1.2.1 课时2 圆的标准方程的综合应用课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.2.1 课时2 圆的标准方程的综合应用 1.会用待定系数法、几何法求圆的标准方程. 2.掌握圆x2+y2=r2的一些简单的几何性质. 学习目标 例1:求经过A(1,3),B(4,2)两点,且圆心C在直线l:x+y-3=0上的圆的标准方程. 解法1:设该圆的标准方程为(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2. 由圆经过A,B两点且圆心C在直线l上,可得方程组 ① ② ③ ①-②,得3a-b-5=0. ④ 联立③④解得 代入①,得r2=5. 故所求圆的标准方程为(x-2) 2 + (y-1) 2 =5(如图). 待定系数法 新知讲解 例1:求经过A(1,3),B(4,2)两点,且圆心C在直线l:x+y-3=0上的圆的标准方程. 解法2:如图,连接AB,作AB的垂直平分线交AB于点D,则圆心C是线段AB的垂直平分线与直线l的交点.线段AB的垂直平分线的方程为3x-y-5=0. 故所求圆的标准方程为(x-2) 2 + (y-1) 2 =5. 联立线段AB的垂直平分线方程和直线l的方程得方程组 解得 即圆心C的坐标为(2,1). 又该圆经过点A,则r2=(1-2) 2 + (3-1) 2 =5, 几何法 新知讲解 归纳总结 1.用待定系数法求圆的标准方程的步骤: 根据条件设出圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,再由题目给出的条件,列出关于a,b,r的方程组,求出a,b,r,代入标准方程即可. 2.求圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2时,可以根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径: (1)圆心在弦的垂直平分线上; (2)过圆心的直线平分圆; (3)圆与x轴相切时,r=|b|,圆与y轴相切时,r=|a|. 新知讲解 问题1:对于圆x2+y2=2,该圆上任意一点P(x,y)的x与y应满足的条件是什么? 问题2:对于圆x2+y2=2上的任意一点P(x,y),关于原点的对称点(-x,-y),关于x轴的对称点(x,-y),关于y轴的对称点(-x,y)是否在该圆上? 由题(-x) 2 + (-y) 2 =x2+y2=2,所以关于原点的对称点(-x,-y)在圆上; O x y P r y= y= x= x= 同理关于x轴的对称点(x,-y),关于y轴的对称点(-x,y)也在在该圆上. 新知讲解 归纳总结 对于任何一个半径为r的圆,为了方便研究,我们可以以圆心为原点建立平面直角坐标系,再依据圆的定义得到圆的方程为x2+y2=r2①. 由圆的方程①,可得圆的简单几何性质: (1)范围:|x|≤r,|y|≤r, (2)对称性:该圆既是关于x轴和y轴的轴对称图形,也是关于原点的中心对称图形. O x y P r y=r y=-r x=-r x=r 新知讲解 例2:若直线x+y-3=0始终平分圆(x-a)2+(y-b)2=2的周长,求a与b的和. 解:由题意可知,圆心(a,b)在直线x+y-3=0上, ∴a+b-3=0, 即a+b=3. 新知讲解 例3:已知圆C:x2+(y-1)2=2,圆上任意一点P(x,y),点F(2,0),O为坐标原点,求的取值范围. 解:=(x,y) (2,0)=2x, 由圆C:x2+(y-1)2=2的几何性质可知:-≤x≤, ∴2x∈[-2,2], 则的取值范围是[-2,2]. 新知讲解 1.若直线2x-5y+a=0平分圆(x-2)2+(y+1)2=9的周长,则a等于( ) A.9 B.-9 C.1 D.-1 2. ABC的三个顶点坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),则它的外接圆的方程为_. B (x-2)2+(y+3)2=25 当堂检测 3.已知圆心为 C 的圆经过 A (1,1),B (2,-2) 两点,且圆心 C 在直线 l:x – y + 1 = 0 上,请用两种不同的方法求此圆的标准方程. 待定系数法:设圆心C的坐标为 (a,b),由已知得:a–b+1=0①; 又A,B是圆上两点,所以 |CA| = |CB|,根据两点间距离公式,有 综上,所求圆的标准方程为:(x+3) 2 + (y+2) 2 = 25. 由①② 得:a=-3,b=-2,所以圆心C的坐标为 (-3,-2); 即a–3b–3= 0 ②; 圆的半径 r = |AC| = 当堂检测 O x y A B D C l 由垂径定理可知,圆心 C 在线段AB垂直平分线上, 综上,所求圆的标准方程为:( x + 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 25. 几何法:如图,设线段AB的中点为D,由A(1,1),B(2,–2)两点的坐标得: 线段AB的垂直平分线l′的方程为:x – 3y – 3 = 0, 经过A (1,1),B (2,–2)两点,且圆心在 x – y + 1 = 0 上的圆的标准方程. 所以圆心 C 的坐标为 (-3,-2);圆的半径 r = |AC| = 即圆心坐标是方程组 的解,解得 点 D 的坐标为 ,直线 AB 的斜率为 kAB = –3, 当堂检测 根据今天所学,回答下列问题: 1.求圆的标准方程的方法有哪些? 2.圆x2+y2=r2的简单几何性质有哪些? 课堂小结 $$