精品解析：河北省保定市曲阳县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试卷 命题人：彭海红 一、选择题：（本大题有16个小题，共42分，1~10小题，每小题3分，11~16小题，每小题2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 根据如图信息可知，下列关于温度的不等式正确的是（ ） 洗涤说明 手洗，勿浸泡，不超过水温 A. B. C. D. 2. 不等式的解集表示在如图所示的数轴上，则阴影部分盖住的数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是( ) A. 2ab(a-b)=2a2b-2ab2 B. x2+1=x(x+) C. x2-4x+3=(x-2)2-1 D. a2-b2=(a+b)(a-b) 4. 如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长不可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，都是角平分线，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知每千克的这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如表所示：现配制这种饮料，要求至少含有4200单位的维生素C，且购买原料的费用不超过72元．设所需甲种原料，则可列不等式组为（ ） 原料 甲 乙 维生素 600单位 100单位 原料价格 8元 4元 A. B. C. D. 8. 二元一次方程有一组解互为相反数，则y的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 9. 下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥，能用公式法分解因式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 如图是测量一颗玻璃球体积的过程： (1)将的水倒进一个容量为的杯子中； (2)将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； (3)再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在() A. 以上，以下 B. 以上，以下 C. 以上，以下 D. 以上，以下 11. 不论a为何实数，多项式的值一定是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 不能确定 12. 如图，，，分别是三边延长线上的点，则（ ） A. B. C. D. 13. 以下各式的计算中，结果为的是（ ） A B. C. D. 14. 如图，边长为，的长方形，它的周长为，面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 15. 如图，有一△ABC，今以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于D点，以C为圆心，AC长为半径画弧，交BC于E点．若∠B=40°，∠C=36°，则关于AD、AE、BE、CD的大小关系，下列何者正确？（ ） A. AD=AE B. AD＜AE C. BE=CD D. BE＜CD 16. 如图，的角平分线、相交于F，，，且于G，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（每小题3分，共9分．把答案写在题中横线上） 17. 多项式分解因式的结果是____________. 18. 如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，若，则的度数为_________． 19. 我们定义一种新运算：，如，则关于的不等式的最大整数解为______ ． 三、解答题：（本大题共6个小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. （1）分解因式：； （2）解方程组：； （3）解不等式组，并把该不等式组解集表示在数轴上． 21. 画出三角形的重心O，并说明、、的面积存在什么数量关系？ 22. 若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． 例如：方程解为，不等式组的解集为，因为，所以方程为不等式组的关联方程． （1）在方程①，②中，不等式组的关联方程是___________（填序号）； （2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程的解是________； （3）若方程与都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围． 23. 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 阅读以上材料，解决下列问题． （1）分解因式：； （2）当为何值时，二次三项式取得最小值，最小值多少？ 24. 为提高广大群众的交通安全意识和自我保护意识，进一步提升电动自行车、摩托车的交通安全管理水平，交警以“一盔一带”守护行动为抓手，提高头盔佩戴率．某超市为让利于民，把售价分别为60元/个、80元/个的甲、乙两种头盔分别打折销售，第一天销售甲头盔20个，乙头盔15个，销售额为2040元；第二天销售甲头盔16个，乙头盔25个，销售额为2464元． （1）求甲、乙两种头盔分别打几折销售． （2）若甲、乙两种头盔的进价分别为50元/个、60元/个，商店准备用不多于5400元的资金再购进这两种头盔共100个，最多能购进乙种头盔多少个？ 25. 新定义：在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍（为大于1的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为2倍角三角形． （1）在中，，，则为______倍角三角形． （2）如图1，直线与直线相交于，，点、点分别是射线、上的动点；已知、的角平分线交于点，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数． （3）如图2，直线直线于点，点、点分别在射线、上，已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、，若为3倍角三角形，试求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试卷 命题人：彭海红 一、选择题：（本大题有16个小题，共42分，1~10小题，每小题3分，11~16小题，每小题2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 根据如图信息可知，下列关于温度的不等式正确的是（ ） 洗涤说明 手洗，勿浸泡，不超过水温 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不超过的意思就是小于等于，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故选C． 