基础课32 等差数列 专项训练-2025届高三数学一轮复习

数列-专项训练【原卷版】 基础巩固练 1. 已知等差数列满足,，则的公差为（ ）. A. B. 2 C. 4 D. 6 2.(2024·九省适应性测试)记等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a7=6,a12=17,则S16=(　　). A.120 B.140 C.160 D.180 3. 已知在等差数列中，，是方程的两个根，则的前21项的和为（ ）. A. 6 B. 30 C. 63 D. 126 4. 记为等差数列的前项和.若，，则（ ）. A. 3 B. 7 C. 11 D. 15 5. [2024·辽宁联考]设等差数列的前项和为，若,则（ ）. A. 150 B. 120 C. 75 D. 60 6. [2024·哈尔滨模拟]已知等差数列的前项和为，，则（ ）. A. 18 B. 13 C. D. 7. （改编）已知等差数列的各项均不相等，其前项和为，若，则（ ）. A. B. C. D. 8. 某会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图中的直角三角形继续作下去，记，， ，的长度构成的数列为，那么（ ）. A. 25 B. 24 C. 5 D. 4 综合提升练 9. （多选题）若是等差数列，则下列数列为等差数列的是（ ）. A. B. C. D. 10. （多选题）已知公差为的等差数列满足，，则下列结论正确的是（）. A. B. C. D. 的前项和为 11. 已知数列满足，且，则数列的通项公式为 12. 已知等差数列的各项均为正数，其前项和满足，则其通项公式 应用情境练 13. 南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”，这是数学史上一个伟大的成就.如图所示，在“杨辉三角”中，前行的数字总和记作.设，将数列中的整数项依次组成新的数列，设数列的前项和记作，则的值为 14. 已知数列的前项和为，，现有三个条件分别为；；.请从上述三个条件中选择能够确定一个数列的两个条件，并完成解答. 您选择的条件是  和  . （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 创新拓展练 15. 在数列中，,,,为的前项和，则的最小值为 16. 已知各项均为正数的数列，满足，，且，，成等差数列，，，成等比数列. （1）求证：数列{}为等差数列. （2）记，的前项和为，若，求正整数的最小值. 数列-专项训练【解析版】 基础巩固练 1. 已知等差数列满足,，则的公差为（ B ）. A. B. 2 C. 4 D. 6 [解析]设公差为，因为，所以,所以，所以.故选. 2.(2024·九省适应性测试)记等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a7=6,a12=17,则S16=(　C　). A.120 B.140 C.160 D.180 [解析]　因为a3+a7=2a5=6,所以a5=3,所以a5+a12=3+17=20, 所以S16==8(a5+a12)=160. 故选C. 3. 已知在等差数列中，，是方程的两个根，则的前21项的和为（ C ）. A. 6 B. 30 C. 63 D. 126 [解析]，是方程 的两根，由韦达定理得,， 所以等差数列 的前21项的和.故选. 4. 记为等差数列的前项和.若，，则（ D ）. A. 3 B. 7 C. 11 D. 15 [解析]设等差数列 的公差为， 由 得 解得 所以.故选. 5. [2024·辽宁联考]设等差数列的前项和为，若,则（ D ）. A. 150 B. 120 C. 75 D. 60 [解析]由等差数列的性质可得，，所以，则.故选. 6. [2024·哈尔滨模拟]已知等差数列的前项和为，，则（ D ）. A. 18 B. 13 C. D. [解析]由，可设,， 为等差数列，，，为等差数列， 即，，成等差数列，，即， .故选. 7. （改编）已知等差数列的各项均不相等，其前项和为，若，则（ D ）. A. B. C. D. [解析]设等差数列 的公差为，因为 的各项均不相等，所以.由，得，所以，即，所以，由，得， 所以.故选. 8. 某会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图中的直角三角形继续作下去，记，， ，的长度构成的数列为，那么（ C ）. A. 25 B. 24 C. 5 D. 4 [解析]由题意知，， ，， ，， 都是直角三角形， ，且，故， 数列 是以1为首项，1为公差的等差数列， . 又，， 数列 的通项公式， .故选. 综合提升练 9. （多选题）若是等差数列，则下列数列为等差数列的是（ ACD ）. A. B. C. D. [解析]设等差数列 的公差为，当 时，. 对于，，为常数，因此 是等差数列，故 正确; 对于，，不为常数，因此 不是等差数列，故 错误; 对于，，为常数，因此 是等差数列,故 正确; 对于，，为常数，因此 是等差数列,故 正确.故选. 10. （多选题）已知公差为的等差数列满足，，则下列结论正确的是（ ABD ）. A. B. C. D. 的前项和为 [解析]由题意得, ,即 解得 所以，故,正确； 因为，所以，故 错误； 数列 的前 项和为，故 正确.故选. 11. 已知数列满足，且，则数列的通项公式为  . [解析]对 两边取倒数，可得，即, 所以数列 是首项为2，公差为3的等差数列，所以， 所以. 12. 已知等差数列的各项均为正数，其前项和满足，则其通项公式  . [解析]设等差数列 的首项为，公差为， 令,得，即， 令,得， 由 两式相减得， 即， 因为等差数列 的各项均为正数，所以，解得，代入，解得， 所以. 应用情境练 13. 南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”，这是数学史上一个伟大的成就.如图所示，在“杨辉三角”中，前行的数字总和记作.设，将数列中的整数项依次组成新的数列，设数列的前项和记作，则的值为1518. [解析]由杨辉三角可得，， 所以， 若，为正整数，则 不是正整数，不符合题意； 若，为正整数，则 是正整数，符合题意； 若，为正整数，则 是正整数，符合题意. 所以数列 是由从2开始的不是3的倍数的正整数组成的， 所以， 所以. 14. 已知数列的前项和为，，现有三个条件分别为；；.请从上述三个条件中选择能够确定一个数列的两个条件，并完成解答. 您选择的条件是  和  . （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. [解析]（1）当选①②时： 由，可知数列 是公差 的等差数列， 由，得， 解得， 所以，即. 当选②③时： 由，可知数列 是公差 的等差数列， 由，可知，即， 解得， 故，即. 选①③这两个条件无法确定数列. （2）由（1）知,所以， . 创新拓展练 15. 在数列中，,,,为的前项和，则的最小值为  . [解析]因为，所以,,, 是以 为首项，2为公差的等差数列，,,, 是以 为首项，2为公差的等差数列. 当 为奇数时，， 当 为偶数时，， 所以 当 为偶数时， ， 故当 时，的最小值为； 当 为奇数时，， 故当 或 时，取得最小值,最小值为. 16. 已知各项均为正数的数列，满足，，且，，成等差数列，，，成等比数列. （1）求证：数列{}为等差数列. （2）记，的前项和为，若，求正整数的最小值. [解析]（1）各项均为正数的数列，满足，，成等差数列，则. 因为，，成等比数列，所以，因为，，所以，. 所以，整理得，所以数列{}为等差数列. （2）由（1）得，整理得，则,得. 故， 由于函数 在 上单调递增， 则当 时，， 当 时，，故 的最小值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $$