，函数的图象上点的横坐标伸长为原来的2倍可得到函数的图象，故C错误； 对于D，函数，其图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，故D正确． 故选：ABD 14．（24-25高一上·浙江宁波·期末）下列命题中正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【分析】在同一坐标系中画出和的图象，即可判断AB；再由同一坐标系中和的图象，可判断CD. 【详解】在同一坐标系中画出和的图象，如下图所示： 显然对于，图象在上方，即，，即A正确； 当时，图象在下方，即，因此B错误； 在同一坐标系中画出和的图象，如下图所示： 由图可知，时的图象在的下方，即，，可得C正确； 当时，的图象在的上方，所以，即D错误. 故选：AC 15．（24-25高二下·陕西渭南·期末）设.下列各项中，不能推出的项有（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】ABC 【分析】由指数函数单调性性质即可求解. 【详解】对于A，因为且，所以时，时， 所以且不能推出，故A符合； 对于B，因为且，所以，所以且不能推出，故B符合； 对于C，因为且，所以时，时， 所以且不能推出，故C符合； 对于D，因为且，所以所以且能推出，故D不符合. 故选：ABC 三、填空题 16．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）下列函数中， 是指数函数.①；②；③；④；⑤（是常数）；⑥. 【答案】① 【分析】根据指数函数的定义，一一判断各函数，即得答案. 【详解】因为形如且的函数为指数函数，其中a为常数； 故①为指数函数；②不是指数函数； ③不是指数函数；④的底数不是常数，故不是指数函数； ⑤（是常数）为幂函数，不是指数函数； ⑥，由于取负值或0，1时，函数即不是指数函数，故不能确定为指数函数. 故答案为：①. 17．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）函数，（，且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是 . 【答案】 【分析】根据指数的性质求函数所过的定点坐标. 【详解】根据指数的性质有，即函数的图象过定点. 故答案为： 18．（24-25高一上·北京·期中）已知，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】在同一坐标系内作出函数的图象，利用图象求解不等式的解集. 【详解】在同一坐标系内作出函数的图象，如图， 观察图象知，当或时，， 所以不等式的解集为. 故答案为： 19．（2024高三·全国·专题练习）若函数有最大值3，则 . 【答案】1 【分析】利用指数型复合函数单调性可知应有最小值，再由二次函数性质可得. 【详解】令，则， 因为有最大值3，所以应有最小值； 由此可得解得. 故答案为：1 20．（2025高二下·浙江·学业考试）函数的单调递增区间是 . 【答案】或 【分析】根据复合函数的单调性判断可得答案. 【详解】函数， 令， 则在上单调递增，在上单调递减， 由的，而在上单调递增， 所以的单调递增区间是或. 故答案为：或. 21．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合指数函数及二次函数，列出不等式组求解即可. 【详解】解：因为在上单调递增， 所以得． 所以实数的取值范围是. 故答案为： 22．（23-24高一下·河南新乡·期末）函数的最大值为 . 【答案】4 【分析】根据二次函数的性质得，再由指数函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以， 故函数的最大值为4. 故答案为：4. 四、解答题 23．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）已知，比较，的大小； （2）比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先确定函数的单调性，由，利用函数的单调性，即可得到，的大小关系； （2）先利用函数的单调性，得到与1的大小关系，再利用函数的单调性，得到与1的大小关系，即可得解. 【详解】（1），函数在上是减函数， 又，； （2），函数在上是减函数． 又，； 又，函数在上是增函数． 又，． 综上可知，． 24．（23-24高一·上海·课堂例题）若，比较，及的大小． 【答案】 【分析】根据指数函数单调性即可比较大小. 【详解】, 是上的单调增函数, . 25．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求函数的最大值与最小值. 【答案】最小值，最大值3. 【分析】首先换元，转化为关于的二次函数求最值. 【详解】， 令，因为，所以， 代入原函数后得， 所以当即时，取得最小值. 当即时，取得最大值3. 综上，当时，取得最小值，当时，取得最大值3. 26．（23-24高三上·广东茂名·阶段练习）若函数的图象恒经过定点． (1)求的值； (2)当在上是增函数，求a的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用条件建立方程，即可求出结果； （2）由（1）得到，再根据条件即可得到结果. 【详解】（1）因为的图象过 所以，得到，所以. （2）由（1）知，                因为在上是增函数，所以，得到. 27．（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）设函数. (1)证明函数是奇函数； (2)证明函数在内是增函数. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据奇函数定义化简的表达式可得结论； （2）利用函数单调性定义直接按照步骤即可判断得出证明. 【详解】（1）由题意，得，即函数的定义域关于原点对称， ， ∴函数为奇函数. （2）设是内任意两实数，且， 则， ∵，∴，∴， ∴函数在内是增函数. 28．（21-22高一上·北京丰台·期中）已知指数函数且的图象经过点． (1)求指数函数的解析式； (2)求满足不等式的实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）直接将点带入函数得到答案. （2）代入化简得到，解得答案. 【详解】（1）因为且的图象经过点，所以，，得， 所以. （2）由题可得，即，得，或 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$