【点睛】本题主要考查了列不等式，正确理解题意是解题的关键． 2. 不等式的解集表示在如图所示的数轴上，则阴影部分盖住的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先将该不等式的解集求出来，由此进一步判断即可. 【详解】原不等式去掉括号可得：， 移项化简可得：， 解得：， ∴阴影部分盖住的数是， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握相关方法是解题关键. 3. 下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是( ) A. 2ab(a-b)=2a2b-2ab2 B. x2+1=x(x+) C. x2-4x+3=(x-2)2-1 D. a2-b2=(a+b)(a-b) 【答案】D 【解析】 【分析】把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式).分解因式与整式乘法为相反变形. 【详解】解：A.不是因式分解，而是整式的运算 B.不是因式分解，等式左边的x是取任意实数，而等式右边的x≠0 C.不是因式分解，原式＝(x－3)(x－1) D.是因式分解.故选D. 故答案为D. 【点睛】因式分解没有普遍适用的法则，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、配方法、待定系数法、拆项法等方法. 4. 如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长不可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴可得，三角形的两边长分别为，根据三角形三边关系，确定第三边的范围，即可求解． 【详解】解：由题意可得，三角形的两边长分别为，设第三边长为 则，即 结合选项可得，A选项符合题意，B、C、D选项不符合题意； 故选：A 【点睛】此题考查了三角形三边关系，数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握三角形三边关系，正确确定出第三边的范围． 5. 用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的高，根据三角形的高的定义一一判断即可． 【详解】解：A、可以作的边上的高，此选项符合题意； B、不是的边上的高，此选项不符合题意； C、不是的边上的高，此选项不符合题意； D、是边上的高，不是边上的高，此选项不符合题意； 故选：A． 6. 如图，都是的角平分线，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键． 根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可． 【详解】解：∵都是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 7. 用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知每千克的这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如表所示：现配制这种饮料，要求至少含有4200单位的维生素C，且购买原料的费用不超过72元．设所需甲种原料，则可列不等式组为（ ） 原料 甲 乙 维生素 600单位 100单位 原料价格 8元 4元 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式组，理解题意、找准不等关系成为解题的关键． 设所需甲种原料的质量为，则需乙种原料．再根据不等关系“至少含有4200单位的维生素C”和“购买原料的费用不超过72元”列出不等式组即可． 【详解】解：设所需甲种原料的质量为，则需乙种原料． 根据题意，得：． 故选：C． 8. 二元一次方程有一组解互为相反数，则y值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，则，然后结合，即可求出y的值． 【详解】解：根据题意， ∵二元一次方程有一组解互为相反数， ∴， ∴， ∴， 解得：； 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，二元一次方程的解，以及相反数的定义，解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法，正确得到是突破口． 9. 下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥，能用公式法分解因式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方差公式和完全平方公式判断并分解即可． 【详解】解：①，可以用平方差公式分解因式，故符合题意； ②不能用公式分解因式，故不符合题意； ③不能用公式分解因式，故不符合题意； ④不能用公式分解因式，故不符合题意； ⑤，不能用公式分解因式，故不符合题意； ⑥，能用完全平方公式分解因式，故符合题意； 共有2个能用公式法分解因式， 故选：A． 【点睛】此题考查了利用公式法分解因式，正确掌握平方差公式及完全平方公式分解因式是解题的关键． 10. 如图是测量一颗玻璃球体积的过程： (1)将的水倒进一个容量为的杯子中； (2)将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； (3)再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在() A. 以上，以下 B. 以上，以下 C. 以上，以下 D. 以上，以下 【答案】C 【解析】 【分析】设玻璃球的体积为，根据题意列出不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】解：设玻璃球的体积为，根据题意可得 不等式组， 解得， 即一颗玻璃球的体积在以上，以下． 11. 不论a为何实数，多项式的值一定是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】将原式变形为，根据偶次方的非负性推出，由此即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴多项式的值一定是正数， 故选A． