湖南省郴州市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题

郴州市2024年上学期期末教学质量监测试卷 高一数学 (试题卷) 注意事项： 1.本试卷分试题卷和答题卡.试题卷共6页，有四道大题，共19道小题， 满分150分.考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准 考证条形码粘贴在答题卡的指定位置. 3.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上 答题无效考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题. 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.复平面内表示复数=2+i的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知a=(1,1),b=(2,1),c=(3,x),若(3a-D)∥c,则x等于 A.6 B.5 C.4 D.3 3.唱歌比赛时共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原 始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分.5个有效评分与7个原始评分相 比，不变的数字特征是 A.平均数 B.方差 C.中位数 D.极差 4.在贵州“村超足球”比赛中通常要求双方穿着颜色不同的球衣，已知甲队有白、黑、红、黄 4种颜色的球衣，乙队有蓝、白、黑、红4种颜色的球衣.若甲、乙两队随机挑选一套球衣进行 比赛，则他们的球衣颜色符合要求的概率为 A.3 6 B.3 C.5 D.13 16 高一数学试题第1页（共6页）》 5.已知a,b为两条不同的直线，，B为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A.若a∥b,bca则a∥a B.若a∥b,a⊥a,b∥B,则a⊥B C.若a∥a,b∥B,a∥B,则a∥b D.若a∥，b∥B,a⊥B,则a∥b 6.已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，它的侧面展开图的扇环的圆心角为120°，则圆 台的侧面积为 A.36m B.24m C.18m D.12m 7.岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌膝王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历 史文化名楼”之一.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC,如图1，测得 ∠DAC=30°，∠DBC=45°，AB=14米，则岳阳 楼的高度测量值CD为 A.7(V/3+1)米 B.7(V3-1)米 C.14(V2+1)米D.14(V2-1)米 图1 8.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且d=bcsinA+(b-c)乃，则2b2+c2的取 be 值范围为 B2V2,3) c2v2,8) D.[2V2,+0) 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有 多项是符合题目要求的，完全选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分) 9.下列说法中正确的是 A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体 m被抽到的概率是12% B.连续抛硬币两次，第一次得正面，第二次得反面是两个独立事件 C.数据13,27,24.12.14,30.15.17.19,23的第70百分位数是23.5 D.若样本数据1，，…，o的标准差为1，则数据3x1-1,3x-1,·,3xo-1的标准差为9 高一数学试题第2页（共6页） 10.O是△ABC的外心，AB=2,AC=4,∠CAB=120°，P是△ABC所在平面内的一点，则下列 结论正确的是 A.△ABC的外接圆半径为2V2I 3 B.AC在AB方向上的投影向量等于AB C.A0'.BC'=6 D.AP.(BP+CP)的最小值为-1 1L.如图2，在正方体ABCD-AB,CD,中，AB=2,点P为线段AD1上一动点，则下列说法正 确的是 A.直线PB∥平面BC,D B.三棱锥PBCD的体积为号 C.三棱锥D,-BCD外接球的表面积为6m 图2 D.直线PB,与平面BCC,B,所成角的正弦值的最大值为Y6 三、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分） 12.在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记CA=a,CB=万，则CD= (用a,表示) 13.欧拉公式e=cosx+isix是由瑞土著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩 大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位依 据欧拉公式，则e-V3i-1的最大值为 14.如图3，A,B,C是三个独立的开关，设它们闭合的概率分别为1，}，1则该线路是通 4’32 路的概率为 图3 高一数学试题第3页（共6页） 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本大题13分) 已知e,e2为单位向量，设向量a=e+,万=3e+e (I)若a.6=2,求e与e2'的夹角： (Ⅱ)已知e与e的夹角为牙，求2a+6的模长. 16.(本大题15分) 设锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,2 csinA=V3a, (I)求角C: (Ⅱ)若边c=7.面积为10V3,求△ABC的周长. 高一数学试题第4页（共6页） 17.(本大题15分) 从出游方式看，春节期间是家庭旅游好时机.某地区消费者协会调查了部分2024年春 节以家庭为单位出游支出情况，统计得到家庭旅游总支出（单位：百元）频率分布直方图，如 图4所示（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） (I)求a的值： (Ⅱ)估计家庭消费总支出的第75百分位数， (Ⅲ)从[60,70)和80,90)两组中用分层抽样的方法共抽取了6人，再从这6人中随机抽 取2人，求所抽取的2人来自同一组的概率. 频率组距 0.035 0.030 0.015--- a 5060708090100消费总支 出/百元 图4 18.