1.2.3 直线与圆的位置关系课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.2.3 直线与圆的位置关系 1. 会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系； 2. 能解决直线与圆相切、相交的有关问题. 学习目标 在平面几何中，已经学习了直线与圆的三种位置关系：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离. 思考：如何判断直线与圆的位置关系？ 相交 相切 相离 新课导入 ∟ ∟ ∟ 直线与圆 公共点的个数 直线与圆的 位置关系 圆心到直线距 离与半径比较 相交 相切 相离 2 1 0 课题探究 如果直线l和圆C的方程分别为A =①把直线与圆的交点个数问题转化为直线与圆的对应方程组成的方程组 的解的个数问题， 这样当方程组无解时，直线与圆相离； 当方程组有一组解时，直线与圆相切； 当方程组有两组解时，直线与圆相交． 课题探究 如果直线l和圆C的方程分别为A =②可以用圆心C(a，b)到直线的距离d=与圆C的半径r的大小关系来判断直线与圆的位置关系. 课题探究 判定直线与圆的位置关系的方法有两种： (2)根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断(代数法) (1)根据性质, 由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断 (几何法) 联立方程组 ，消元得到一个一元二次方程. 归纳总结 课题探究 例1 已知圆的方程x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时： (1)直线与圆有两个交点； (2)直线与圆有一个交点； (3)直线与圆没有交点． 解：圆x2＋y2＝2的圆心为O(0，0)，半径r＝， 圆心O到直线y＝x＋b的距离d＝. (1)当d<r，即<，|b|<2，∴－2<b<2时，直线与圆有两个交点． (2)当d＝r，即＝，|b|＝2，∴当b＝±2时，直线与圆有一个交点． (3)当d>r，即>，|b|>2，∴当b>2或b<－2时，直线与圆没有交点． 课题探究 思考交流：过平面一点P可作几条圆的切线？ 当点 <m></m> 在圆内时，切线不存在； 当点 <m></m> 在圆上时，只能作一条圆的切线； 当点 <m></m> 在圆外时，可作两条圆的切线． 追问：如何刻画直线与圆相切？ 公共点的个数只有1个; 圆心到直线的距离等于半径. 课题探究 例2 过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程． 解：因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， 所以点A在圆外，故切线有两条． ①若直线斜率不存在，圆心C(3，1)到直线x＝4的距离为1， 这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4. 课题探究 ②若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k， 则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0. 设圆心为C，因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1， 所以＝1，即|k＋4|＝， 所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－. 所以切线方程为－x－y＋－3＝0，即15x＋8y－36＝0. 综上，所求切线方程为x＝4或15x＋8y－36＝0. 课题探究 圆的切线的求法： 归纳总结 1.点(x0，y0)在圆上时： (1)先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程． (2)如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程x＝x0或y＝y0. 课题探究 圆的切线的求法： 归纳总结 2.点(x0，y0)在圆外时： (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就是切线方程． (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程． 特别注意：切线的斜率不存在的情况，不要漏解． 课题探究 例3 求直线 <m></m> 被圆 <m></m> 截得的弦长． 解：（法一）圆 <m></m> 可化为 <m></m> ， 其圆心坐标为 <m></m> ，半径 <m></m> ． 点 <m></m> 到直线 <m></m> 的距离 <m></m> ， 则 <m></m> ，所以截得的弦长为 <m></m> ． （法二）设直线 <m></m> 与圆 <m></m> 交于 <m></m> ， <m></m> 两点． 由 <m></m> 得交点 <m></m> ， <m></m> ， 所以 <m></m> ． 课题探究 例3 求直线 <m></m> 被圆 <m></m> 截得的弦长． （法三）设直线 <m></m> 与圆 <m></m> 交于 <m></m> ， <m></m> 两点． 由 <m></m> 消去 <m></m> 得 <m></m> ， 所以 <m></m> ， <m></m> ， 所以 <m></m> </m> ． 课题探究 （1）利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系解题. （2）先求交点坐标，再直接用两点间距离公式计算弦长. （3）利用弦长公式求解． 归纳总结 求弦长常用的三种方法：： 课题探究 1.(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( ) A.－2 B.－12 C.2 D.12 2.已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则(　　) A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能 3.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4x＝0所截得的弦长为____. CD A 2 当堂检测 1. 直线与圆的位置关系：相交、相切、相离； 3. 运用直线与圆的位置关系，求解弦长与切线方程. 2. 判断直线与圆的位置关系的方法：代数法、几何法； 回顾：说说本节课学了哪些直线与圆的知识？ 课后小结 $$