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确将原式变为是解题的关键． 12. 如图，，，分别是三边延长线上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内和定理，外角的性质处理； 【详解】解：如图，; ∴． 故选：C 【点睛】本题考查三角形内角和定理，外角定理；由定理得角之间的数量关系是解题的关键． 13. 以下各式的计算中，结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用整式乘法一一验证即可． 【详解】解：A、，故计算错误； B、，故计算正确； C、，故计算错误； D、，故计算错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于对多项式的乘法法则的熟练掌握． 14. 如图，边长为，的长方形，它的周长为，面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，，再把所给式子提取公因式，然后代入求值即可． 【详解】解：∵边长为，的长方形，它的周长为，面积为， ∴，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 【点睛】本题考查因式分解的应用，长方形的周长和面积，求代数式的值，运用了整体代入的思想．掌握因式分解是解题的关键． 15. 如图，有一△ABC，今以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于D点，以C为圆心，AC长为半径画弧，交BC于E点．若∠B=40°，∠C=36°，则关于AD、AE、BE、CD的大小关系，下列何者正确？（ ） A. AD=AE B. AD＜AE C. BE=CD D. BE＜CD 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由∠C＜∠B利用大角对大边得到AB＜AC，进一步得到BE+ED＜ED+CD，从而得到BE＜CD． 解：∵∠C＜∠B， ∴AB＜AC， ∵AB=BD，AC=EC， ∴BE+ED＜ED+CD， ∴BE＜CD． 故选D． 点评：考查了三角形的三边关系，解题的关键是正确的理解题意，了解大边对大角． 16. 如图，的角平分线、相交于F，，，且于G，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的角平分线，灵活运用角平分线的定义及三角形的内角和定理是解题的关键． 根据平行线性质，结合角平分线的定义计算可判定①；根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义可判定②；根据已知条件无法推知③；由角平分线的定义结合周角的定义可判定④． 【详解】解：∵， ， 平分， ， ，故①正确； ， ， ，且于， ， ， 平分， ， ，故②正确； 无法证明平分，故③错误； ，， ， ， ，故④正确； 所以其中正确的结论为①②④，共3个． 故选：C． 二、填空题：（每小题3分，共9分．把答案写在题中横线上） 17. 多项式分解因式的结果是____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式法：提3x，再应用平方差公式即可解答. 【详解】原式= = 故答案为： 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法则是解题关键. 18. 如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，若，则的度数为_________． 【答案】##28度 【解析】 【分析】根据折叠和平角的定义，求出的度数，外角的性质和三角形的内角和定理推出，进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查三角形中的折叠问题，熟练掌握折痕是角平分线以及三角形的内角和定理，外角的性质，是解题的关键． 19. 我们定义一种新运算：，如，则关于的不等式的最大整数解为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中新定义化简已知不等式，再解不等式，即可求出最大整数解． 【详解】解：， ， 即， 解得， 关于的不等式的最大整数解为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，能得出关于的不等式是解此题的关键． 三、解答题：（本大题共6个小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. （1）分解因式：； （2）解方程组：； （3）解不等式组，并把该不等式组解集表示在数轴上． 【答案】（1）；（2）；（3），图见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解二元一次方程组，解一元一次不等式组： （1）先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解； （2）利用代入消元法解答，即可求解； （3）分别求出两个不等式的解集，即可求解． 【详解】解：（1）， ； （2） 由①得：③， 将③代入②，得， 解得：， 将代入③，得：， ∴原方程组的解为； （3）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 21. 画出三角形的重心O，并说明、、的面积存在什么数量关系？ 【答案】图见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查了画三角形的重心，重心的性质，掌握三角形的重心定义以及性质是解题的关键． 根据三角形重心的定义画图即可，由O是的重心，可得出、、是的中线，由中线可得出，进可可得出，又由，可得出，同理可得出，即可证明． 【详解】解：如下图O是的重心． 理由如下： ∵O是的重心， ∴、、是的中线， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 同理可得， ∴． 22. 若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． 例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以方程为不等式组的关联方程． （1）在方程①，②中，不等式组的关联方程是___________（填序号）； （2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程的解是________； （3）若方程与都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围． 