(本大题17分) 如图5，在矩形ABCD中，AB=V3,BC=1,沿对角线BD把△BCD折起，使C移到C', 且平面BCA⊥平面ABCD (I)求证：C'A⊥CB; (Ⅱ)求二面角C'-BD-A的余弦值： (Ⅲ)求AC'与平面CBD成的角的正弦值. 图5 高一数学试题第5页（共6页） 19.(本小题17分) 随着科技的发展，互联网也随之成熟，网络安全也涉及到一个国家经济，金融，政治等安 全.为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛 参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件 只有一次解密机会.已知甲每次解开密码的概率为α}≤a<1),乙每次解开密码的概率为 B}≤B<1,每次是否解开密码也互不影响设A1=甲成功解密一份文件)，A:=甲成功解 密两份文件)，B=乙成功解密一份文件)，B2=乙成功解密两份文件) (I)已知概率PA,g,PB)号 (i)求a,B的值 ()求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率 (Ⅱ)考。+日-3，求甲，乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值 高一数学试题第6页（共6页） 郴州市2024年上学期期末教学质量监测试卷 高一数学参考答案及评分细则 (命题人：桂阳一中李民忠安仁一中曹志华永兴一中刘小春 审题人：郴州市教科院汪昌华郴州市二中王勇林邑中学李东璠)》 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1-5 DACDB 6-8 BAC 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有 多项是符合题目要求的，完全选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分) 9.ABC 10.AC 11.ABD 三、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分） 12.号a+6 13.3 144 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.解：(I)设e与e2的夹角为0，由题得 a.万=(e+e)(3+e2)=3e+4e.e+e=4+4cos0=2 (3分) 即cod- (4分) 又因为0e[0,1,所以0=2 (5分) 所以e与e的夹角为2m (6分) （Ⅲ因为与的夹角为等，所以 (7分) 所以2a+=V(2a+b)2=V(5e+3e')2=V(25e+9e2+30e·e) 因为e,为单位向量所以 2a+b=V25e+9e22+30e.e=V25+9+15=V49=7 所以2a+b的模长为7 (13分) 高一数学答案第1页（共4页） 16.解：(I)由2 csinA=V3a及正弦定理，得2 sinCsinA:=V3sin4 (4分) 又0KA<180°，得siA>0,… (5分) 所以sinC=y5,又角C为锐角，所以C=胥： (6分) ()由（1)得sa=2 absinC--4手ah=10V3,则ah=40. 4 …(8分) 由余弦定理，得c2=(a+b)2-2ab-2 abcosC=(a+b)2-3ab 所以(a+b)2=c2+3b=169,所以a+b=13,… (14分) 所以△ABC的周长为l=a+b+c=13+7=20. (15分) 17.(I)由频率分布直方图，得(a+0.015+0.035+0.03+a)×10=1, .a=0.01. (4分) (Ⅱ)第75百分位数为m,则0.1+0.15+0.35+m-80×0.3=0.75. 90-80 解得m=85 所以，第75百分位数为85. (8分) (Ⅲ)由分层抽样可知，[60,70)组抽取了2人，设为A、B,从80,90)组抽取了4人，设为 1,2,3,4,… (10分) 则从这6人中随机抽取2人的基本事件有： (A,B)、A,1、(A,2}、{A,3、(A,4)、B,1、(B,2}、(B,3}(B,4}、1,2)1,3}、1,4、(2,3)、 (2,4、3,4)共15种，满足来自同一组的有7种， (13分) 所以所抽取的2人来自同一组的概率是P 15 (15分) 18.证明：(I)因为ABCD为矩形，所以AD⊥AB,BC⊥CD,BC⊥CD, 又因为面BCA⊥面ABCD且交于AB,所以AD⊥面C'AB,所以AD⊥C'B·(2分)》 又因为C'B⊥C'D,C'D∩AD=D 所以CB⊥面CAD (4分) 所以C'A⊥CB(方法2：验证△BC'A三边满足勾股定理，酌 情给分) (5分) (Ⅱ)过C作C'O⊥AB于点O,过O作OE⊥BD于点E,连CE 因为面BC'A⊥面ABCD且交于AB,所以C'O⊥面ABCD, 高一数学答案第2页（共4页） BD⊥C'O,.BD⊥面C'OE,.BD⊥CE 所以，∠CEO为二面角C'-BD-A的平面角 (8分) 在R1△ACB中，C'O=C'BxCA=1xV2=Y6 (9分) AB V3 3 0B=VCB-C0=Y3,显然，∠ABD=30°. 3 所以0E=8.CE=VC0+0E=.om∠Cs0-OE-号 C'E3 …(10分) 所以，二面角C-BD-A的余弦值为】 (11分) (Ⅲ)由(1)知：CA⊥CB, 设点A到平面C'BD的距离为d, 由cm=Vc4m,得}d上}SamC0, … (14分) 即g×IxV3=兮×对xIxV3x,得：d5, 31 …(16分） 3 &4C与平面C'D所成的角的正弦值为，=Y3 3 …(17分)） 19.解：(I)由题知：()根据独立性性质知 PA,=2a1-a)=8,P=B-号 (4分) 解得a=及号 44…44444444…444444…44。。…。 (5分) (m)油()知：P4,a=%,PB)=2g(1-8)=号 (6分) 设A=“甲乙两人两次一共解开密码3次的事件”，则 A=A1B2+A2B1,A1B2与A2B1互斥，A,与B2,A2与B1分别相互独立，…(8分) P(A)=P(A B2 )+P(A2B )=P(A)P(B2 )+P(A2)P(B) 高一数学答案第3页（共4页） 因此，甲，乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率为5 2· …(11分) (Ⅲ)由题知：L+。=3,.a+B=3a6 …(12分） a B P(A)=2a(1-a),P(A2)=a2,P(B:)=2B(1-B),P(B2)=B 设A=“甲乙两人两次一共解开密码3次的事件”，则 A=A1B2+A,B,A1B2与A2B,互斥，A,与B2,A2与B1分别相互独立， P(A)=P(A B2)+P(A2B)=P(A)P(B2)+P(A2)P(B) =2a(1-a)B+2B(1-B)a2=2a(a+B)-2aB] =2(aB)2 (14分) .a+B=3aB≥2VaB (15分) 明≥号，当且仅当a=B=子时等号成立 (16分) 2(a6)≥32 1 (17分) 高一数学答案第4页（共4页）