【答案】（1）② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别解方程和解不等式组，再根据关联方程的定义进行判断即可； （2）只需要求出不等式组的整数解即可得到答案； （3）先求出不等式组的整数解，再根据题意可得与都是关于x的不等式组的解，由此建立关于m的不等式组进行求解即可． 【小问1详解】 解：解方程得； 解方程得； 解不等组得， ∴方程的解是不等式组的解，方程的解不是不等式组的解， ∴不等式组的关联方程是， 故答案为：②； 【小问2详解】 解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为1， ∵不等式组的一个关联方程的解是整数， ∴这个关联方程的解是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：解不等式组得． ∵方程与都是关于x的不等式组的关联方程， ∴与都是关于x的不等式组的解， 由题意可得，解得． ∴m的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，根据不等式组的解集情况求参数等等，熟练掌握一元一次不等式组的相关知识是解题的关键． 23. 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 阅读以上材料，解决下列问题． （1）分解因式：； （2）当为何值时，二次三项式取得最小值，最小值是多少？ 【答案】（1） （2）当时，二次三项式取得最小值，最小值为 【解析】 【分析】（）仿照阅读例子，加减一个适当的数计算即可； （）利用配方法，结合实数的非负性，计算即可； 本题考查了配方法的应用，因式分解的应用，利用平方差公式、完全平方公式进行因式分解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式， ， ∵， ∴ ∴当时，二次三项式取得最小值，最小值． 24. 为提高广大群众的交通安全意识和自我保护意识，进一步提升电动自行车、摩托车的交通安全管理水平，交警以“一盔一带”守护行动为抓手，提高头盔佩戴率．某超市为让利于民，把售价分别为60元/个、80元/个的甲、乙两种头盔分别打折销售，第一天销售甲头盔20个，乙头盔15个，销售额为2040元；第二天销售甲头盔16个，乙头盔25个，销售额为2464元． （1）求甲、乙两种头盔分别打几折销售． （2）若甲、乙两种头盔的进价分别为50元/个、60元/个，商店准备用不多于5400元的资金再购进这两种头盔共100个，最多能购进乙种头盔多少个？ 【答案】（1）甲头盔打9折销售，乙头盔打8折销售 （2）最多能购进乙种头盔40个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用； （1）设甲头盔打x折销售，乙头盔打y折销售，根据题意，列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． （2）设购进乙种头盔m个，则购进甲种头盔个，根据题意列出不等式，解不等式，结合题意即可求解． 【小问1详解】 解：设甲头盔打x折销售，乙头盔打y折销售， 根据题意，得 解得 答：甲头盔打9折销售，乙头盔打8折销售． 【小问2详解】 设购进乙种头盔m个，则购进甲种头盔个， 依题意得， 解得． 答：最多能购进乙种头盔40个． 25. 新定义：在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍（为大于1的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为2倍角三角形． （1）在中，，，则为______倍角三角形． （2）如图1，直线与直线相交于，，点、点分别是射线、上的动点；已知、的角平分线交于点，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数． （3）如图2，直线直线于点，点、点分别在射线、上，已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、，若为3倍角三角形，试求的度数． 【答案】（1）3 （2）50°、52.5°、25°或22.5° （3）45°或60° 【解析】 【分析】（1）由∠E=40°，∠F=35°可知∠D=105°，再根据n倍角三角形的定义可得结论． （2）根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结果． （3）首先证明∠EAF=90°，分四种情形分别求出即可． 【小问1详解】 ∵∠E=40°，∠F=35°， ∴∠D=180°-40°-35°=105°， ∴∠D=3∠F， ∴△ABC为3倍角三角形， 故答案为：3； 【小问2详解】 ∵∠POM=30°， ∴∠OAB+∠OBA=150°． 又∵BC平分∠OBA，AC平分∠OAB， ∴∠CBA+∠CAB=∠OAB+∠OBA=75°， ∴∠C=105°． ①当∠CBA=2∠CAB时，∵∠CBA+∠CAB=75°， ∴∠BAC=25°； ②当∠CAB=2∠CBA时，∵∠CBA+∠CAB=75°， ∴∠BAC=50°； ③当∠C=2∠CAB时，∵∠C=105°， ∴∠BAC=∠C=52.5°； ④当∠C=2∠CBA时，∵∠C=105°， ∴∠CBA=∠C=52.5°， ∴∠BAC=22.5°． 综上，在△ABC中当一个角是另一个角的2倍时，∠BAC等于50°、52.5°、25°或22.5°； 【小问3详解】 ∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG， ∴∠BAE=∠EAO，∠OAF=∠GAF， ∴∠EAF=∠EAO+∠OAF=90°， ∴∠E+∠F=90°； 又∵EF平分∠BOQ， ∴∠EOQ=∠E+∠EAO=45°①， ∠BOQ=∠ABO+∠BAO=90° ②； ①×2-②得：∠ABO=2∠E． 若△AEF为3倍角三角形： i）若∠F=3∠E，∵∠E+∠F=90°， ∴∠E=22.5°， ∴∠ABO=45°； ii）若∠E=3∠F， ∴∠E=67.5°， ∴∠ABO=135°（不符合题意，舍去）； iii）若∠EAF=3∠E，∴∠E=30°， ∴∠ABO=60°； iv）若∠EAF=3∠F，∴∠F=30°，∠E=60°， ∴∠ABO=120°（不符合题意，舍去）； 综上所述，∠ABO等于45°或60°时，△AEF为3倍角三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，余角的意义，不等式组的解法和应用等知识，读懂新定义n倍角三角形的意义和分类讨论是解决问题的基础和关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $